快乐数学加油站2025年高考期中答案

快乐数学加油站2025年高考期中答案一.选择题。（共10题）

1.已知集合A={x|x²-3x+2>0},B={x|0<x<4},则集合A∩B等于（）

A.(1,2)∪(2,4)B.(1,2)∪(3,4)C.(2,4)D.(0,2)∪(3,4)

2.函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域为（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.R

3.若复数z满足z²=2i,则z的模长为（）

A.1B.√2C.2D.√3

4.已知等差数列{aₙ}中,a₁=5,公差d=-2,则其前n项和Sₙ的最小值为（）

A.-10B.-8C.8D.10

5.直线l:ax+by+c=0与圆O:x²+y²=1相切,则|a|+|b|的取值范围是（）

A.[1,√2]B.[1,2]C.[√2,2]D.[1,√3]

6.执行以下程序段后,变量s的值为（）

i=1,s=0

WHILEi<=5:

s=s+i²

i=i+1

ENDWHILE

A.55B.15C.30D.65

7.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的像关于y轴对称,则φ的取值可以是（）

A.π/4B.π/2C.3π/4D.π

8.在△ABC中,若角A=60°,边a=√3,边b=2,则角B等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

9.不等式|3x-1|>x+1的解集为（）

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,1)C.(-∞,-1)D.(1,+∞)

10.已知函数g(x)=x³-3x+1,则方程g(x)=0在区间(-2,-1)内的实根个数为（）

A.0B.1C.2D.3

二.填空题（共10题）

1.已知f(x)=2^x,g(x)=log₂(x-1),则函数h(x)=f(g(x))的值域是___________.

2.在等比数列{aₙ}中,a₃=8,a₅=32,则该数列的通项公式aₙ=___________.

3.若向量⃗a=(3,-1),⃗b=(-1,2),则向量⃗a·⃗b的模长|⃗a×⃗b|等于___________.

4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4,则过点(0,0)的圆C的切线方程为___________.

5.执行以下算法后,变量S的值等于___________.

i=1,S=0

WHILEi<=10:

S=S+i*(i+1)

i=i+2

ENDWHILE

6.函数f(x)=cos(π/3-x)的最小正周期是___________.

7.在△ABC中,若角A=45°,角B=75°,边a=√2,则边b的长度等于___________.

8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=2,则f(-1)+f(0)的值等于___________.

9.不等式组⎧⎩x²-4x+3<0,|x|>1⎫⎭的解集是___________.

10.已知函数F(x)=x³-ax²+bx+c在x=-1处取得极大值,在x=2处取得极小值,且F(-1)=2,则a+b+c的值等于___________.

三.判断题。（共5题）

1.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,则对任意x₁<x₂∈(a,b),都有f(x₁)<f(x₂).（）

2.已知z₁=2+i,z₂=1-2i,则|z₁|>|z₂|且arg(z₁)<arg(z₂).（）

3.在等差数列{aₙ}中,若前n项和Sₙ=10n²+n,则该数列的公差d=20.（）

4.圆(x-3)²+(y-4)²=1与直线x-y+5=0相交,所得弦长为2√2.（）

5.若f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则对任意x₁<x₂<0,都有f(x₁)>f(x₂).（）

四.计算题（共6题）。

1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1,

(1)求函数f(x)的极值点；

(2)若g(x)=f(x)+ax+b在x=1和x=-1处都取得零值，求a,b的值.

2.在△ABC中,已知角A=60°,边a=√3,边b=2,且BC边上的中线AD长度为√3,求△ABC的面积.

3.已知数列{aₙ}满足a₁=1,aₙ₊₁=2aₙ+1(n∈N*).

(1)求数列{aₙ}的通项公式；

(2)求数列{aₙ}的前n项和Sₙ.

4.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0互相平行.

(1)求实数a的值；

(2)若点P(1,b)在直线l₁上，求过点P且与l₁垂直的直线方程.

5.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|.

(1)作出函数f(x)的像；

(2)求函数f(x)在区间[-3,3]上的最小值和最大值.

6.在直角坐标系中,已知点A(1,2),B(3,0),C(-1,-4).

(1)求过点B且与直线AC垂直的直线方程；

(2)求△ABC的外接圆的方程.

五.应用题。（共6题）。

1.某工厂生产一种产品,已知固定成本为10000元,每件产品的可变成本为50元,售价为80元.

(1)写出该工厂的总成本C(件数x)和总收入R(件数x)的函数关系式；

(2)当产量为何值时,工厂开始盈利？

(3)若工厂希望获得20000元的利润,需要销售多少件产品？

2.一艘轮船在海上以20海里/小时的速度由A港沿北偏东30°的方向航行至B港,再由B港沿南偏东45°的方向航行至C港,最后返回A港.

(1)求A港到B港的距离；

(2)求B港到C港的距离；

(3)求轮船从A港到C港的总航行时间.

3.为了解某校学生的身高情况,现抽取了50名学生进行测量,测量数据如下（单位：厘米）：

155,162,165,160,170,168,165,163,158,162,

159,166,168,167,161,165,162,169,158,160,

163,167,162,155,168,165,160,170,163,157,

162,166,164,168,159,161,165,162,158,160,

163,167,162,155,169,168,164,166,163,157.

(1)列出样本的频率分布表（取组距为3，起始组为154.5）；

(2)画出样本的频率分布直方；

(3)根据频率分布直方估计该校学生身高的中位数和众数.

4.某兴趣小组进行一项实验,每次实验成功或失败的概率分别为p和q(p+q=1).

(1)求第三次实验恰好是第一次成功的概率；

(2)若进行4次实验,求至少有3次成功的概率；

(3)若要使得至少成功一次的概率不小于0.8,至少要进行多少次实验？

5.如（此处无，但设为直角坐标系中的△ABC，A(0,0),B(b,0),C(0,c)），在直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(0,0),B(b,0),C(0,c)(c>0).

(1)求过点A且与直线BC平行的直线方程；

(2)求△ABC的面积；

(3)若点P(x,y)在直线AC上，且△ABP的面积等于△ABC面积的一半，求点P的坐标.

6.已知函数f(x)=x²-2ax+a²+1.

(1)求函数f(x)的对称轴方程；

(2)若函数f(x)在区间[1,3]上的最小值为2,求实数a的值；

(3)若方程f(x)=0在区间[-1,1]上有两个相异实根，求实数a的取值范围.

六.思考题

1.已知函数f(x)=x³-3x+a在区间[-2,2]上存在唯一一个极值点，求实数a的取值范围。

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。若f(A)=2cosAsinB-sinC，且f(A)的值与角B的大小无关，求证：△ABC是等腰三角形或直角三角形。

3.等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，已知S₃=9，S₅=25。

(1)求数列{aₙ}的通项公式；

(2)设bₙ=1/aₙ，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ，并探讨Tₙ是否有可能为负数。

4.已知直线l:ax+by+c=0与圆O:x²+y²=1相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

5.在计算机程序设计中，递归是一种重要的算法思想。试以计算n!（n的阶乘）为例，分析递归函数的执行过程，并讨论递归算法的优缺点。

6.设f(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=f(x)+f(1)，f(1)≠0。求证：

(1)f(0)=0；

(2)f(x)是以4为周期的周期函数。

一.选择题。（共10题）

1.C2.B3.B4.A5.B6.A7.B8.D9.A10.B

解析：

1.解A={x|x<1或x>2},A∩B={x|0<x<1或2<x<4}.

2.由x²-2x+3=(x-1)²+2≥2,定义域为R.

3.设z=r(cosθ+isinθ),则z²=r²(cos2θ+isin2θ)=2i.

得r²=2,2θ=π/2+kπ,θ=π/4+kπ/2,r=√2.

4.Sₙ=n(10-2(n-1))=-2n²+12n.

Sₙ=-2(n-3)²+18,当n=3时,Sₙ最小为18.

5.圆心(1,-2),半径r=1.

直线到圆心距离d=|a*1+b*(-2)+c|/√(a²+b²)=1.

|a-2b+c|=√(a²+b²).

|a|+|b|≥|a-2b+c|≥1,最大值为√(a²+b²)+1≤√2+1,

故取值范围[1,√2].

6.i=1,s=1;i=2,s=1+4=5;i=3,s=5+9=14;

i=4,s=14+16=30;i=5,s=30+25=55.

7.f(x)象关于y轴对称⇔sin(2x+φ)+sin(2(-x)+φ)=0

即2sin2xcosφ=0对x成立,cosφ=0,φ=kπ+π/4.

取k=0,φ=π/4.

8.由正弦定理,sinB=b*sinA/a=2*√3/√3=2.

无解,由余弦定理,cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(√3²+2²-1²)/(2*√3*2)=√3/2.

B=30°.

9.由|3x-1|>x+1⇔3x-1>x+1或3x-1<-x-1⇔x>1或x<0.

10.g'(x)=3x²-3,令g'(x)=0,x=±1.

g(-1)=5,g(1)=-1,g(-2)=-5,g(2)=3.

g(x)在(-2,-1)上递减,在(-1,1)上递增,在(1,2)上递减.

g(-2)<g(-1)<0,g(1)>0,g(2)>0.

由零点存在性定理,g(x)在(-2,-1),(-1,1),(1,2)内各有一个零点.

二.填空题（共10题）

1.(2,+∞)2.aₙ=2^(n-3)·2²=2^(n-1)3.√104.x+y-3=05.556.2π7.√3/28.09.(-1,1)10.3

解析：

1.g(x)的定义域为x>1,h(x)的定义域为h(x)>1⇒x>1⇒x>2.

h(x)=log₂(x-1)为增函数,x→+∞时,h(x)→+∞.

x→2+时,h(x)→-∞.

2.a₃=2^3-3*2+2=8-6+2=4,a₅=2^5-3*5+2=32-15+2=19.

公比q=a₅/a₃=19/4.

aₙ=a₃*q^(n-3)=4*(19/4)^(n-3)=2^(n-1).

3.⃗a×⃗b=(3*2-(-1)*(-1))k=5k,|⃗a×⃗b|=5.

|⃗a|√2,|⃗b|=√5.

|⃗a·⃗b|=|⃗a||⃗b|cos<⃗a,⃗b>=3*(-1)+(-1)*2=-5.

|⃗a·⃗b|=|-5|=5.

4.圆心(1,-2),半径r=2.

直线到圆心距离d=|1*1+1*(-2)+5|/√(1²+1²)=√2.

弦长=2√(r²-d²)=2√(4-2)=2√2.

过(0,0)的切线:k=(0+2)/(0-1)=-2,y=-2x.

或x=0.

5.i=1,s=1*2;i=3,s=1*2+3*4=14;i=5,s=14+5*6=44;i=7,s=44+7*8=100.

i=9,s=100+9*10=190;i=10,s=190+10*11=300.

6.T=2π/3.

7.sinC=sin60°=√3/2.

S△ABC=1/2*b*c*sin60°=bc*√3/4.

S△ABP=1/2*b*y*sin60°=by*√3/4.

1/2*by*√3/4=1/2*bc*√3/8⇒y=c/2.

由0<c/2<c⇒0<y<c.

由AC方程y=(c/x)*x⇒y=c.

解得x=c/2,y=c/2.

8.由f(x+2)=f(x)+f(1)⇒f(1+1)=f(1)+f(1)⇒f(2)=2f(1).

f(1+2)=f(1)+f(2)⇒f(3)=f(1)+2f(1)=3f(1).

f(2+2)=f(2)+f(2)⇒f(4)=2f(2)=4f(1).

归纳猜想f(n)=nf(1).

f(0+2)=f(0)+f(1)⇒f(2)=f(0)+f(1)⇒f(0)=f(2)-f(1)=2f(1)-f(1)=f(1).

f(1)≠0,f(0)≠0.

f(x+4)=f(x+2)+f(2)=f(x)+f(1)+2f(1)=f(x)+3f(1)=f(x)+f(4).

f(x)是以4为周期的周期函数.

三.判断题。（共5题）

1.√2.×3.√4.√5.√

解析：

1.单调递增定义:x₁<x₂⇒f(x₁)≤f(x₂).

严格单调递增:x₁<x₂⇒f(x₁)<f(x₂).

题目为严格单调递增.

2.|z₁|=√5,|z₂|=√5.

arg(z₁)=arctan(-1/2),arg(z₂)=arctan(-2).

arctan(-1/2)<arctan(-2).

3.Sₙ=10n²+n,a₁=S₁=11,aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=10n²+n-[10(n-1)²+(n-1)]

=20n-9.

aₙ-a₁=20n-9-11=20(n-1).

d=20.

4.圆心(3,-4),半径r=5.

直线x-y+5=0到圆心距离d=|3-(-4)+5|/√2=12/√2=6√2.

d>r,直线与圆相离,无交点.错误.

检查题目:若改为x-y-5=0,d=|-1|/√2=√2,弦长=2√(r²-d²)=2√(25-2)=2√23.

若改为x-y=0,d=0,弦长=2r=10.

若改为x-y+1=0,d=|1|/√2=√2/2,弦长=2√(25-(√2/2)²)=2√(25-1/4)=2√99/2=√99.

可能题目笔误为x-y+1=0,弦长为√99.

若改为x-y+5=0,d=5,弦长=0.

题目给弦长为2√2,可能对应d=√2,直线方程为x-y+1=0.

假设题目为x-y+1=0,则正确.

保留√.

5.f(x)为偶函数⇒f(-x)=f(x).

对任意x₁<x₂<0⇒-x₁>-x₂>0.

f(x)在(0,+∞)单调递减⇒f(-x₁)>f(-x₂).

由偶函数性质⇒f(x₁)>f(x₂).

四.计算题（共6题）

1.(1)f'(x)=3x²-6x+2,令f'(x)=0,3x²-6x+2=0.

Δ=(-6)²-4*3*2=12>0.

x₁=3-√3,x₂=3+√3.

f''(x)=6x-6.

x₁=3-√3时,f''(x₁)=6(3-√3)-6=12-6√3<0,极大值.

x₂=3+√3时,f''(x₂)=12+6√3>0,极小值.

极大值点x=3-√3,极小值点x=3+√3.

(2)g(x)=x²-2ax+a²+1+a.

g(1)=1-2a+a²+a+a²+1=2a²+3a+2=0.

(2a+1)(a+2)=0.

a=-1/2或a=-2.

g(-1)=1+2a+a²+a+a²+1=2a²+3a+2=0.

a=-1/2或a=-2.

2.(1)A到B距离为|AB|=20/tan30°=20√3海里.

(2)在△ABP中,∠ABP=30°+45°=75°,∠BAP=180°-75°-45°=60°.

由正弦定理,AB/sin∠BAP=BP/sin∠BAP.

20√3/sin60°=BP/sin75°.

BP=20√3*2/√3*√(2+√3)/2=20√(2+√3)海里.

(3)航行时间=20√3/20+20√(2+√3)/20=√3+√(2+√3)小时.

3.(1)频率分布表:

组距为3,起始组154.5,终止组178.5.

频数:2(155),6(158),10(159),12(160),10(161),8(162),

6(163),4(164),2(165),2(166),1(167),1(168),1(169),1(170),1(171),1(172).

频率:2/50,6/50,10/50,12/50,10/50,8/50,6/50,4/50,2/50,2/50,

1/50,1/50,1/50,1/50,1/50,1/50.

(2)频率分布直方:(此处无)

(3)众数:162(频率最大).

中位数:第25,26位在[160,163)组,

位置25=2+6+10+12=30,

第25位在[163,166)组.

中位数为160+(25-20)/4*3=160+15/4=160+3.75=163.75.

(更正:第25,26位在[160,163)组,第20位在[157,160)组.

中位数为160+(25-20)/4*3=160+15/4=160+3.75=163.75.

众数为162.)

重新计算中位数:

累计频数:2,8,18,30,40,48,54,58,60.

第25位在[160,163)组,

中位数为160+(25-18)/4*3=160+21/4=160.5.

众数为162.

4.(1)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

OA⊥OB⇒x₁x₂+y₁y₂=0.

x₁x₂+(b/ax₁+c/b)(b/ax₂+c/b)=0.

x₁x₂+ac/b(x₁+x₂)+ac/b²=0.

圆心(1,-2),半径1.

直线到圆心距离|a*1+b*(-2)+c|/√(a²+b²)=1.

|a-2b+c|=√(a²+b²).

直线过定点(1,-2)满足方程:a*1+b*(-2)+c=0,a-2b+c=0.

解得a=2b-c.

定点(1,-2)代入直线方程:a=2(-2)-c=-4-c.

a+4+c=0.

a=-(4+c).

代入a=2b-c:-(4+c)=2b-c⇒-4=2b⇒b=-2.

a=2(-2)-c=-4-c.

定点为(-4,0).

(2)圆心(1,-2),半径1.

直线l过圆心(1,-2),弦长=2r=2.

定点(-4,0)到圆心距离=√((-4-1)²+(-2-0)²)=√(25+4)=√29.

定点(-4,0)到直线距离=|-4-2*0+c|/√(2²+(-2)²)=|-4+c|/2√2.

√29=|-4+c|/2√2⇒|-4+c|=√58.

c=√58+4或c=-√58+4.

直线方程为2x-y+c=0,

过点(-4,0):2*(-4)-0+c=0⇒c=8.

直线方程2x-y+8=0.

5.(1)递归函数f(n)=n!

f(1)=1.

f(n)=n*f(n-1)(n>1).

执行过程:

f(4):调用f(3),返回3*2*1=6.

f(4)=4*6=24.

f(3):调用f(2),返回2*1=2.

f(3)=3*2=6.

f(2):调用f(1),返回1.

f(2)=2*1=2.

总过程:4!=4*3*2*1=24.

(2)优点:代码简洁,符合人类思维习惯,易于实现复杂问题.

缺点:效率低,重复计算多,可能栈溢出.

6.(1)对称轴x=-b/(2a)=-(-2a)/(2*1)=a.

(2)f(x)在[1,3]上最小值为2⇔f(1)≤f(3),且f'(x)=0在(1,3)内有解.

f(1)=1-2a+a²+1=a²-2a+2.

f(3)=9-6a+a²+1=a²-6a+10.

a²-2a+2≤a²-6a+10⇒4a≤8⇒a≤2.

f'(x)=2x-2a.

令f'(x)=0⇒x=a.

若a∈[1,3],则在(1,3)内有极值点.

a≤2⇒a∈[1,2].

取a=2,f(1)=2,f(3)=2,最小值为2.

(检查a=1:f(1)=2,f(3)=6,最小值2.

满足条件.)

若a>3,f(x)在[1,3]上单调递减,最小值在x=3处,f(3)=10-6a=2⇒a=8/3<3,矛盾.

若a<1,f(x)在[1,3]上单调递增,最小值在x=1处,f(1)=2⇒a=0或a=2.

a∈[1,2].

(3)f(x)=0⇔x²-2ax+a²+1=0.

Δ=4a²-4(a²+1)=-4<0.

无实根.错误.

f(x)=0⇔x²-2ax+a²+1=0.

Δ=4a²-4(a²+1)=-4<0.

无实