四川省绵阳市三台县中学2024-2025学年高三下学期高考模拟考试二数学试卷

数学科目试卷说明：考试时间分钟，试卷满分分.开考前，请在试卷上和答题卡上都要填写好自己的个人信息，然后用铅笔在答题卡的规定区域填写，用黑色签字笔在答题卡的指定区域书写.考试结束后，只交回答题卡即可.85分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合并集运算的定义即可求出答案．【详解】，∴，故选：B．2.已知复数，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数模的公式及除法法则求解即可.【详解】.故选：D.3.若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（）第1页/共18页【答案】C【解析】【分析】得到命题的否定后结合根的判别式计算即可得.【详解】命题“”的否定是“”，则“”是真命题，则有，解得故选：C.4.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将弦化切，即可求出，再由二倍角公式计算可得.【详解】因为，所以，解得或，又，所以，则，所以.故选：C5.已知点在在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】量的定义计算可得.第2页/共18页【详解】设，又，则，，，因为，所以，即，解得，所以，则，，所以，，所以在上的投影向量为.故选：D6.如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（）A.2B.C.D.【答案】B【解析】的中点,系，利用空间向量法求出点到直线的距离.【详解】取的中点，连接，因为、均为等腰直角三角形，所以,由二面角是直二面角，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，如图，以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所第3页/共18页则,所以,所以,所以,,设直线的单位方向向量为，则,所以点到直线的距离为.故选：B7.已知，分别是椭圆PQ是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（）AB.C.D.【答案】C【解析】第4页/共18页交椭圆另一交点为径的性质有即可得解.【详解】由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长交椭圆另一交点为，由再结合椭圆的对称性，易知，所以，由椭圆过焦点的弦通径最短，所以当垂直轴时，最短，所以，所以，解得.故选：C8.记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围．【详解】因，所以．由正弦定理，有所以．因为．第5页/共18页所以．因为是锐角三角形，所以所以，所以．所以，即的取值范围是，故选：D．二、多选题：本题共3小题，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表：耕种深度810121416每公顷产量6.07.57.89.29.5经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（）A.每公顷产量与耕种深度呈负相关B.耕种深度的平均数为12C.每公顷产量的平均数为7.8D.【答案】BD【解析】A即可判断BC代入方程求出即可判断D.【详解】A：对于，，所以每公顷产量与耕种深度呈正相关，故A错误；B：由题意知，，故B正确；C：由题意知，，故C错误；D：将点代入方程，第6页/共18页故选：BD10.已知是等差数列的前项和，，，则（）A.B.C.当时，取最大值D.的最小值是0【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解即可.【详解】因为，所以，设数列的公差为，所以，对于A：，故A选项错误；对于B：，故B选项正确；对于C：，所以当或时，取得最大值，，故C正确；对于D：由C选项可知，当时，单调递减，所以没有最小值，所以D错误；故选：BC在棱长为的正方体E，F分别是棱BC的是（）A.直线EF与所成的角为B.平面AEF截正方体所得的截面面积为C.若点P满足其中则三棱锥的体积为定值第7页/共18页D.以为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥表面相交的交线长为【答案】BCD【解析】ABC过P点在线段上D两个面的交线和为以为圆心，圆心角为以4为半径的圆弧，是直角三角形，球面与这个面的交线是以B2以为圆心，圆心角，半径为4的圆弧，进而可求解；【详解】解：对于A，连接因为E，F分别是棱BC，的中点，所以所以直线EF与所成的角为因为几何体是正方体，所以为等边三角形，所以，即直线EF与所成的角为，故A错误；对于B，连接因为平行且相等，故四边形为平行四边形，所以，所以所以平面AEF截正方体所得的截面为梯形因为，，梯形的高为，所以梯形的面积为故B正确.第8页/共18页对于C，因为其中，所以，所以，所以P点在线段上，又因为与平行平面平面所以P到平面的距离为定值，三角形的面积为定值，所以为定值.故C正确；对于D，因为是直角三角形，球面与这两个面的交线和为以为圆心，圆心角为以4为半径的圆弧，其弧长为，是直角三角形，球面与这个面的交线是以B为圆心，圆心角，半径为2的圆弧，其弧长为，是等边三角形，球面与这个面的交线是以为圆心，圆心角，半径为4的圆弧，其弧长为所以球面与三棱锥表面的交线长为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.函数的最小值为_________.【答案】##【解析】【分析】应用对数的运算性质得，再应用换元法及二次函数的性质求最小值.【详解】由题设，且，令，则，当，即时，.第9页/共18页故答案为：13.已知向量，，且，则__________.【答案】【解析】【分析】由，则，得到，再根据模长公式求解即可．【详解】由题意知，∴，即，∴，．故答案为：．14.已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】先构造函数，利用，最终求得，即时，恒成立，参变分离后使用切线放缩，最后求得的取值范围.【详解】设，则，故，则，，，所以在上恒成立，其中得：得：，当得：，故在处取的极小值，也是最小值，，从而得证.第10页/共18页故答案为：【点睛】切线放缩是一种很重要的方法，再使用导函数证明不等式或者求参数的取值范围时，经常使用，常见的切线放缩有以下几个：，，，等，在做题中做到灵活运用，可以有很好的效果.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且，.（1）证明：；（2）若，求边上中线的长.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）运用正弦定理边角互化，再用余弦定理可解.（2）运用余弦定理，结合边角互化可解.【小问1详解】证明：因为，由正弦定理得，，所以，因为，由余弦定理，，代入得，，化简得，所以，即证；【小问2详解】因为，所以，所以，，在中，由余弦定理，第11页/共18页16.已知函数图象与直线的两个相邻交点间的距离为.（1）求的值；（2）若，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】1）应用三角恒等变换化简函数式为，结合函数性质确定函数的周期，进而求参数值；（2）由正弦型函数的性质求区间值域即可.【小问1详解】由题意由直线的两个相邻交点间的距离为，结合正弦函数图象性质知，函数的最小正周期为，故，所以.【小问2详解】由（1）知，，因为，所以，第12页/共18页所以函数的值域为.17.如图所示，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将向上折起，使D点折到P点，且．（1）求证：面ABCE；（2）求AC与面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】1）取的中点，连，，证明，，得到面，从而证明，然后可得面；（2）作交于，则，然后以点为原点建立空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.【小问1详解】由题意，可得，，则，取BC的中点F，连OF，，可得，所以，因为，，且，所以平面，又因为平面，所以．又由BC与AE为相交直线，所以平面．第13页/共18页【小问2详解】作交于，则如图建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，所以可取，所以与面所成角的正弦值.18.已知a，，，（1）当时，讨论的单调性；（2）设，若在上有极值，求b的取值范围并证明此极值小于b．【答案】（1）答案见解析（2），证明见解析【解析】10a的取值进行分类讨论；（2在(1,2)和b的取值范围，再分析极值点，方法一、根据即可证明；方法二、通过构造函数，求导，再令，根据单调性证明即可．【小问1详解】由题意知的定义域为，第14页/共18页当时，，当时，，则在上单调递减，当时，由，解得；由，解得.即在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】由题意得，所以的定义域为，在上有极值等价于在上有变号零点.令，即在上有变号零点.当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意；当时，上恒成立，所以在上单调递增，令，解得，此时在上有唯一零点.∵上单调递增，∴当时，，即；当时，，即，故在上单调递减；在上单调递增，故是的极小值点.方法一：由上分析，，∵，∴，即极小值小于b.方法二：第15页/共18页因，由，可得，则，令，显然在上单调递减，则，即，故，即极小值小于b．19.记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，.（1）证明：是等比数列并求；（2）数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由；（3）设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列.【答案】（1）证明见解析，（2）是，（3）不存在【解析】1变形为为等比数列，利用等比数列通项公式求法求解即可.（2）方法一：利用与的关系化简判定是等差数列，然后利用等差数列通项公式求解即可；方法二：通过前几项的结构猜想，然后利用数学归纳法证明即可.（3）先利用与的关系求得，进而，然后利用反证法思想解答即可.【小问1详解】∵，∴，∵，第16页/共18页∴是首项为4，公比为2的等比数列.∴，即.【小问2详解】方法一：∵，∴（两式相减得，整理得，∴，两式相减