高一数学（人教A版）学案必修二7-2-2复数的乘除运算

7.2.2复数的乘、除运算——(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)[课时目标]1．掌握复数的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3．掌握在复数范围内解方程的方法．逐点清(一)复数乘法的运算法则[多维理解]1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝________________.2．复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝______结合律(z1z2)z3＝________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________|微|点|助|解|对复数乘法的三点说明(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．(3)常用结论①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.[微点练明]1．(2024·全国甲卷)设z＝eq\r(2)i，则z·eq\x\to(z)＝()A．－2 B.eq\r(2)C．－eq\r(2) D．22．(2024·北京高考)若复数z满足eq\f(z,i)＝－1－i，则z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i3．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)5．已知复数z1＝1－2i，z2＝1＋bi，若z1·z2＝7－i，则实数b＝()A．1 B．2C．3 D．－1逐点清(二)复数除法的运算法则[多维理解]设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，则eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝______＋______i.复数的除法的实质是分母“实数化”．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子与分母都乘分母的__________．|微|点|助|解|(1)对复数除法的两点说明①实数化：分子、分母都乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．(2)常用公式①eq\f(1,i)＝－i；②eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1－i,1＋i)＝－i.[微点练明]1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝eq\f(1－i,2＋2i)，则z－eq\x\to(z)＝()A．－i B．iC．0 D．12．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z＝()A．3＋5i B．3－5iC．－3＋5i D．－3－5i3．(2023·全国甲卷)eq\f(51＋i3,2＋i2－i)＝()A．－1 B．1C．1－i D．1＋i4．(多选)已知复数z满足eq\f(z－2i,z)＝2＋i，则()A．z的虚部为－1B．|z|＝eq\r(2)C．z在复平面内对应的点在第四象限D．z6＝－8i5．已知复数z满足z(3＋i)＝3＋i2023，则z的共轭复数eq\x\to(z)的虚部为()A．－eq\f(3,5)i B.eq\f(3,5)iC．－eq\f(3,5) D.eq\f(3,5)逐点清(三)复数范围内方程根的问题[典例]已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是不是方程的根．听课记录：|思|维|建|模|1．复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为(1)当Δ≥0时，x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)；(2)当Δ<0时，x＝eq\f(－b±\r(\a\vs4\al(－b2－4ac))i,2a).2．利用复数相等的定义求解，设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将其代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．[针对训练]1．已知2－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则实数p，q分别为()A．p＝4，q＝－11 B．p＝－4，q＝3C．p＝4，q＝－3 D．p＝－4，q＝52．在复数范围内，写出方程z2－4z＋21＝0的一个解：z＝________.课下请完成eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(课时跟踪检测二十一及阶段质量评价二))7．2.2复数的乘、除运算[逐点清(一)][多维理解]1.(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．z2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3[微点练明]1．选D因为z＝eq\r(2)i，所以eq\x\to(z)＝－eq\r(2)i，z·eq\x\to(z)＝2，故选D.2．选C由题意得，z＝i(－1－i)＝1－i.3．选A因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限，故选A.4．选B由题意，得z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,1－a>0，))解得a<－1，故选B.5．选C因为z1·z2＝z1·z2＝(1＋2i)(1－bi)＝1＋2b＋(2－b)i＝7－i，所以1＋2b＝7,2－b＝－1，解得b＝3.故选C.[逐点清(二)][多维理解]eq\f(ac＋bd,c2＋d2)eq\f(bc－ad,c2＋d2)共轭复数[微点练明]1．选A因为z＝eq\f(1－i,2＋2i)＝eq\f(1－i2,21＋i1－i)＝－eq\f(i,2)，所以eq\x\to(z)＝eq\f(i,2)，所以z－eq\x\to(z)＝－eq\f(i,2)－eq\f(i,2)＝－i.故选A.2．选A∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.3．选C由题意知，eq\f(51＋i3,2＋i2－i)＝eq\f(51－i,22－i2)＝eq\f(51－i,5)＝1－i，故选C.4．选ABD因为eq\f(z－2i,z)＝2＋i，所以1－eq\f(2i,z)＝2＋i，所以z＝eq\f(－2i,1＋i)＝eq\f(－2i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－2i＋2i2,2)＝－1－i，z的虚部为－1，故A正确；|z|＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2)，故B正确；z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－1)，在第三象限，故C错误；因为z2＝(－1－i)2＝1＋2i＋i2＝2i，所以z6＝(z2)3＝(2i)3＝－8i，故D正确．5．选D由z(3＋i)＝3＋i2023，得z＝eq\f(3＋i3,3＋i)＝eq\f(3－i3－i,3＋i3－i)＝eq\f(9－6i＋i2,10)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i，所以eq\x\to(z)＝eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i，所以z的共轭复数eq\x\to(z)的虚部为eq\f(3,5).[逐点清(三)][典例]解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))解得b＝－2，c＝2.(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边得x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．[针对训练]1．选D因为2－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，所以(2－i)2＋p(2－i)＋q＝0，即(3＋2p＋q)－(4＋p)i＝0.