数学综合素养挑战卷2025能力精练

数学综合素养挑战卷2025能力精练一.选择题。（共10题）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B等于（）

A.{1}B.{2}C.{-1,1}D.{0,3}

2.函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.R

3.在等差数列{a_n}中，a_1=5，a_3+a_5=18，则该数列的前10项和为（）

A.150B.180C.210D.240

4.已知点P(x,y)在直线l:3x+4y-12=0上，且点P到原点的距离最小，则点P的坐标为（）

A.(0,3)B.(4,0)C.(2,3)D.(3,2)

5.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的像关于y轴对称，且周期为π，则φ的可能取值为（）

A.kπB.kπ+π/2C.kπ-π/2D.kπ+π/4（k∈Z）

6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，则f(2025)的值为（）

A.0B.1C.-1D.无法确定

8.不等式|x-1|+|x+2|>3的解集为（）

A.(-∞,-2)∪(1,+∞)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,3)D.R

9.在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，AA_1=3，则三棱柱的表面积为（）

A.24√3B.30√3C.36D.42

10.设函数f(x)=x^3-3x^2+2，则方程f(x)=0在区间[-2,2]上的实根个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二.填空题（共10题）

1.已知直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行，则实数a的值为______。

2.若函数f(x)=2^x+1在区间[1,3]上的最小值是3，则实数k的值为______。

3.在等比数列{a_n}中，a_2=6，a_4=54，则该数列的通项公式a_n=______。

4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则圆心到直线3x-4y+5=0的距离为______。

5.若tanα=2，且α为锐角，则sinα的值为______。

6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为______。

7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=x^2+bx+1，则实数b的值为______。

8.不等式组{x|1<x≤3}∩{x|2<x<4}的解集为______。

9.在圆锥P-ABC中，底面半径R=2，母线长l=4，则圆锥的侧面积为______。

10.设函数f(x)=x^2-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值为______。

三.判断题。（共5题）

1.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则对任意x1,x2∈(a,b)，都有f(x1)<f(x2)。（）

2.在等差数列{a_n}中，若a_m=a_n（m≠n），则该数列的公差d必为0。（）

3.过圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上任意一点P(x_0,y_0)的切线方程为(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2。（）

4.若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。（）

5.在直棱柱中，各侧面都是矩形。（）

四.计算题（共6题）。

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。

2.解不等式|2x-1|>x+1。

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，b=7，cosC=1/2，求边c的长度及△ABC的面积。

4.计算不定积分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的通项公式a_n，并判断它是否为等差数列或等比数列。

6.在直角坐标系中，求经过点A(1,2)和B(3,0)的直线方程，并用斜截式表示。

五.应用题。（共6题）。

1.某工厂生产一种产品，固定成本为8000元，每生产一件产品，可变成本增加50元，售价为每件100元。若要使利润最大，应生产多少件产品？（利润=收入-成本，收入=售价×销售量）

2.在一次数学竞赛中，参赛者需要解答5道选择题和4道填空题。解答每道选择题得6分，解答每道填空题得8分，满分100分。若某参赛者解答了全部题目，且得分不低于70分，问他至少答对了多少道题？

3.一艘船在静水中的速度为20km/h，水流速度为5km/h。若船要沿着与河岸成60°角的方向行驶，求船实际行驶的速度大小和方向（与河岸的夹角）。

4.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人。现要随机抽取5名学生组成一个小组，求小组中恰好包含2名男生和3名女生的概率。

5.一根长为10米的绳子，一端固定在墙上，另一端系一个重物。当绳子与地面成30°角时，重物离墙的水平距离是多少？

6.某公司计划投资一个项目，预计投资额为100万元，项目建成后每年可获得收益。已知投资回报率为10%，项目使用寿命为5年。若该公司希望在5年内收回全部投资本息，每年至少需要获得多少收益？

六.思考题

1.试述函数单调性的定义，并举例说明如何利用导数判断函数的单调区间。

2.在等差数列和等比数列中，分别举例说明它们的实际应用场景，并比较两种数列的性质和区别。

3.圆锥、圆柱、球这三种几何体在日常生活和工程应用中都有广泛使用，请分析它们各自的特点以及应用场景的异同。

4.统计学中的抽样是获取数据的重要手段，请结合实际案例，谈谈抽样方法的选择对结果的影响，并分析如何保证样本的代表性。

5.在解决实际问题时，如何将文字描述转化为数学模型？请举例说明建立数学模型的基本步骤和注意事项。

一.选择题。（共10题）

1.A2.B3.B4.D5.B6.C7.A8.A9.B10.C

解析：

1.解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，故A={1,2}，又B为奇数集，故A∩B={1}。

2.函数f(x)单调递增需满足a>1且x+1>0，故a>1。

3.由a_3+a_5=18得2a_1+8d=18，代入a_1=5解得d=1/2，故S_10=10×5+(10×9/2)×(1/2)=180。

4.点P到直线l的距离最小即垂线段最短，垂足为(3,2)。

5.函数像关于y轴对称，则sin(ωx+φ)=sin(-ωx-φ)，化简得φ=kπ+π/2。

6.由a^2+b^2-c^2=ab得(a-b)^2=0，故a=b，∠C=60°。

7.f(x+2)=-f(x)得周期为4，f(2025)=f(1)=0（奇函数过原点）。

8.当x<-2时，-x+1-x-2>3，得x<-2；当-2≤x≤1时，x-1-x-2>3不成立；当x>1时，x-1+x+2>3，得x>1。

9.表面积=2×底面积+侧面积=2×(√3/4)×2^2+√3×2×3=6√3+12√3=18√3。

10.f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，x=0或x=2为极值点，f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，故在[-2,0]和[0,2]各有一个根，共2个。

二.填空题（共10题）

1.-22.13.3×2^(n-2)4.45.2√5/56.3/57.08.(2,3)9.16π10.3

解析：

1.直线平行，斜率相等，-a/2=1/(a+1)，解得a=-2。

2.f'(x)=2^xln2>0，函数单调递增，最小值在x=1处取得，f(1)=2^1+1=3。

3.a_4=a_2q^2=6q^2，a_2=6，故q=3，a_1=2，a_n=2×3^(n-1)。

4.圆心(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3^2+(-4)^2)=4。

5.tanα=2，sinα=2/√(1+tan^2α)=2/√5。

6.cosA=b^2+c^2-a^2/(2bc)=1/2，A=60°。

7.f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)，即x^2-bx+1=x^2+bx+1，故b=0。

8.解集为{x|x>2}∩{x|x≤3}={x|2<x≤3}。

9.圆锥侧面积=πrl=π×2×4=8π，表面积=8π+2×(√3/4)×2^2=8π+4√3≈30√3（此处参考答案有误，正确计算应为8π+4√3）。

10.f'(x)=2x-a，x=1处取得极值，f'(1)=2-a=0，故a=2。

三.判断题。（共5题）

1.√2.√3.√4.√5.√

解析：

1.单调递增定义：若x1<x2，则f(x1)<f(x2)。

2.等差数列性质：若a_m=a_n，则a_m-a_n=0，即d=0。

3.切线方程标准形式：点斜式(x-x_0,y-y_0)=r^2/((x_0-a)^2+(y_0-b)^2)·(x-a,y-b)。

4.互斥事件定义：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，当A∩B=空集时成立。

5.直棱柱定义：侧面均为矩形的棱柱。

四.计算题（共6题）。

1.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。

f(-2)=-8，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。

最大值为2，最小值为-8。

2.解：|2x-1|>x+1等价于

2x-1>x+1或2x-1<-(x+1)，

解得x>2或x<0。

解集为{x|x>2}∪{x|x<0}。

3.解：cosC=1/2，得∠C=60°。

由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=5^2+7^2-2×5×7×(1/2)=25+49-35=39，

c=√39。

S_△ABC=(1/2)absinC=(1/2)×5×7×(√3/2)=(35√3)/4。

4.解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x+1)^2+2(x+1)+1]/(x+1)dx

=∫(x+1+2+1/(x+1))dx

=∫(x+3+1/(x+1))dx

=(1/2)x^2+3x+ln|x+1|+C。

5.解：a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。

a_1=S_1=1^2+1=2。

故a_n=2n（对n=1也成立）。

该数列为等差数列，公差d=2。

6.解：直线斜率k=(0-2)/(3-1)=-1，

直线方程为y-2=-1(x-1)，即y=-x+3。

斜截式为y=-x+3。

五.应用题。（共6题）。

1.解：设生产x件产品，利润L(x)=100x-50x-8000=50x-8000。

L'(x)=50>0，函数单调递增，

当x=0时，L(x)=-8000；

故利润最大值为L(x)max=L(160)=50×160-8000=8000元，

应生产160件产品。

2.解：设答对选择题x道，填空题y道，x+y=9，得分6x+8y≥70。

代入y=9-x，得6x+8(9-x)≥70，

-2x+72≥70，

x≤1。

故至少答对1道题（可以是0道选择题，9道填空题，或1道选择题，8道填空题等）。

3.解：设船实际速度为v，则vcos30°=20-5，vsin30°=5，

v=√((-15)^2+5^2)=5√5km/h，

tanθ=(5)/(√3*10)=√3/6，

θ≈30°。

实际速度为5√5km/h，方向与河岸夹角约为30°。

4.解：P(恰含2男3女)=C(30,2)×C(20,3)/C(50,5)

=(30×29)/(2×1)×(20×19×18)/(3×2×1)/(50×49×48×47×46)/120

=570×1140/(50×49×48×47×46)

=646560/(5·49·48·47·46)

=646560/(5·1105968)

=646560/552984

≈1.17。

（注：此结果大于1，计算有误，需重新计算）

正确计算：

P(恰含2男3女)=C(30,2)×C(20,3)/C(50,5)

=(30×29)/(2×1)×(20×19×18)/(3×2×1)/(50×49×48×47×46)/120

=435×1140/(50×49×48×47×46)/120

=491850/(50×49×48×47×46)

=491850/(5·49·48·47·46)

=491850/5·1105968

=491850/552984

≈0.89。

5.解：设每年收益为R万元，

则现值和为R/(1+10%)^1+R/(1+10%)^2+R/(1+10%)^3+R/(1+10%)^4+R/(1+10%)^5

=R[1/(1.1)+1/(1.1)^2+1/(1.1)^3+1/(1.1)^4+1/(1.1)^5]

=R[1/1.1+1/1.21+1/1.331+1/1.4641+1/1.61051]

=R[0.9091+0.8264+0.7513+0.6830+0.6209]

=R×3.7907。

要收回100万元，需R×3.7907≥100，

R≥100/3.7907≈26.3万元。

每年至少需要获得26.3万元收益。

6.解：设每年收益为R万元，

现值和为R/(1+10%)^1+R/(1+10%)^2+R/(1+10%)^3+R/(1+10%)^4+R/(1+10%)^5，

要使现值和≥100，即R[1/(1.1)+1/(1.1)^2+1/(1.1)^3+1/(1.1)^4+1/(1.1)^5]≥100，

R[0.9091+0.8264+0.7513+0.6830+0.6209]≥100，

R×3.7907≥100，

R≥100/3.7907≈26.3万元。

每年至少需要获得26.3万元收益。

六