沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训11特殊平行四边形动态几何压轴题(原卷版+解析)

特训11特殊平行四边形动态几何压轴题

一、解答题

I.如图1,正方形488的边长为1,E为边BC上一点(不与点B、C重合)，垂直于AE的一条直线MN

分别交人4、AE.CD于点“、P、N.

(1)①求证：AE=MN；

②连接AN、NE、EM,章谈亨里四边形ANEW的面积S的取值范围.

(2)如图2,若垂足P为AE的中点，连接8。，交MN于点、F,连接石尸，求—A所的度数.

(3)如图3,当垂足P在正方形A3CO的对角线8。上时，作NHLBD,垂足为“，点E在边8C上运动过程

中，PH的长度是否变化？若不变，求出尸H的长；若变化，说明变化规律.

2.在矩形48C。中，4A=8,BC=16,E、尸是直线AC上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向

而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为/秒，其中(0<Y10).

图1图2图3图4

⑴如图1,M、N分别是AK、C。中点，当四边形EW/W是矩形时，求，的值.

⑵若G、”分别从点A、。沿折线A-B—C,C-O-A运动，与耳•相同的速度同时出发.

①如图2,若四边形EGFH为菱形,求/的值；

②如图3,作人。的垂直平分线交八。、3C于点P、Q,当四边形PGQH的面积是矩形人以笫面积的9，

则I的值是.

③如图4,在异于G、〃所在矩形边上取P、Q,使得PD=BQ,顺次连接PGQH,请直接写出四边形PGQH

周长的最小值：.

3.如图①，点E为正方形A8CO内一点，NAE8=90。,将RsABE绕点、8按顺时针方向旋转90。,得到△CBE

(点A的对应点为点。).延长AE交于点凡连接。E.

猜想证明：

(1)四边形/3&FE的形状是;

(2)如图②，若DA=DE,请猜想线段。尸与FE的数量关系并加以证明；

(3)如图①，若48=15,CF=3,求的长.

4.如图，正方形A6C。的顶点。处有一等腰直角三角形CEP,ZPEC-90%连接AP,BE.

(1)若点E在BC上时，如图1,线段AP和BE之间的数量关系是；

(2)若将图1中的ACEP顺时针旋转使P点落在CD上，如图2,贝心1)中的结论是否仍然成立？若成立,

请证明；若不成立，请说明理由；

(3)在(2)的基础上延长HP,BE交于F点、,若DP=PC=2,求3尸的长.

图1图2图3

5.如图1,在矩形纸片ABC。中，4B=3cm,AO=5cm,折叠纸片使B点落在边A。上的E处，折痕为尸Q,

过点E作EF//AB交PQ于尸，连接BF.

(1)求证：四边形4PEP为菱形：

(2)当点石在AO边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；

①当点。与点C重合时(如图2),求菱形BPEP的边长；

②若限定P、Q分别在边胡、8C上移动，求出点后在边AO上移动的最大距离.

6.如图所示，在正方形AAC。中，点石是边上一动点(不与A,B重合)，延长84至点F,使人r

连接CE,DF.

(1)判断四边形CEF。的形状，并说明理由；

⑵如图①，连接AC,过点£作£77_1_4。，垂足为点〃.

①证明：AH=EH；

②若BE：AE=\：夜，求的度数；

③如图②，连接在点£的运动过程中，唾的值是否发生变化？若不变，求出g的值；若变化，请

HFHF

说明理由.

⑴连接84、GH.

①如图1,若点G在边AB上，猜想3〃和G"的关系，并给予证明：

②若将图1中的正方形AEAG绕点A顺时针旋转，使点E落在对角线C4的延长线上，请你在图2中补全图

形，猜想8”和G〃的关系，并给予证明.

(2)如图3,若4C=5,A尸=3,将正方形AEFG绕点A旋转,连接请你直接写出E4的取值范围

8.如图1所示，将一个边长为2的正方形488和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一

个大的长方形4班尸.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至旋转角为1.

(1)当点D0恰好落在边E尸上时，点接到边。C的距离为,旋转角。；

(2)皿图2,G为8c的中点，且0。＜。＜90。，求证：GD=ED;

⑶小长方形绕点。顺时针旋转一周的过程中，QCD与△C&7能否全等？若能，直接写出旋转角。

的值；若不能，说明理由.

9.如图，四边形48co为菱形，AB=2,NA8C=60。，点E为边8c上动点(不含端点)点8关于直线AX

的对称点为点R点”为。尸中点.

(1)若NE4E=30。，求Z)H的长；

(2)作CG_LAE,垂足为G,当CG=及时，求/84E的度数；

(3)在(2)的条件下，设射线GH交于“，求CM的长.

10.如图I,矩形A8C。中，AB=2&，4。=4,在8c边上取点E,使将△ABE向左平移到△DCF

的位置，得到四边形AE/7).

（1）求证：四边形AFFO是菱形；

（2）如图2,将AOC产绕点。旋转至△DG4,连接GE,求线段GE的长；

（3）如图3,设尸、Q分别是七尺八石上的两点，且/尸。。=67.5。，试探究线段PF、AQ、PQ之间的数量

关系，并说明理由.

11.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=4^,E为对角线AC上的动点（点E不与A,C重合），

连接BE,将射线EB绕点E逆时针旋转120。后交射线AD于点F.

（1）如图1,当AE=AF时，求/AEB的度数：

（2）如图2,分别过点B,F作EF,BE的平行线，且两直线相交于点G.

①试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；

②连接AG,设CE=x,AG=y,请直接写；Hy与x之间满足的关系式，不必写出求解过程.

12.在矩形A8CD中，AB=4,4）=3,现将纸片折转，点。的对应点记为点P,折痕为£尸（点E、尸是折痕

与矩形的边的交点），再将纸片还原.

（1）若点。落在矩形ABCQ的边4B上（如图1）.

①当点P与点A重合时，ZDEF=°,当点E与点A重合时，/DEF=°,

②当点E在人8上时，点尸在。C上时（如图2）,若求四边形E/平。的周长.

（2）若点尸与点。重合，点E在匕线段与线段。交于点M（如图3）,当时，请求出线

（3）若点P落在矩形的内部（如图4）,且点石、厂分别在A。、OC边上，请直接写出八户的最小值.

13.如图1,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG,

线段EB和GD相交于点H.

（1）求证：EB二GD且EB_LGD；

（2）若AB=2,AG=应，求脚的长;

(3)如图2,正方形AEFG绕点A逆时针旋转a(0vav90。),连结DE,BG,ABG与一D4E的面积之差是

否会发生变化？若不变，请求出与心以七的面积之差；若变化，请说明理由.

14.如图.四边形ABC。、8EFG均为正方形.

(1)如图1,连接AG、CE,请直接写出AG和的数量和位置关系(不必证明).

(2)将正方形BEFG绕点B顺时针旋转打角(0°<^<180°),如图2,直线AG、CE相交于点形.

①4G和CE是否仍然满足(1)中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：

②连结求证："8平分NAME.

(3)在(2)的条件下，过点人作AN上MB交MB的延长线于点N,请直接写出线段CM与BN的数量关系.

15.图1,在正方形A8CO中，A8=8,。为线段8c上一点，连接AP,过点8作3QJLA尸，交CD于点Q.将

BQC沿8Q所在直线对折得到8QC',延长交于点N.

(1)求证：BP=CQ.

(2)若BP=LPC,求AN的长.

3

(3)如图2,延长QN交出的延长线于点例，若8P=x(0<x<8),记.8WC的面积为S,求S与x之间的

函数关系式.

16.如图I,正方形CEFG绕正方形人8co的顶点C旋转，连接人凡点M是人尸中点.

(1)当点G在上时，如图2,连接8M、MG,求证：BM=MG；

(2)在旋转过程中，当点8、G、/三点在同一直线上，若AB=5,CE=3,则MF=；

(3)在旋转过程中，当点G在对角线4c上时，连接。G、MG,请你画出图形，探究。G、MG的数量关

系，并说明理由.

17.如图①，在等腰Rt/BC中，NB4C=90。，点E在AC上(且不与点A、C重合)，在—ABC的外部作

等腰用C£D,使NC瓦＞=90。，连接入。，分别以八8,人。为邻边作平行四边形ABFD,连接入尺

⑴请直接写出线段AF,AE的数量关系;

(2)①将△C£O绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE,请判断线段AF,AE的数

量关系，并证明你的结论；

②若AB=2小,CE=2,在图②的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形

ABFQ为菱形时，直接写出线段AE的长度.

18.如图1,将A48C纸片沿中位线折叠，使点A的对称点。落在8C边上，再将纸片分别沿等腰及

和等腰ADHC的底边上的高线方、祐折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形

进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.

图3图4

(1)将YA8CD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形A&G,则操作形成的折痕分别是线段和

S矩杉.榜：S、ABCD=

(2)丫686纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形七方6"，若EF=5,EH=12,求4)的长；

(3)如图4,梯形48CQ纸片满足4)//4C,ADvBC,ABJ.BC,A8=8,CQ=10.小明把该纸片折叠,

得到叠合氐力.畛请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AZ)、3c的长.

19.在正方形/WC。中，点E为边上一点(不与点3、C重合)，垂直于AE的一条直线MN

分别交A3,AE,CD于点M,P,N.

(1)①如图1，判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由：

(2)如图2,若垂足尸为AE的中点，连接3D,交MNJ•点Q,连接KQ,则乙MQ=.

(3)若垂足P在对角线8。上，正方形的边长为8.

①如图3,若BM=1，BE=3,则8P=；

②如图4,连接AN,将.APN沿着AN翻折，点P落在点P，处，A。的中点为S,则PS的最小值为.

20.在菱形A8C。中，ZABC=60°,P是直线8。上一动点，以AP为边向右侧作等边VAPE(4,P,E按

逆时针排列)，点七的位置随点尸为位置变化而变化.

(1)如图I,当点尸在线段4〃上，且点E在菱形A5CD内部或边上时，连接CE,则42与CE的数量关系是

，与CE的位置关系是________；

(2)如图2,当点P在线段3。上，且点£在菱形44C。外部时，(I)中的结论是否还成立？若成立，请予以

证明；若不成立，请说明理由；

(3)当点。在直线8。上时，其他条件不变，连接砥，若A8=2,BE=而,请直接写出VAPE的面积.

21.如图1,点G是正方形A8C。对角线03的延长线上任意一点，以线段BG为边作一个正方形"比6,线

段CE和AG相交于点”.

(1)求证：CE=AG,CE1AG.

(2)若八8=2,BGT,求CE的长.

(3)如图2,正方形跳户G绕点8逆时针旋转。(0＜。＜90°),连结AE、CG,*CG与沙班:的面积之差是否

会发生变化？若不变，请求出一BCG与二A5E的面积之差；若变化，请说明理由.

22.已知：正方形ABCQ中，NMAN=45。,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,0c(或它

们的延长线)于点M,N.当NM4N绕点A旋转到=时(如图I),易证BM+DN=MN.

⑴当/MAN绕点、A旋转到助0HON时(如图2),线段BM,ON和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想,

并加以证明.

(2)当NM4N绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM,ON和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你

的猜想.

(3)图3中若A8=3,MN=5,求二AMV的面积为.

23.(探索发现)如图①，四边形ABC。是正方形，M,N分别在边C/)、8c上，且N/0VV=45。，我们把这

种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将AWM绕点A顺

时针旋转90。，点。与点8重合，得到一ABE,连接AM、AN、MN.

图1图2

(1)试判断OM,4MMN之间的数量关系，并写出证明过程；

(2)如图①如果正方形的边长为4,求三角形CMN的周长；

(3)如图②，点M、N分别在正方形A8CO的边3C、8的延长线上，NM4N=45。，连接MN,请写出

MN、DM、8N之间的数量关系，并写出证明过程.

⑴若48=6；

①如图1,若点E在BC边上,”的长为；

②P、E、C三点在同一直线上时，求AP的长；

(2)如图3,当点“是A。的中点时，此时点E落在矩形A8CZ)内部，延长BE交DC于点F,若点产是CO的

二等分点，求AB的长.

25.在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，聪明的你也加入探究吧:

(1)如图1,在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点(点E不与B,C重合)，点尸在线段AE上，过点

F的直线分别交人8,CD于点M,M

此时，①NAE8与NAMN有什么数量关系？(直接写出即可)

②AE与MN之间又有什么数量关系？并说明理由；

(2)如图2：当点尸为4E中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD,MN与B。交于点G,连接AE

此时有结论：BF=FG,请利用图2做出证明.

(3)如图3：当点石为直线8c上的动点时，如果(2)中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB,CO于

点M，N,请你继续探究线段8户与R7之间的数量关系.并证明你的结论.

26.点尸是线段AB上的动点，分别以AP,"为边在A3的同测作正方形APCD与正方形PBb.

(1)如图1,连结A尸、BC,判断A厂与C8的位置关系和数量关系，并证明.

(2)如图2,将正方形乃跳?绕点P逆时针旋转，使得点E落在线段上，EF交PC于点、G,若DA=DF,

AF=10,求S.CEG。

(3)如图3,将方形尸8£尸绕点尸旋转至如图的位置，且AP=P8,连结A尸，作/。夕尸的角平分线交A/于

点”，请写出A”、PH、”产之间的数量关系，并证明.

特训11特殊平行四边形动态几何压轴题

一、解答题

1.如图1,正方形A8C。的边长为1,E为边上一点(不与点8、C重合)，垂直于A£

的一条直线MN分别交A6、AE.CO于点A/、P、N.

(1)①求证：AE=MN；

②连接AN、NE、EM,息谈耳中四边形ANEW的面积S的取值范围.

(2)如图2,若垂足P为AE的中点，连接80,交MN于点F,连接石产，求NAE/的度数.

(3)如图3,当垂足P在正方形A8CQ的对角线8。上时，作NH工BD,垂足为“，点E在边

8C上运动过程中，P"的长度是否变化？若不变，求出PH的长；若变化，说明变化规律.

【答案】(1)①见解析；②四边形ANEW的面积S的取值范围为g<S<l

⑵NA£F=45。

(3)不变，PH=—

2

【分析】(1)①过点8作8尸〃MN于点E由正方形的性质结合所作辅助线可得出四边形

M8FN为平行四边形，即得出MN=BF,BFLAE,从而得出NA8F+N8AE=90。，进而可

证明ZBAE=ZCBF.即可利用“ASA”证明△4跖=/\"才，得出AE=BF,从而证明AE=MN；

G)由AE_LM7V,可得出5=QAE1再根据A3<AEv/1C1,即得出从而得出

g<S<2；

(2)连接AF,过点F作”/〃AB，分别交AO,8c于点”，/.由所作辅助线即可得出

HUAD,HILBC,HI=AB=AD.^BD是正方形"CO的对角线，可得出ZBAD=45°,

即证明刈“尸是等腰直角三角形，得出H庆，RAH=FI,再根据线段垂直平分线的判定和

性质得出4"二五石.即可利用“HL”证明一47尸三尸/E,得出4/77=/尸印，从而可求出

ZAFE=90°,即可求出NE4E=NA斯=45。；

(3)过点P作尸。，8于点Q,PG_LA£)于点G,延长MN,使PF=PN,连接4F、BF、

AN,过点N作NK〃BC,交8Q于点K由所作辅助线结合题意易求出4PG=/N尸Q,

即可利用“ASA”证明-AGPNPQN,得出AQ=/W,从而得出NP/W=N/WP=45。，进而

可证明N84〃=NDW,即可利用“SAS”证明一8Ab=LDW,得出N/W〃=NAON=90。，

即说明凡B,。三点共线.由平行线的性质和等腰三角形的性质可证明出OH=〃K.又可证

明一NPK=FPB(ASA),得出BP=PK,从而得出尸〃=PK+K，=』BQ=立.

(1)

①证明：由正方形的性质可知NA8E=N8C£)=90。，AB=BC,ABCD.

如图，过点B作点?

・•・四边形MBFN为平行四边形，

:,MN=BF,BF上AE,

JZABF+/BAE=9(T.

VZS4BF+ZCBF=90°,

/.NBAE=NCBF.

NBAE=NCBF

，在aAB石和△8b中JAB=BC,

^ABE=ZBCF=90°

/.AABE^ABCF(ASA),

：.AE=BF,

:・AE=MN；

(2)VAELMN,

：.S=-AEMN=-AE2,

22

•：E为边BC上一息(不与点8、C重合)，

AB<AE<AC.

•・•正方形ABC。的边长为1,

AAB=\,AC=&，

；・l〈AE〈O,

A-<S<2；

2

(2)

如图，连接4凡过点/作小〃/W，分别交AD,BC于点H,I,

•・•四边形ABC。是正方形，

/./ABC=/BAD=/BCD=NADC=90。.

HI//AB,

，ZAH/=90°,

，四边形A8/”为矩形，

/.HI±AD,HI工BC,HI=AB=AD.

•••3。是正方形43co的对角线，

，NB4£>=45。，

・•・△〃2是等腰直角三角形，

：.HD=HF,AH二FI.

〈MN是AE的垂直平分线，

：.AF=FE.

,,\AF=FE

，在RtAA“尸和Rt"7E中「J

AH=Fl

/.AHF=FIE(HL),

・••ZAFH=/FEI,

・•・NAFH+NEF7=90。,

・•・ZAFE=90°,

•••△AFE是等腰直角三角形，

AZ£4F=ZAEF=45°；

(3)

PH的长度不变，理由如下：

过点。作尸Q，C。于点Q，氏7_14。于点6,延长MM使PF=PN,连接人尸、BF、AN,

过点、N作NK〃BC,交BD于点、K,

•・•四边形A8C。是正方形，

・•・ZADP=NCDP=45。.

VPQLCD,PGLAD,

:.PG=PQ,NGPQ=90〉.

•/ZAPN-匕GPQ-90°,

・•・ZAPG=/NPQ.

又•・•ZAGP=NPQN=90°,

/..AGP=PQW(ASA),

JAP=PN.

又•:ZAPN=90。,

••・NRW=N/W尸=45。.

•:PF=PN,APLPN,

：,AF=AN,

：.ZAFP=ZANF=45°,

ZFAN=90°=ZBAD,

J/BAF=/DAN.

乂・.・A8=AO,

/.^BAF=^DAN(SAS),

・••^ABF=NADN=9(F,

/.ZABF+ZABE=180°,

:,F,B,C三点共线.

,:NK〃BC,

・•・ZDKN=ZDBC=45°=/BDC,ZDNK=ZDCB=90°,

:・DN=KN.

又，:NHA.DK,

:・DH=HK.

•・•NK〃BC,

・•・NKNP=/PFB.

又,：ZNPK=/FPB,PN=PF,

:・NPUFPB(ASN),

：,BP=PK,

:.PH=PK\KH='BD=①.

22

【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角

三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强，困难题型.正确的作出辅助线是解题

关键.

2.在矩形A8C。中，A3=8,BC=16,E、尸是直线AC上的两个动点，分别从A、C两

点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为/秒，其中(0W/W10).

图1图2图3图4

⑴如图1,M、N分别是AB、C。中点，当四边形即力W是矩形时，求/的值.

（2）若G、〃分别从点A、C沿折线A—8—C,C—0-A运动，与EF相同的速度同时出发.

①如图2,若四边形EGFH为菱形，求f的值；

②如图3,作AC的垂直平分线交4）、8C于点尸、Q,当四边形PGQH的面积是矩形ABCD

面积的晟，则，的值是.

③如图4,在异于G、，所在矩形边上取P、。，使得PD=BQ,顺次连接PGQH,请直

接写出四边形PGQ"周长的最小值：.

【答案】⑴2后-4或2不+4

⑵①7；②，③166

【分析】（1）连接MN交AC卜点。，根据矩形的性质，得到EF=MN,分点E在点“上

方和点E在点F下方两种情况进行讨论，即可求出/的值；

（2）①连接MN交AC于点。，结合菱形的性质和矩形的性质证明△ECG,从而

证出直线G”是线段4C的垂直平分线，设8G=x,则GC=16—x,在RtZXABG中，利用

勾股定理求出入的值，求出入8+垢的值，即可求解/的值；②连接AQ、PC,根据题意求

出四边形PGQ”的面积，证明四边形GQ"P是平行四边形，推出“GQp=S〜/Q=gSpGQ〃，

求出S幡形八吩二~S矩形八8C0,再根据S&QQP=S梯""80/>-5瓯82-S^G”即口I求出，的值；③作G关

于8c的对称点为点G',连接G，。、GH,过点G'作0c的垂线，交。C延长线于点M,

当G'、Q、”三点共线时，G'Q+Q〃的值最小，即GQ+Q”的值最小，最小值为GH的长

度，此时四边形PG。”周长最小，根据勾股定理即可求解.

【解析】（1）解：连接MN交AC于点。，如图所示

BC

图1

•・•四边形48CO是矩形，AB=8,fiC=16

・•・AC=yjAB2+BC?=>/8;+162=8后

•:M、N分别是A3、CD中点

：・MN=BC=16,OA=OC=4也

•・•四边形的V是矩形

・•・EF=MN=\6

：.OE=OF=2

当点£在点尸上方时，AE=OA-OE=4召-8

当点E在点尸下方时，AE=OA+OE=4y/5+8

•・•速度均为每秒2个单位长度

:.，的值为2石-4或2石+4

(2)解：①连接AG、GH,GH交AC于点0,如图所示

图2

•••四边形EGF”为菱形

/.OF.=OF,GHAC,GE=FH,NHFE=NFEG

•・•4AFH+NHFE=180°,ZCEG+ZFEG=180°

：.ZAFH=ZCEG

•・•矩形A8CO

・•・ZFAH=ZECG

在△NV/和反‘G中

NFAH=/ECG

VZAFH=ZCEG

FH=GE

：.AFAH^AECG(AAS)

：.FA=EC

：,OA=OC

・•・直线GH是线段AC的垂直平分线

：.GA=GC

设8G=x,则GC=16-x

在RtZXABG中，AB1+BG2=AG2

：.82+X2=(I6-X)2,解得：x=6

/.A8+BG=14

・•・，的值为7

②连接AQ、PC,如图所示

图3

v四边形PGQH的面积是矩形A3CO面积的二

32

，四边形PGQ”的面积为：—x8xl6=60

32

•・・QP是AC的垂直平分线

・・・AQ=QC,AP=PC

由①可得：BQ=6,DP=6

由题意可得：BG=DH,5=ND

・•・△GBgAHDP(SAS)

・・・GQ=PH

同理可得：/XEAG且△QC”(S4S)

••・PG=QH

，四边形GQH尸是平行四边形

S&GQP=S&HPQ=]SPCJQd=30

由题怠可得：s^ABQP=|S^.ABCD=1x8xl6=64

—

=S梯形加W-S/kGa？S^GAP

：.30=(6+10)x8x1-6x(8-2r)xl-10x2rxl,解得：r=|

，当四边形PGQH的面积是矩形ABC。面积的||，则f的值是土,

J44

故答案是：I

③作G关于8C的对称点为点G',连接G，Q、G'H,过点G'作。。的垂线，交。。延长线于

点例，如图所示

由②可得：四边形GQ"P是平行四边形

•••四边形PGQH周长=2(GQ+Q")

•・,对称

・,.GQ=GQ

・•・GQ+QH=GQ+QH

当G'、。、〃三点共线时，G'Q+Q”的值最小，即GQ+Q”的值最小，最小值为GH的长

度，此时四边形PG。”周长最小

,:GB=GB=DH=CM

JHM=DC=8

;GH=JGM，+MH?=V162+82=8/

・•・四边形PGQH周长最小值为16档.

故答案是：16石.

【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判

定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理、最值等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的

性质，在解题中灵活运用.

3.如图①，点石为正方形A/3C。内一点，ZAE/?=90°,将口△A/法绕点4按顺时针方向

旋转90。，得到△CBE(点4的对应点为点C).延长AE交于点E连接。£

猜想证明：

(1)四边形3£正的形状是；

(2)如图②，若D4=Q£请猜想线段CE与正的数量关系并加以证明;

(3)如图①，若48=15,C尸=3,求DE的长.

【答案】(1)正方形

(2)CF=FE

(3)3717

【分析】(1)由旋转的特征可得到NE=NAE8=90。、NEBE-90。、BE=BE,再由NBEP

=180°-NAEB=90。，可判定四边形8E/E是正方形；

(2)过点。作。G_L4E于点G,由得AG=；AE,再证明△AOGgZX/ME,且由

四边形BE尸E是正方形，得到打E=AG=^CE,可证得结论：

(3)过点。作。G_LAE于点G,由旋转及四边形BETE是正方形可得如下关系：AE=CEt

=FE+CF=FE+3=BE+3,在用△84七中根据勾股定理求出/苏、AE的长，由(1)可知，

△AOGmXBAE,得到OG=BE,AG=BEf再由勾股定理求出OE的长.

【解析】(1)四边形8EFE是正方形.

理由如下：由旋转得，N£=NAEB=90。，/EBE=90。,

ZBEF=I8O°-NAEB=90°,

・•・四边形BEAE是矩形，

由旋转得，BE=BE,

・•・四边形8EFE是正方形.

(2)CF=FE,

证明：如图2,过点。作QG_L4E卜点G,则NQG4=N4瓦?=90。，

图2

■:DA=DE,

：,AG=^AE,

•・•四边形ABC。是正方形,

：.DA=AB,ZDAB=9()0,

，NA4E+ND4G=90。，

*/ZADG+ZDAG=90°,

JZADG=ZBAEf

在R4F中

ZADG=NBAE

ZAGD=NAEB,

AD=AI3

：,^ADG^ABAE(A4S),

:・AG=BE；

;四边形6EAE是正方形，

:,BE=FE,

：.AG=FE,,

由旋转得，AE=CE,

・苧石=/£，

：.FE=；AE=；C£,

:・CF=FE.

(3)如图3,过点短作。GJ_AE于点G,

图3

,:BE=FE，CF=3,

：.AE=CEf=FE,+CF=FE'+3=BE+3,

,：AE2+BE2=AB2,且AB=15,

.,.(BE+3)2+BE2=(15)2,

解得，8E=9或8E=-12(不符合题意，舍去),

・"E=9+3=12,

由(2)得，AADG经ABAE,

：.DG=AE=\2,AG=BE=9,

：.GE=AE-AG=\2-9=3,

,?ZDGE=90°,

,DE=JDG'GE?=A/122+32=3后.

【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的

判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等

三角形.

4.如图，正方形4BCO的顶点。处有一等腰直角三角形CKP,ZPEC=90°,连接AP,BE.

(1)若点E在上时，如图1,线段A尸和BE之间的数量关系是；

(2)若将图1中的户顺时针旋转使P点落在CO上，如图2,则(1)中的结论是否仍

然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)在(2)的基础上延长AP,BE交于F点,若。P=PC=2,求8尸的长.

【分析】(1)首先说明A,P,C三点共线，设正方形4BC。的边长为1,CE=x,根据正方

形和等腰直角三角形的性质求出AP和的长，即可判断；

(2)过点B作BHA.BE,且BH=BE,连接AH,EH,证明么ABH@/\BEC,得至ljAH=EC=PE,

/AHB=NCEB,从而证明四边形是平行四边形，同理可得AP二EH二&BE：

(3)过8,。分别作A尸的垂线，垂足为K,M,证明注△/%”,得到求

出AP,在△AZ)P中利用面积法求出。M,可得AM和8K,再利用勾股定理求出B/即可.

【解析】解：(1)•・•点E在BC上，APEC为等腰直角三角形，

：.PE=CE,ZPCE=45°,

•・•四边形ABC。是正方形，

JZACB=45°,

・・・A,P,C三点共线，设正方形ABC。的边长为1,CE=xt

：.PE=x,PC=^2x,AC"”=&,

：,AP=AC-PC=应-=a(1-x),BE二BC-CE=1-x,

:・AP二丘BE；

(2)成立，

如图，过点B作8H_L8E,且BH=BE,连接AH,EH,

AD

,?NABC二NEBH=9()0,

：.NCBE+NABE=NABH+NABE=9()。,

，NCBE=/ABH,

乂•：BH=BE,AB=BC,

:•△ABHgABEC(SAS)、

：,AH=EC=PE,NAHB=/CEB,

/.ZAHE=ZAHB-ZEHB=ZCEB-45°,

ZHEP=360。-ZCEB-NHEB-ZCEP

=360°-ZCEfi-45°-90°

=225°-NCEB,

/.ZAHE+ZHEP=NCEB-45°+225°-NCEB=180°,

：.AH//PE,

••・四边形是平行四边形，

：,AP=EH=y/2BE；

(3)如图，过8,。分另।.作4F的垂线，垂足为K,M,

ZBAD=ZBAK+ZDAM=90°,NA8K+NBAK=90。,

ZABK=ZDAM,

y.*：AB=AD,NAK8=NAWD=90。，

•••△A8K丝△OAM(A4S),

：,BK=AM,

;四边形八是正方形，DP=PC=2,

：.AD=CD=4,N4〃E=90。，

'AP二y/AD2+DP2=2x/5，

/.SAADP=-^ADXDP=-AP-DM,

22

：.-x4x2=-x2s/5DM

22t

，DM=—，

5

由（2）可.知：△E8H为等腰直角三角形，HE//AP,

/KBF=gNHBE=45。,

・・・N"=45。，

/.BF=—XV2=5^.

55

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形

的判定和性质，解题的关健是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

5.如图【，在矩形纸片ABC。中，AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使8点落在边AO上的七

处，折痕为PQ，过点E作比7/AA交尸。于F,连接B尸.

（1）求证：四边形6五EP为菱形；

（2）当点石在AQ边上移动时，折痕的端点P、。也随之移动；

①当点。与点C重合时（如图2）,求菱形BFEP的边K;

②若限定P、。分别在边BA、8c上移动，求出点E在边40上移动的最大距离.

【答案】（1）见解析；（2）①gem；②2cm

【分析】（1）由折叠的性质得出尸B=PE,BF=EF,/BPF=/EPF,由平行线的性质得出

NBPF=NEFP,证出NEPf^NEb,得出因此8P=8尸=£尸=£P，即可得出

结论；

（2）①由矩形的性质得出8C=AO=5cm,CD=AB=3cm,NA=ND=90。，由对称的性质

得出CE=BC=5cm,在Ri；，COE中，由勾股定理求出OE=4a〃，得出AE=AD-DE=\cnu

在Rl.APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=：cm即可；

②当点。与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时人七=3〃；当点P与点八重合时，

点E离点4最远，此时四边形4BQE为正方形，AE=AB=3cmt即可得出答案.

【解析】（1）证明：•・•折叠纸片使B点落在边4。上的E处，折痕为PQ,

・••点B与点E关于PQ对称，

:・PB=PE,BF=EF,NBPF=NEPF,

又,：EFHAB,

:・NBPF=/EFP,

NEPF=NEFP,

:・EP=EF,

:・BP=BF=EF=EP,

工四边形BFEP为菱形;

(2)解：①..•四边形A8CO是矩形，

：.BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,ZA=ZD=90°,

•••点B与点E关于P。对称，

,.CE=BC=5cm,

在Rt.CDE中,DE=yJcE2-CD2=4c/〃，

,\AE=AD-DE=5cm-4c〃?=lev”；

在RtAPE中，AE=1,AP=3-PB=3-PE,

：.EP2=l2+(3-EP)2,

解得：EP=*m,

•••菱形"EP的边长为

②当点。与点C重合时，如图2：

点E离点A最近，由①知，此时AE=\cm；

当点P与点4重合时，如图3所示：

点E离点A最远,此时四边形A8QE为正方形，AE=AB=3cm,

・••点E在边A。上移动的最大距离为2cm.

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的

性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.

6.如图所示，在正方形A8CO中，点正是边48上一动点(不与4,B重合)，延长84至点

F,使力尸连接C£,DF.

(I)判断四边形CEFO的形状，并说明理由；

⑵如图①，连接AC,过点E作F，_L4C,垂足为点从

①证明：AH=EH；

②若BE：AE=1：0,求N8CE的度数；

③如图②，连接"A在点E的运动过程中，黑CF的值是否发生变化？若不变，求出C案F的

HrHr

值；若变化，请说明理由.

图①图②

【答案】(1)平行四边形，证明详见解析；(2)①详见解析；②22.5。；③不变，&.

【分析】(1)由AF=BE,得出AB=EF.由正方形的性质得出CD=AB二BC,CD〃AB,即可

证出四边形CEFD是平行四边形；

(2)①由正方形的性质，得到NEAH=45。，由NAHE=90。，则△AEH是等腰直角三角形,

即可得到AH=EH；

②由等腰三角形的性质，得到=则BE二EH,然后证明△BCE^^HCE,即可得

到答案；

ArAFlCFl

③由把=空二&，ZEAH=ZHEA=45°,得至ACEs^EFH,即可得至1」匕=&.

EFEHHF

【解析】解：(1)•・•四边形ABCD是正方形，

ACD=AB=BC,CD〃AB.

VAF=BE,

AAB=EF.

/.CD=EF,CD/7EF.

，四边形CEFD是平行四边形.

(2)①•・•四边形ABCD是正方形，

,ZEAH=45°,

VEH1AC,

/.ZAHE=90°,

•••△AEH是等腰直角三角形，

/.AH=EH；

②:△AEH是等腰直角三角形，

・'•AE=>/2EH，

VBE：AE=I：6,

AE=>JiBE，

，EH=BE,

*/CE=CE,ZB=ZCHE=90°,

.,.△BCE^AHCE(HL),

/.ZBCE=ZHCE,

VZBCH=45°,

AZBCE=22.5°；

③由△AEH是等腰直角三角形,

/.ZEAH=ZHEA=45°,

在等腰直角△ABC中，有普=也

AB

AB=EF,

A

AE=6EH，

△ACE^AEFH,

CEACAE

HFEFEH

黑的值不变，系扬

HFHF

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质、全等三

角形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质

等知识；本题综合性强，有一定难度.

7.已知，四边形A8CO和四边形42/P都是正方形，点，为。尸的中点.

⑴连接8”、GH.

①如图1,若点G在边AB上，猜想3〃和GH的关系，并给予证明：

②若将图I中的正方形WG绕点A顺时针旋转，使点E落在对角线C4的延长线上，请你

在图2中补全图形，猜想8"和G”的关系，并给予证明.

⑵如图3,若AC=5,AF=3,将正方形AEFG绕点A旋转，连接EH.请你直接写出EH

的取值范围___________.

【答案】(1)①HG=HB、HB上HG；②"G=HG证明见解析

(2)[<EH<4

【分析】(1)①连接AC.ARAH,证明，ABH%CBH(SSS),HGA^,HGF(SSS),证明

是等腰直角三角形，即可得证；

②延长交A力于点M,连接AF,A〃,E”,8G,证明BCH^.MFW(AAS),

.AHEAGHF(SAS),得出HG=HB,根据等边对等角，设

NHBA=4HAB=a/HCE=2HEC=。,ZAHE=4GHF=9,根据外角的性质得出

2(a+/?+e)=NM”G=90。，即可证明〃G_L〃8；

(2)连接EG,根据，6-后〃《〃£«6石+〃6,当6在〃£：上时，HE最大,HE=HG+EG,

当后在裕上时，HE最小,HE=\,即可求解.

【解析】(1)①如图，连接ACAE4”，

•••四边形48co和四边形用6都是正方形,

・•・ZC4B=NFAB=45°,BC=AB,AG=GF,

：.NC4F=90。，

•・•”为。尸的中点,

:・AH=CH=HF,则N1=N2,

在、ABH,CBH中,

AB=CB

<BH=BH,

CH=AH

：・ABH@&CBH(SSS),

・•・ZBCH=/BAH,NCBH=ZHBA=45°,

在JYGA_"G”中，

HF=HA

,HG=HG,

AG=FG

AHGA^,〃Gr(SSS),

,N3=/4，

，ZWF=Z14-Z2=Z3+Z4,

・•・Z1=Z4,

・••NHGB=Z4+ZHAB=Z1+/HCB=ZACB=45°,

/./BHG=90。,

・•.48G是等腰直角三角形，

JHG=HB,HB1HG；

②HG=HB,HB工HG,

证明：如图，延长交4。于点“，连接AF,A”,