湖北工业大学理学院947量子力学考研题库

2017年湖北工业大学理学院947量子力学考研题库(一)

说明：①本资料为VIP包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

一、填空题

[0,0<x<2a

1•一质量为〃的粒子在一维无限深方势阱V(x)=A今中运动，其状态波函数

co,x<0,x>2a

为.能级表达式为0

[P..nnxpnWt?2

【答案】％(》)=彳占皿弱，Q<x<2a,二一一一，/,=1,2,5,

10.x<0,x>2aopci

2.总散射截面Q与微分散射截面*#)的关系是o

【答案】Q=h(00)dQ

3.在量子力学原理中.体系的量子态用希尔伯特空间中的来描述.而力学量用描述.力

学量算符必为算符'以保证其为实数.

【答案】函数矢量；张量(一般是二阶张量，即矩阵〉厄米；本征值

[解析]希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应

二阶张量，也就是矩阵.力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，铤％

符合事实.

4.微观粒子的状态由波函数描述'波函数一般应满足的三个条件是

【答案】连续性；有限性；单值性

5.v晶(x,Oe)=%w)L(Qe)为氢原子的波函数(不考虑自旋)，小/、，〃分别称为■子

数、子数、子数'它们的取值范分别为_

【答案】主；角：磁;1,2.3.-：0,1.2,…，n-1：/./-I,+6.一维谐振子升、降算

符，、a的对易关系式为；粒子数算符N与/、a的关系是；哈

密顿量H用51或"、a表示的式子是:N(亦即H)的归一化本征态为—

二、选择题

d

【答案】<1>T：<2)2.Y

8.已知体系的哈密顿算符为=.+心七馈，卜列算符…

2〃

:®X：如:③：⑤L@£：⑦£2；⑧》2。与/）对易的有

【答案】®（SX5）

9.一维问题中的哈密顿量为〃=p2/2E〃（x）,哈密顿与坐标的对易式[H,x]-（

A.hp/im

B.顼面即

HipUm

D4hp/im

Ehpliltn

【答案】c

10.中心力场中'算符建和£,的共同征函数为Y血（0,m则关于这两个算符的本征值方程正确的式

子是（）

A.或"：何币｝.3，心膈-MS）£兀

一物谢九（8.（。仲）=EWJUQO）

伊）LY^e.v）-

=做匕

D.”上（4研，《•））犯.0

时

【答案】C11.一维运动中‘哈密顿量〃=g+U(x),求[M=?[p,H]=?

2m

[答案][XJ卜土卜土2如=夺=?£'[p,H]=[p,V(x)]=T£V(x)o

12.给出如下对易关系:

[尤，Py]=---------[Z,pj=---------------[E]=

[气,0\卜----------[K*Pz卜--------------

L答案」0ihihx-2iazihpx

三、简答题

13.有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”‘你是否同意

这种说法，简述理由。

【答案】不同意。因为外m=泌/）,为实函数，但上即）可以为复函数。

14.分别写出日豳并态的一级、二级能量修正表达式。

【答案】标=玲妇玲=0有I妇.岑籍

15.量子力学中的力学量算符有哪些性质？为什么需要这些性质？

【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.

量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值

为实数，因而对求平均值的式子求共貌后，其值应该不变，而求平均值时算符求共貌后式子值不变即

要求算符为厄米算符.

16.什么是定态？若系统的波函数的形式为：（以）=引〃["+妇X））%问甲（X,。是否处于定

态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变

化.不是，体系能量有E和-E两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

17.波函数”（"）是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什

么？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之夕卜它还应该是单值、

有限和连续的。1"亿Jit表示在时刻尸附近d「体积元中粒子出现的几率密度。

18.分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时’波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值充应一个

以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并

度。将波函数中的坐标变量改变•个负号，若新波函数与原波函数相差一负号，则称其为负了称态。

19.何谓正常塞曼效应?何谓反常塞曼效应?何谓斯塔克效应？

【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，

原子发出的每条光谱线都分裂为＜2广+1）条（偶数）的现象称为正常塞曼效应.原子置于外电场

中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

20.写出由两个；自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。

【答案】总自旋为0：负钏9T驴））。

总自旋为1：刚fl伽）+I驴））I驴〉。

四、计算题

21.力学量（3在自身表象中的矩阵表示有何特点？

【答案】力学量在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为◎的本征值。

(3)易知5雄阳+挣％于是有

反二(w,山):华方

LF=(L_w,L_w)=¥

L/=(UV.L.V)二|八2

匚匚二(Lw,Lw)=：护

因此

裁订+订=平力讦=：(E?+匚，+2匚厂)=铲瓦=两

x_L［=?订=尸，步订=0

+Lj-2LjT)="-2

屋5

L：二金二底

一订24.设无外势场时，质量为□能量为E>0的粒子

的状态用球面波描写.试

(I)导出决定s波(1=0)波函数的常微分方程；

(2)求出所有S波的球面波波函数；

(3)计算对应于S波解的速度流矢量并作出图示.［南京大学2009研】【答案］(I)无外势场可看做

有心势场的特殊情况.

则粒子在球坐标系中薛定谱方程为

■!§(F?)+£■甲(r,Q#)=N(崩〃)2"r魁r

在s波情况下，1=(),改”研=0,

令乎("#)=?缩M),s滂

则£?”(「)+k切(r)=0・

(2)w(r)=eW•故对应波函数为

e如

其中A为归一化系数.

⑶概率概率流密度公式为尤一芸(甲PW-WM)

d15——1d一

球坐标系中眼否.〃七函四+布寂％卯展.°)“，明显与角度无关，故对应概率流密度的三个分量为

同理必一尸叫叫=0•

25.对于角动量算符A=mp,

(a)在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.

(b)定义升降算符L产氐士利用对易关系L,L]和[〃，3卜正明：若f是L?和L,的共同本征

态，则Lf也是〃和L,的本征态.

(c)在球坐标系中，求解L,的本征方程.

【答案】(a)由乙二rxp得_L="「必，L尸zp「xp二’L=xpy-ypxltxlyJ=[yp:-zpy,zpx-xpJ=[yp.,zpxJ+[-zpy.-

xp：J=ihLz同理可得凡LJ=WL,U=ihLy

则Z的三个分量之间的关系通式为：，例物二颂解，其中$碱是Levi-Civita符号，”,P,>>=(/.

2,3).

(b)

/&LJ=/LZ.Lx±iLyJ=fL:,LJ±ilLz,LJ=ihLv±JiLx=±h(Lx±iLy)=±hL±

IL,rj=[l：.Lx±iLy]=O

若f是/和乙的共同本征函数‘可设/二仁・

则匚了=匚夕敏=/（1+1”幻m

24

LLU扣=ULWjm=7+WLwx

Lj"=（L=L±力肱”=（m±l）h/y/bn

可见Zx以是〃和L的共同本征函数，本征值分别为7+D玄和（m土］）hd

（C）在球坐标中，L、=-访现代入L的本征方程乙中（舛）=4中3）得

①（。）=4e7h

利J用周期性边界条彳牛中（旧）二中（。+2力）可彳号七=,〃九小=0,±厂±2,…由归T七条

件可得A二寿•则心的本征态为中（。）=忐M相应的本征方程为匕0（伊）=,泌汽伊）.

26.丁$系未受微扰作用时只有三个能级：印.％?及％;,现在受到微扰沮的作用‘微扰矩阵元为

Fr（1=H^H'„=a.Hl2=HS（=0,i3=H\=b,H%=H%=C;a・h和c都是实数.用遍公式求能量至二

级修正。

【答案】至二级修正的能量公式为

其中%=%、，％;3II

分别为一级和二级修正能量.

n=l时，将m=2,3代入II式得

n=2时，将m=l,3代入II式可得

f!2=a*f2l=7~hIV

n=3时,将m=l,2代入II式可得

醯一。Eg-Eoi

再分别由I式、I口式、IV式和V式可得

&…a+切-

6=%+%02」03

27.歹为电子自旋算符。写出在‘表象中，的矩阵表示、n的本征值及其对应的本征态。

h\O/0）h

【答案，'z=2,=j*〃

28.在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。

【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：片=土尸+/小在动量

表象中，该哈密顿算符为：

由于动量的本征函数为S3”，，故哈密顿算符的矩阵元为：

二眼3-/)(±pT"**)s(p2)dQ

=5七W卷阮2)

2017年湖二匕工业大学理学院947量子力学考研题库(Z1)

说明：①本资料为VIP包过学员内部使用资料涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

,一、填空题

1.设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学是F在确定的值人则力学量算符皆与态矢

量S的关系为0_

【答案】人=,I卢W)

2.粒子在一维$势阱中运动，波函数为“(同倒J『(别的跃变关件为若势阱改为势垒

V(x)=ySM(/>0)'则h)的跃变条件为o

【答案】/(0,)-热0-)=-罕”(0)：/(0勺-/(0一)=普以0)

3•力学量算符必须是算符，以保证它的本征值为

【答案】厄米；实数

【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实

数，于是量子力学中就有了一条基本假设一量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.

4.普朗克的量子假说揭示了微观粒子特性'爱因斯坦的光量子假说揭示了光的性。

【答案】粒子性：波粒二象性

【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量孑段说E=/八，.爱因斯坦后来将此应用到了光电效应上

并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大页献，这为量了力学的诞生奠定

了基础.

5.白旋为的微观粒子称为费米子'它们所组成的全同粒子体系的波函数具有白旋为

的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有

【答案】：的奇数倍：反对称变换：。或1的龄倍：对称变换

6.当对体系进行某一力学量A的测量时.测量结果一般来说是不确定的♦测量结果的不确定性来源于

【答案】测量的干扰

【解析］当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发

生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性..

二、选择题

3孝冢

)*割软^

朝B伞〃者弱回旷孝+Y=f凿邸如仕味时牟暗&朝ft伞风叭"显贯掌去善磁符串剖・zi

0:F?【醇易】

=(r?i'-----心句'ii

米可植提的

o助弟者制引风您益兽韦4^申志中去尊兰蚤米垠舄一国兽去。^中志中会兽-01

4：:H0邛-【承曷】一耳目具虫怏J?­球刖翡也风'？一举剧渔

网，联逐

血麻函^郦fr・E%以癣国即一日〃，％>+有平+小平〃斐壬褚&93J-6

0«顷oW【孝曷】°--------------=\7"7]:-----二[J勺]：------=T7,7]:

-----=[RP]:-------=[Pw]-8

a【孝易】糜N岫

Ff咐/N?]・(!

必屹/辿-g严/N*

W

°()者喜翡笠宵闵爱翊峰1/“»乙/〃一

年国建黜棒*喜挈狂辱'中恻棒诲茴I垩耕•以帝£园敬风国羽互融垩&争差

13.完全描述电子运动的旋量波函数为"（汽上）=/沙（L力/2）试述w（1

J小八”（财/2）「分别表示什么样的物理意义。尸，一方

【答案】（尸，-力/2）「表示电子自旋向下（s：=E/2）,位置在，处的几率密度:

J表示电子自旋向上顷二〃2）的几率。

14.什么是隧道效应，并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒岛度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和G衰变

现象都是隧道效应产生的。

15.扼要说明：

（1）束缚定态的主要性质。

（2）单价原了•自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】（I）能量有确定值。力学量（不显含f）的可能测值及概率不随时间改变。

（2）（n/mV"初"/n：）。

定贝！J:A/=±1,AM=0,±1,A/H.=0o

理论根据：电矩m矩阵元”陶f*0。

16.波函数少与KL心3、。均为常数是否描述同一状态？

【答案】W与牌、庭’”描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

17.如果•组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系'问这组算符中的仁何•个

是否和其余的算符对易？

【答案】不妨设这组算符为人3、C……，完仝系为现），依题意，人仁F阳，g-B-

Cy/n=3……，则对任意波函数9,有：

&物=（AB-BA）M二£（福-"=Z（4A-BA也=0

nnn

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

18.如果算符力表示力学量，那么当体系处于片的本征态丫时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，其确定值就是「在本征态Y的本征值。

19.试表述量子态的直加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由.

【答案］量子态的叠加原理：若例，代•佝，…心为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合仍

然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量.因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系

数不依赖于任何变量，

20.电子在位置和自旋R表象下,波函数甲如何归一化？解释各项的几率意义。

【答案】利用J(kQ,〃)r+阮(”力|年「二】进行归一化’其中：〃3,邠表示粒子在3半)处的几

率密度；kQ♦y.z)r表示粒子在(X,W)处&=4的几率密度。

四、计算题

21.质量为小的粒了在宽度为H的维无限深势阱中运动•

(a)建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谱方程.

(b)当粒子处于状态w(x)二(x)+?盛(x)时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概率.其中皿

(X)和靶(x)分别是基态和第一激发态.

(c)若上式的*(X是t=0时亥呻］波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数

【答案】(a)如图建立坐标系'

8Z-CO

0ax

I0,0<x<ah2d2

设‘⑴x0,x*'哈密顿算符H=一弟f+Wx)

肖2

波函数材(x)满足薛定道方程--UVM欢R-Eg

当x<(),x>。时，P(*)=0：

h2d2

当Ovxv〃时，----一y/(x)=Ei//((x)

2〃；lx~

令4=,则牛件+A米。)=。的通解可表示为

W(x)=AsinAx+8cosAx

利用边界条件"(0)-0,栗(。)=0得,B=0,k=m,ft=1,2,3,...*(x)=Asin*x

由归Tt可解得4=£•定态薛定i哭方程的解为

(2.nrr

,、J-sin-x,0<x<a

心工)=件a

0,x<0,x>a

22方2

对应的定态能量为E"="・十，〃=1,%一

2ua

(b)当粒子处于态"(x)*Q)+岂2(x)时，能量的可能值及几率为：才2方22公

功二厂\几率”「"=一?凯几率3/4

2心

(c)任意时亥ih的波函数可以表示为下面形式-(x,I)=£C“K(x)e〃"％.其中c〃=J#・〃(x*3o)

衣，在此题中CL?,夕刊故任意时刻I的波函数«x,r)=(x)e'%+亟材2(

其中£/=J2…2=一

2Papa

22.一自由的三维转子的Hamiltonian为式中［是轨道角动量算符1是转子的转动惯毫

(1)求能谱与相应的简并度；

(2)若给此转子施加以^扰H,=XsinO求基态能级移动(直至二阶微扰).

已知：匕J。，。)三〈祖二:+1)=匕(。,何=/小/：O.w0)

【答案】(1)显然，哈密顿算符与矛本征值对应，

故二维转子能谱&=籍).其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1.

(2)转子在基态非简并时：H(呻丽

故飞=土(£)(加，榭％)二寻fj•成列”二普争)

囹s膈啊)弓圈汁I必1..

，苔巨sin'QdOdO=£］洋［±sin4?+sin

H，2Q］L

9N(h

s64/12-

H\=H\=O

一级修正能量群)=H\=芳土，二级修正能量玲=£一=。

«*>与上

故由颇弓I起的能级移动为铲+铲二籍件丫

8/12汗J

0,/<0

23.设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为〃.其中入，T为常数。

I77.p\r>0

(1)求很长时间后(t»T)电子跃迁到激发态的概率.

已知，谟态其中为玻耳半径.

已知，基态3)=用％即)=，舄M(壬)

四伊)=%冲。(腑=亮点汆xp(9

(2)基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零?简述理由.(a)V200：(b)"211：(c：

V211；(d)V200.

【答案】(I)根据跃迁几率公式

(,)=圳&偏A(f)/顽寸

其中匕〃)口福1(静'"％仔坎，(…叫尸.

可知，必须魄得和编・

根据题意知‘氢原子在时所受微扰为：中=*;二打以万伽；

氢原子初态波函数为：%=幻燃)=」严

根据选择定则也=1,Arn=0,终态量子数必须是(nlm)=(nlO)

记外:“引初二淑弓)GF**

由初态"1。0到末态*210的跃迁矩阵元为

",(')=jV；io(F)4，cos8gr-ia>(rWr

=-A2--*J；c,"%为尸_Lcos"QsinOdOj；dip

2,血“

35

E''E\3e2

将〃，⑺代人跃迁几率公式

岭”210)(,)=薪

2kA2a2

3%2[%*+p]

2*W_

3“力2风+J)

(2)基态电子跃迁到皿晌仔)、四&)、心”任)

的几率均为0,因为不符合跃迁的选择定则

AZ=1,Am=0

24.求一竟度为a且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元•

[提示：，泊々sin"=；(cos(a+fi)•卜cos(a-胃)],j"ws〃”cosmi+"sinnu*cJ

【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为"“可=春蹄邛1岫5】在势阱

内有定态方程

h1d2

X±)=0处于定态时有E>0,设1<=承则有(p(x)=sinkx.coskx.

由于势函数满足V(x)=V(—x),则波函数满足奇宇称或偶宇称.

(1)满足偶宇称时有Q(x)=Acoskx,注意到①有*=-,N=I,2,3-

则吕=括(2,T)2,再考虑到归一化条件皿(x\<p,(x))=1有的"=1脆竺严H昏竺严咔)

注意到波函数乘以f常数描述的仍为同一个状态，贝际⑴北sin妙二归(X+£).

Vaa2

>2)同理，对奇宇称有

(pi(x)=Bsinkx,

,(2N)/r方狷

私.QN)ia(Y)

卜二TE疽每我N)、。%(沪脂sm

*sin亍(奸斜亦：

综合(1)(2)讨论有波函数")=0,1

本征能量n=123,

1/M

矩阵元即

=2jsin暨(x+%sin竺(x+以、xa\a2a2

!i[cos**(x+4-cos*?(x+£)xZo2

阡酣二!jp—cos半(x+；)]液=0

若m=n,可得至1阳“=打

a.(m—,a

=a(ni-n)7rxsin----(x+-)+z—rcos

a2(m-n)27ra

25.自旋在，。寸）方向的粒子，磁矩为，如•置于沿z方向的磁场Q中'写出其哈密顿量，并求其

概率幅与时间的关系。

【答案】将上述自旋在（仇。）方向的粒子（譬如电子）置于沿z方向的磁场B中观察其概率幅的变

化。这时的哈密顿矩阵为：

0)

H=一时Bb.="M'B6=

'“(0J

式中，幺=（：I］是泡利矩阵，加为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩知与角动量’的方向相

反。当自旋角动量和磁场同沿z方向时，磁矩沿-z方向。

可得薛定褴方程为：

噬）廿JL您）

即：

由岑二）M,BCZ

de

枳分后得：

取=0时刻的初始条件为〃片

“­贝1J：

-sin-e'

I2）

GU）、_

式4中rH，吒—二2哎年B

由上式可以看出，粒子的自旋矢量始终与极轴保持固定的夹角亿但以角速度S围绕极轴转动，气相当

于经典电磁学中磁偶极子在外磁场中拉莫旋进的角速度，如图所示。

26.考虑一自旋量于救s=I的粒子，忽略空间自由度，并假定粒子处在夕K场B=i5中(五为x轴的

单位矢量)，粒子的哈米顿算符为H=gB-S

(1)若虬§'.S,同本征矢Is,唯为基，求自旋算符S的矩阵表示.

(2)如果初始时刻=0粒子的态为>.求在t>0后粒子的态？

(3)发现粒子处在11T>态的概率是多少？

【答案】(1)由于

010、0T0100

S"正I0I.臬0-i000

、010,曾0-I

’010、<0-i00o]

力

故FI0I科十0000e.

.01。，、°0-1

由于哈密顿量为有=g耽则能量本征态对应于舄本征态.

(2)由定态方程K成〃=E#，解得

1

-L

T

0,E,=0

U,

I

；-j2i.E、=—gBf）

而II”。=1|的+、用匕+%1：故1>0后粒子的态为

0

|T与V2T孚1

h

甲（，）=QW|6'*-¥—^-y/ze

=务2+执舛’

，0、

0=!俱-回2+四，故所求概率为

⑶由于|1T)=L}

p=i)r=

=-(l-cos'B/)2

4

27.验证球面波为心)=4。〃满足自由粒子的薛定造方程：

潸皿=工<2

dt2m

(注：⑦,；〃冒」，：蓦八其中一代表仅与角度有关的微分算符)

【答案】知(群§宰(-£)；*=-罕•(2仃)

故£知商T

8A坚警竺Aip.。业平仝1

-"-qj(rj)=e*+_•―eh=_<p+(I)

ip-27r

△W=4£（F4）=g（-叫+”）=_L氏*与+一）+一+一（-乩+1=0力）】

故一哀△虾⑵

为⑶

g=E_

由（1）（22w（3）式可得i土知（，）=_岳尸。=_五春公Vp.此即所需证明方程

28.在©表象中,求UT=bxSir.Qc°SQ+bySinOsine+b,CosO的本征值和本征态'这里,亓

（sinQcos伊,sin6?sin伊：（：OS。）是。）方向的单位矢。

【答案】d・M=cr,sin*cos+avsin*sin+cos。（在b.表象中）

4：脑5+C;）sj：

本征方程为:即：

cos6»sinQLY"）_J"）

sin"-cos6»）侦厂”（七J

,„acosQ+»sin伐*=

由此Z得P1：

AaasinW-bcos<>=Ab

（cosO-A）a+sinOe-%=

0

sinaz，＞a-（cos8+2）b=0

cos<9-Asin2

有非零解的条件是:

-(cosO+Q

由此彳导：2?-1=0,2=

±10

cos%如2

可求彳拜人=1对应的本征矢为:

sin-e

与人=-1对应的本征矢为:2

2017年湖北工业大学理学院947量子力学考研题库(三)

说明：①本资料为VIP包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

,一、填空题

1.表示，几率流密度表示为O

【答案】碍密度；•/=法(内八/叩)

2.对一个量子体系进行某一物理量的测量时'所得到的测量值肯定当中的某一个‘测量

结果f来说是不确定的.除非体系处于

【答案】本征值：定态

【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致

物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，

即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.

3.判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是。

【答案】当物理体系的作用量与A相比拟时,该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远大于力

时，视为经典体系.

4.描述微观粒子运动状态的量子数有；具有相同n的量子态.最多可以容纳的电子数为

个。

【答案】"、1、成、s：2/

5.(1)体系处在用归一化波函数中(x)描述的状态.且此波函数可以按力学量A所对应的厄米算符入

的本征函数系展开.即-lx)认为“是归一的，则决定系数<的表达式为

(2)题(1)中设风是算符A的本征值，则力学量A的平均值入二0

(3)题(1)中当对体系进行力学量A测量时，测量结果一般来说是不确定的.但测量得到某一结果为，

的概率为0

【答案］(l)cA=C(x)/(x))

【解析】由题意心=£M(x),在上式两边乘以欢(对并积分得

0(x)M*)=J>：(x)£c4(x用，

考虑到正交归T七条件(由0)=昌有

0(对，"⑴)=J酒⑴C0(K炊=0

(2)£练|即

【解析i由平均值定义式万=(#3材)以及正交归Tt条件俵0)=耄,有

*Em(X),4£c0(x))=⑴,£心卷(x))=»k|cj.

(3)|cj2,为确定

【解析】由题意〃(X)=£J由⑴，在上式两边乘以并积分得

(A(x),#(x))=麟(x)£cO(x)dx

考虑到正交归T七条件(丸渺“)=%有

0⑴,#(x))=J犬x)Mk(x)clx=ck

而概率应该为O£(X)M>)]2=|c,为定值.

6.二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为和；它们的力学量

完全集分别是和;在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是和C

【答案】耦合表象：非耦合表象；优)尸C)(必,Z、」；，Z、)I1曷g和仃阴刎2〉

二、选择题

7.正交归一性表示为，如果算符”是厄米算符，则它满

【答案】gnd—j

8.角动量算符/满足的刘易关系为八J二，坐标’和动量凡的对易关系o

【答案】点

9.如果，[和C是厄米算符，并且“右卜。­则下列是厄米算符为()。

A.AC

AA

B.CA

C.AC+CA

D.[AC]

E.2[A.C]

【答案】c

10.下面哪组是泡利矩阵()•

m。，・(？

R昼』o}F?)

二十(?矽：小(?罚

D0.御口寸。&)

【答案】A

【解析】泡，矩阵必须满足以下对易关系吃♦叮=2喘再由(己)2=1.最终推导出泡利矩阵只能

为d脑=(；$弋-J

11.量子力学中的力学量用算符表示，表示力学量的算符有组成的本征函数。

【答案】厄密；完全系

12.对力学量A进行测量.要能得到确定结果的条件是()

A体系可以处于任一态

B.体系必须处于A宏观态

C.力学量人必须是守恒量

0体系必须处于A的本征态

【答案】D

［解析】若对力学量的测量得到的是确定结果，则要求体系必须处于定态，而处于定态的条件即体系

处广力学量;对应的本征态.

三、简答题

13.什么是费米子?什么是玻色子?两者各自服从什么样的统计分布规律？

［答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子.费米子遵守费米-狄拉克统计规

律,玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

14.写出测不准关系’并简要说明其物理含义。

【答案】测不准关系丽•顽2」.两己物理含义：若两个力学量不对易'则它们不可能同

4

时有确定的测值。

15.反常塞曼效应的特点，引起的原因。

【答案】原因如下：

(I)碱金属原子能级偶数分裂：

(2)光谱线偶数条：

(3)分裂能级间距与能级有关；

(4)由于电子具有自旋。

16.试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是默粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体：不同点是经典粒子遵

循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。

对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量

的周期性变化在空间中的传播再联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理曷它只是一种;L率波

17.m福对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基附上，试举出二个以上这样的基本假设'

并简述之。

【答案】(T)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函

数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。

（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量了力学中表示这个力学量的

算符，由经典表示式中将动量叼奂为算符-法V得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函数。

（3）将体系的状态波函数甲用算符六的本征函数。展开：

用+J洒01（其中袖产&Q,,F%=20,）

n

则在中，盔中测量力学量得到结果为4,的几率是kJ,得到结果在义-+范围内的几率是

（4）体系的状态波函数满足薛定谱方程仍竺;而.其中片是体系的哈密顿算符。

dt

<5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理\以上选三个

作为答案。

18.写出角动量的三个分量，顷馨蓦=如除），L5房蓦）的对易关系.

【答案】这三个算符的对易关系为

也£］二脱：［£〃」二脱，也&］二戒、，

19.能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

20.以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。

【答案】在量子力学中'能量E用算符/）表示，当体系处于某个能量外的本征态000时，算符户对态。

的作用是得到这•本征值，即：婿遁:当体系处于一般态甲归，算符疗对态队的作用是得到体系取不

同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应儿率〉即而胡印艮,，=£财•&,

n■

四、计算题

21.简述能量的测不准关系。

【答案】能量测不准关系的数学表示式为里.&腻/2,即微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的

测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。

(1)r的平均值：

【提示：尉噌+赤系(林斜点剧，『&腿=圭】

(2)动能的平均值：

(3)动量的概率分布函数.【答案】(1)r的平均值即

!11李雷%缀夕啸{2仿照53节，在直角坐标系中求解二维各向同性

【提示：正=我

和简并度，与三维各向同性谐振子比较.［上)3.9题

=-v

(2)由维里定理亍2(u为势能关于r的嘉次)有动能平均值

r=~V.而氢原子基态能量为片=-#=T+V.其中玻尔半径％=与

22%pe

故'=一片-=壬=法户・1。仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并发，与三

维各向同性谐振子比较.［上］3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能

级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.

23.考虑一维双N势阱：V(X)=-V0［8(x+a)+8(x~a)］.其中VQO,a>0.

(1)推导在x=a处波函数的连接条件.

(2)对于偶宇称的解，艮|lw(-X)=Y(X),求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本征值的数

目.

［答案］(I)薛定谱方程可表示为

一=［E+VO(x+〃)+VO(x-a加-0T为粒子质量，

2mdx~

工=土。为方程的奇点，在x=a点处"-不存在'表现为“不连续。

对上述方程积分JdxGTOL得出

当-a<x〈a时，-w=0,其中A=J一晋考虑到偶宇称,因此解为

W=C*+C小

(2)由题意知当x>a时，；iCW=3其中A=/芳考虑到束缚态，因此解为#=也“、

结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得

_AA疽，_（C&_C［）=_*”产

Ae^=Cd"+Ce~M

化去A,C后可得，”,二系1'〃+/）/=A整此即能量本征值所需要满足的方程.

所以满足此方程的本征值只有f

24.已知在£，表象中，L的本征函数为：四=订拒-怜（）•4=一的则由心表

-|/2y1/V2

象到/：、表象的变换矩阵S是什么？

'1/21/V21/2、

【答案】5:W/0-//V2O

-1/21/V2-1/2,

25.已知次、化'是泡利矩阵'B=McosQ+飞inO,

（1）利用疔：、E在疔表象中的表达式,求&”在夕表象中的本征态矢盆,

（2）总的本征态克可由日.♦的本征态：经绕x轴转动-。角的坐标变换而得，即盆=；%，试由此求W

在。表象的表达式，并与（I）所得结果比较。

【答案】（I）易知：

co矽-isinG

isin。-cosO

设无本征矢以=［：)=《)

Tsin夕

JsinOcoso

,.a.sin。.cos6/2