湖南大学《随机过程》课程习题集

湖南大学本科课程《随机过程》习题集

主讲教师：何松华教授

第一章：概述及概率论复习

1o1设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，求其

中有次品的概率。

1o2设一批零件共100个，次品率为10%,每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，

求第3次才取得合格品的概率。

1o3设一袋中有N个球，其中有M个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求乙取得红

球的概率(甲取出的球不放回)。

1.4设一批产品有N个，其中有M个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连

续n次取得合格品的概率。

1.5设随机变量彳的概率分布函数为连续的，且

其中。为常数，求常数A、B的值。

1.6设随机变量彳的分布函数为

F(x)=A+Barctg(x)(-OO<A-<OO)

(1)求系数A、B;(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。

1.7已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为

6A3»(2—y)0<x,y<1

/xy(X，y)=<

0elsewhere

(1)求条件概率密度函数"yWy)、/yix(ylx)；(2)问X、Y是否相互独立?

1.8已知随机变量X的概率密度分布函数为

c/、1r(工一〃4)~1

随机变量Y与X的关系为Y=cX+b,其中c,b为常数,求Y的概率密度分布函数。

1.9设X、Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为

10<x<le~y0<y

fx(幻=«0elsewhere^A0,)=

0elsewhere

求随机变量Z=X+Y的概率密度分布函数。

1。10设随机变量Y与X的关系为对数关系，Y=ln(X),随机变量Y服从均值为n、标准差为

丫的正态分布，求X的概率密度分布.

exp(厂

1o11随机变量X服从标准正态分布人(x)=vb),求随机变量y=X〃(n为正整数)

2

的数学期望及方差。

1。12通机变量X服从均值为叫、标准差为x的正态分布,X通过双向平方率检波器,Y=cX2(c>0),

求Y的概率密度分布。

1o13设二维随机变量的联合概率密度分布函数为

7?7T

fXY(x,y)=As\n(x-^-y)[0<x<—fl<y<—)

(1)求系数A,(2)求数学期望E[X]、E[Y],方差DDCI、D[Y];(3)求X、Y的相关函数及相

关系数.

1o14设X为拉谱拉斯随机变量，力。)=K"国(-oo<x<8)(a>0);求：⑴X的特征函数，(2)

利用特征函数求X的均值与方差，(3)讨论特征函数实部与虚部的奇偶性。

第二章：随机过程的基本概念

2o1某公共汽车站停放着两辆公共汽车A、B,从t=1s开始，每隔1s有一名乘客到达车站。如

果每名乘客以概率1/2登上A车，以概率1/2登上B车，各乘客登上哪辆车是相互独立的，

用均表示第j秒到达的乘客的登车状态，即登上A车则Xj=1,登上B车则％=0;设t=n时

A车上的乘客数为匕.(1)求离散时间随机过程1的一维概率分布率；(2)当公共汽车A上

的乘客达到10个时，A即开车，求A车出发时刻n的概率分布。

2.2一个正弦振荡器，由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响，其输出的正弦波可以看

作一个随机过程X«)=Acosg/+6)，其中A、、为相互独立的随机变量，且

一、⑵/42(0,4)一、［1/100诋(250,350)

人⑷=4n6/山G•，启3)=彳

0otherwise［0notherwise

］1/(24)。£((),24)

/①⑷二［0otherwise

求随机过程X(t)的一维概率密度分布函数。

2.3用一枚硬币掷1次的试验定义一个随机过程

cos⑺)出现正面

X(r)=4

12f出现反面

设“出现正面”和“出现反面”的概率各为1/2。(1)确定X(t)的一维分布函数E(x,1/2)、

E(x,1):(2)确定X(t)的二维分布函数£(必，先：1/2,1):(3)画出上述分布函数的图形.

2.4设随机过程2(力=*853/)+八皿由)(・8</<00),其中〉0为常数，X、Y为相互独立的随

机变量，概率密度分布函数分别为标准正态分布(即均值为0,标准差为1).若将Z(t)写成

Z(/)=Vcos(w+①)，(1)求随机变量V、的概率密度分布函数及联合概率密度分布函数，问

二者是否统计独立？(2)求随机过程的一维概率密度分布函数。

2。5求4题所给出的随机过程的均值及相关函数，并判断该随机过程是否为广义平稳随机过程。

2.6设某信号源每T(s)产生一个幅度为A的方波脉冲，脉冲宽度X为均匀分布于［0,T］的随

机变量。这样构成一个随机过程Y(t)(0t<)o设不同的脉冲是统计独立的，求随机过程

Y(t)的一维概率密度分布函数。

2。7设随机过程X(七)=Ycos(七)(―<t<),其中Y为均匀分布于［0,1］区间的随机

变量，求随机过程X仕)的自相关函数及自协方差函数.

N

2.8随机过程Z«)=XAe财。wR),其中4服从分布N(0,；),且相互独立；.为常数，/为虚

数单位，求复随机过程2(t)的均值函数与方差函数。

2.9随机过程X(t)=X+Yt,/wA；随机矢量(X,y)7的协方差矩阵为‘一［，求随机过程X(t)

」4_

的协方差函数。

2O10给定随机变量彳(力)，%为任一实数。定义另外一个随机过程

1X(t)<x.

北)二ii

oX(ti)>xi

试证明r(t)的均值和自相关函数分别为彳(亡)的一维和二维分布函数。

2o11有一脉冲串，其中每个脉冲的宽度为1,脉冲可为正脉冲也可为负脉冲，即脉冲的幅度随

机地取1或7(概率相等)，各脉冲的幅度取值相互独立；脉冲串的起始时间均匀分布于单位时

间内，脉冲间隔为0;求此脉冲随机过程的相关函数。

2.12.设随机过程X(t)=b+Nt,b为常量，N为正态随机变量，均值为叫标准差为，求随机

过程X(t)的一维概率密度及均值、方差。

2。13质点在直线上作随机游动，即质点在n=1,2,3,…时刻可以在*轴上往右或往左作一个

单位距离的随机游动。往右、左移动的概率分别为0、q(6■力1),P{X=-1}=Q,

各次游动是相互独立的，经过〃次游动后，质点所在的相对位置为

y(n)=±x,

1=1

求：G)离散时间随机过程y(〃)的均值函数；(2)r(n)的相关函数及自协方差函数.

2。14设随机过程X(t)=+3和为相互独立的随机变量，其概率密度分布分别为((。)、

.%(0,求随机过程X(t)的概率密度.

2.15设随机过程乂0)=4小皿［卬+以/)］,其中A(t)0,在同一时刻随机过程A仕)和(t)

是相互独立的，且仕)在任意时刻的概率密度分布为［—,］上的均匀分布，包络A(t)

在任意时刻的概率密度分布为人(〃)，求随机过程X(t)的一维概率密度.

2o16随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(t+),其中振幅A、角频率取常数，相

位为均匀分布于［一,］的随机变量，求X(t)的一维概率密度分布函数。

2O17设某通信系统的信号为脉冲信号，脉宽为T,脉冲信号的周期也为T,脉冲幅度是随机的

且服从高斯分布N(0,z),不同周期内的幅度％是相互独立的；第1个脉冲的起始时间与t=0

时刻的时间差u是均匀分布于(0,T)的随机变量，u与各用相互独立，求该随机信号在任意两

个不同时刻的二维联合概率密度分布函数。

2.18设随机过程X(t)的均值为mx(t),协方差函数为Kx(t“tj,仕)为普通函数，试求随机

过程Y(t)=X(t)+(t)的均值和协方差函数。

2.19广义平稳随机过程X(t)在四个不同时刻的四维随机变量X=[X(t),X(t2),X(t3),X(t4)]

丁的自相关矩阵为

21.30.4a

h21.2().8

T

RX=E[XX]=

0.41.2c1.1

0.9del

求矩阵中未知元素的值。

2.20设随机过程%(/)=Acos(a)+,其中为常数,A、B为相互独立的随机变量，概率

2

密度分布函数为正态分布N(0,)o求X(t)的均值和自相关函数。

2.21某平稳随机过程X(t)的自相关函数满足Rx(T)=Rx(0)(T0),证明Rx()必为以T

为周期的周期函数。

2.22给定随机过程X(t)和常数a。Y(t)=X(t+a)-X(t).试以X(t)的自相关函数来表示随机

过程Y(t)的自相关函数。若X(t)平稳,均值为叱，求Y(t)的均值；问Y(t)是否平稳？是否

与X(t)联合平稳？

2.23.(缺)

2024X仕)=At,A为随机变量，概率密度分布为N(0,1),求X(t)的均值及自相关函数.

2o25X(t)=cos(t),其中为均匀分布于(2)的随机变量，求X(t)的均值及自相关

函数.

2。26随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(t+)，其中振幅A、角频率取常数，相住

为均匀分布于［-,］的随机变量，求该随机过程的均值及相关函数，并判断其平稳性。

2o27随机过程X(t)仅由3个样本函数组成［查看教材中的原图］,而且每个样本函数等概率

发生。计算E［X(2)］、E［X(6)1、Rx(2,6)、Fx(x,2)、Fx(x,6)、FXU,历2,6)。分别画出

它们的图形.

2o28设从t=0开始，作每秒1次的掷硬币试验,如正面朝上，则X(t)在该秒内的取值为1,如

反面朝上，则X(t)在该秒内的取值为0;求：(1)X(t)的均值函数，(2)计算Rx(0。5,0.6),

Rx(0.5,2.5)o

2.29随机初始相位正弦波随机过程X仕)二Acos(t+),其中振幅A、角频率取常数，相位

为均匀分布于［0,2］的随机变量，求其时间相关函数及集合自相关函数，二者是否相等？

2.30根据掷色子实验定义随机过程XQ)=cos［(也)&=1,2,3,4,5,6,求*(1)/②的概率密度，

6

问X(t)是否为平稳随机过程。

2o31某随机过程由3个不同的样本函数组成，各样本函数等概率出现。

X(r,q)=1,X(r,e2)=sin(r),X(r,e3)=cos(r)

⑴求该随机过程的均值与自相关函数，(2)该过程是否平稳？

2。32.随机过程X(t)=Acos(t+),其中角频率取常数，相位为均匀分布于［0,2］

的随机变量，振幅A为瑞利分布随机变量，与相互独立，问该过程是否平稳？

aa1八

“、—expr--7］na>0

力(。)=但-2b

0a<()

2.33.两个随机过程X(t),Y(t)均不是平稳随机过程，且

XQ)=A(f)cosQ),Y(t)=8(。sin⑺

式中A(t)、B(t)是相互独立的零均值平稳随机过程，并有相同的相关函数,证明：Z(t)=X(t)+Y(t)

是广义平稳的。

2.34已知两个平稳随机过程的相关函数为

用⑺=外廿叫R(r)=a2(\-a\T\)(|r|<-)

YYa

试分别求其相关时间.

235设随机过程Z(，)=XQ)cos(加)-y(r)sin3),其中为常数,X(t)、Y(t)为平稳随机过程、

且联合平稳，求：⑴Z(t)的自相关函数；(2)如&⑺=&⑺，即⑺=°，求Z(t)的自相关

函数。

2o36两个统计独立的平稳随机过程X(t)和Y(t),均值都是0,自相关函数分别为&«)=/"、

&⑺=cos(2m);试求：(1)Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数，(2)W(t)=X(t)—Y(t)的自

相关函数，(3)互相关函数RzJ)o

2O37设X(t)是雷达发射信号，遇到目标后返回接收机的微弱信号为aX(­。)，其中avvl,

芍是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴随有噪声N仕)，于是接收到的信号为：

y0)=aX(f-G+N。)；(1)若X(t)与Y仕)是联合平稳随机过程，求二者的互相关函数；(2)在

(1)的条件下，假设N(t)为零均值，且与X(t)统计独立，求X(t)和Y(t)的互相关函数。

2.38已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度函数为

Gx(⑼二

694+3。~+2

求X(t)的均方值。

2.39平稳随机过程X(t)的自相关函数为

1rl

Rx(r)=4e~cos(^r)+cos(3^r)

求其功率谱密度函数。

2O40如图所示系统，若X(t)为平稳随机过程，证明Y(七)的功率谱密度函数为

2O41已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度函数为

心,、83(⑼+20(1-卑)|(y|<10

Gx(co)=10

0otherwise

求X(t)的自相关函数.

2.42设*(t)和Y(t)为两个统计独立的平稳随机过程，均值分别为叫、n,且X(t)的功率

谱密度函数为Gx()，定义Z(t)=X(t)+Y(t),试计算GXY()、GXZ().

2O43设随机过程Y(t)=X(t)cos(ot+),其中。为常量，X(t)为与无关的随机过程，

为均匀分布于(0,2)的随机变量，求Y(t)的自相关函数及功率谱密度。

2.44设随机过程X仕)=acos(t+)，其中a为常量，为与无关的随机变量，为均匀分

布于(0,2)的随机变量，的一维概率密度分布函数人(⑼为偶函数，求证X(t)的功率谱

密度为Gx3)=乃(⑼o

2o45设广义平稳随机过程X(t)的相关函数如下图所示，求其功率谱密度函数。

2.46设随机过程X(t)=cos(t+),其中为常量，为随机变量，其特征函数为(u)

=E[”],证明：当且仅当⑴=(2)=0时，随机过程X(t)广义平稳。

2.47下列函数是否可能为平稳随机过程的相关函数？

/(7)=46-"(]+2〃|①。为常数)

3

第三章：随机过程的线性变换

3O1设有随机变量序列｛X(n)In=1,2,3,…)以及随机变量X,且有/力九/5)=*,求证：

limE[X(n)]=E[X]=E[l.im.X(n)]

rr->x〃-

3.2设随机过程X(t)是平稳且可微的，导数过程为X")。证明：对于任一给定的时刻3随机

变量X(t)和X«)是正交的和互不相关的。

3.3设随机过程X(t)及随机变量Y和Z,并且有“利X(/)=y,LhnXQ)=Z,证明Y=Z(相当于：

若极限存在，则唯一)。

3。4设随机过程X(t)是平稳且可微的，导数过程为『⑴；设X(t)的物理功率谱密度为Fx()

(0),试求X(t)与X⑺的互功率谱密度以及X⑺的功率谱密度。

3o5设有复随机变量序列｛X(n)|n=1,2,3,•••｝以及复随机变量Y,且有司|X(〃)门<8,求证:

X(n)依均方收敛于随机变量Y的充要条件是

/加七次(〃》"(m)]=。(常数)

/n->ao

3o6设有随机变量序列｛X(n)|n=1,2,3,…｝,X(n)的相关函数为

Rx(n｝yn2)=E[X(n])X(n2)]

若有普逋序列｛ajn=1,2,3,…｝,并定义丫(〃)=力4X(k),求Y⑺均方收敛的充要条件。

*=|

3.7设有随机过程y⑺=[x⑺公，已知X(t)为零均值平稳随机过程,功率谱密度为Gx(),

(1)证明Y(t)为平稳随机过程，(2)求Y(t)的功率谱密度(不考虑=0处)。

3o8(非平稳随机过程的连续性)证明：若X(t)的自相关函数用储出)在乙=%=%处二元连

续,则X(七)在,=/0处连续。

3.9对于平稳随机过程X(t),均方连续的充要条件是其自相关函数Rx()在=0处连续。

3.10设X(t)是平稳随机过程，E[X(t)]=1,勺")=1+6-加，求随机变量S=[：X⑺力的均值

及方差.

3o11设X(t)的自相关函数为仆”)=42+&十1,系统的冲激响应为恤)=6"(年0),A、B、a均

为正的常数，设X仕)的均值非负，试求输出Y(t)的均值。

3.12在图示积分电路的输入端加入一平稳随机过程X(t),E[X(t)]=0,&&&)=d"削1,

电路的初始条件为Y(O—)=0,试分析输出过程Y(t)的统计特性(瞬态和稳态)。

o---II-----------o

二R…

次)C-ry(z)

o------------------------o

3.13(1)12题中若X仕)的相关函数为&(乙/2)=演"-2)，求输出过程的自相关函数；(2)

若输入从t=一已经开始(不限制t=0一处的初始条件)，求输出过程的自相关函数。

3.14如图所示的RL电路，输入为零均值平稳随机过程，相关函数为&&2)二/"网川，求输出

过程的自相关函数RY()。

OO

L

X(t)RY(t)

3o15设线性因果时不变系统的冲激响应为/()=""〃⑴(Q>0),输入平稳随机过程X(t)的自

相关函数为Rx(r)=e(a>0),求输入输出之间的互相关函数。

3.16设系统的输出为输入的延迟，延迟时间为，试用输入随机过程的相关函数Rx()来表示

输出随机过程的相关函数以及输入与输出之间的互相关函数。

3.17设线性时不变系统的传榆函数为输入平稳随机过程的X(t)的自相关函

数为Rx(r)=邛阳,试求输入输出随机过程之间的互相关函数。

3o18设输入随机过程的自相关函数为必演才)，理想窄带放大器的频率特性为

2

A69

2ICO-COfy\<V

H(»=

A69

0|co-co|>

Q~2

(外>雪)，求该放大器输出信号的总平均功率。

3o19如图所示的RL电路，输入X(t)是物理功率谱密度为No的随机过程，试用须域法求Y(t)

的自相关函数RY().

0—1I-----1-0

X(t)孑""

oo

3.20如图所示系统，输入随机过程的功率谱密度函数为常数，Gx(①)噢,试用频谱法求输出

随机过程Z(t)的均方值。

3o21零均值平稳随机过程X(t)加到一个线性滤波器，滤波器的冲激响应是指数函数的一段,

即

，/\e-at0<t<T

h(t)=\,

0otherwise

试用Gx()来表示输出随机过程Y(t)的功率谱密度.

3o22设积分电路输入输出之间满足如下关系y(/)=J，X⑺dr,其中T为常数，且X(t)、Y(t)

均为平稳随机过程，求二者功率谱密度之间的关系。

3.23线性时不变系统的输入X(t)、输出Y(t)为平稳随机过程，系统传递函数为H(J),

求证：G/(。)="()⑼Gx(⑼、Gy(①)=⑼(⑼

3o24对于图示单输入、多输出线性时不变系统，求证:输出Yi(t)、Y?(t)的互功率谱密度为

(⑼=口(./3)"；((⑼o

3.25设具有功率谱密度函数Gx(M=(#+3)/(〃+8)的某平稳随机过程通过某线性系统

后，输出随机过程的功率谱密度函数为Gy(。)=1,求该系统的传递函数。

2

3.26已知平稳随机过程的相关函数为：⑴Rx(r)=cy(l-alrl)(|r|<l/«);

(2)8⑺=b»加i;a>0.分别求其等效通能带。(注：此题应放在第4章)

(1X(t)<x

3o27给定实数x,定义理想门限系统的输入输出关系为丫⑺二八V,、，证明：(1)

[0X(t)>x

£[/(/)]=FY(X)；(2)RY(T)=FX(X,X,T).

第四聿：白色噪声与正态随机过程

4.1Xi>X2、X3、%是四元联合高斯分布随机变量，且£IX』=E[X2]=E[XJ=E[X/=0,求证：

E[X1X2X3X4]=E[X,X2]E[X3X4]+E[X1X3]E[X2X4]+E[X1X4]E[X2XJ.

4.2X.Y是零均值高斯随机变量，方差分别为/2,若X、Y服从联合高斯分布，且相关

系数为r,求Z:X/Y的概率密度分布函数。

4.3(接上题)证明以下关系成立：

p{x>o,y>o}=p{x<o,y<o}=-+arcsin(r)

424

p{x>o,y<o}=p{x<o,y>o)=--arcsin(r)

42万

p{xy>0)=l+arcsin(r)

271

p(xy<0)=_l_arcsin(r)

27T

4.4设线性系统的冲激响应为h(t),输入为平稳高斯过程X仕)，系统的输出过程为Y(t),证

明X(t)与Y(t)为联合正态分布随机过程。

4.5设n维高斯分布随机矢量*=[*],乂2，...,*,『的各个分量的均值为零，协方差矩阵为

111...111

22...222

3...333

•••♦•(其他未注明的元素根据对称性确定)

n-2n-2n-2

n-\n-\

n

求X的一维与二维概率密度分布函数。

4.6功率谱密度函数为No/2的高斯白色噪声通过一个滤波器，其传输函数为

H(»=——!——

\+

求输出随机过程Y(t)在任意时刻的;ft率密度分布函数。

4.7白噪声的均值为0,功率谱密度为非零的常数No,求其相关函数。

4.8理想白噪声通过截止频率为九的理想低通滤波器(幅须特性为常数1),求输出过程的自相

关函数。

4o9设X、Y是相互统计独立的高斯随机变量，且它们具有相同的该密度N(m,2);求随机变

量U=aX+bY和V=aX—BY的互相关系数以及U、V的二维联合概率密度.

4o10并联谐振电路如图所示，。代表噪声电流，它是白噪声，其功率谱密度为N”且为零均值,

若t=0时电路开始工作，初始条件为iL(0.)=0,v(0_)=0;研究t时刻电流儿和iR的统计特性。

+

fK

N出

lIL

?>

5R

»(t

4。11设X、Y为联合高斯分布的随机变量，均值分别为叱、mY,根方差分别为x、丫，互相关

系数为r,已现知X=x,求Y的合理估计值。

4.12一个高斯随机过程的均值函数为%⑺=2、协方差函数为Kx(4/2)=8cos［万亿-芍)］，写出

tFO,t2=1/2时刻的二维概率密度.

4.13一个平稳高斯随机过程的均值函数为四⑺=0、自相关函数为Rx⑺二包皿，写出

7UT

ti=O,tFl/2>t3=1时刻的三维概率密度。

4.14设随机过程ZQ)=4cos(w)+〃⑺，其中A、。为常量，n(t)为零均值平稳高斯过程，相

关函数为RN()，写出Z(t)的一维、二维概率密度分布函数。

4.15考虑两个随机变量的去相关处理。设匕、Yz为相关的零均值随机变量，方差分别为02,%2,

互相关系数为p,考察下列变换

"Xjrcos⑹sin(叫「X］

X2-sin(6)cos(^)J|_Kj

求使得变换后的变量不相关的条件.

4.16图示RC低通滤波器的输入为白色噪声，物理功率谱密度为Fx()=N0(0<)，求输

出随机过程的物理功率谱密度及相关函数，并证明对于任意的t3>t2>tb有

Ry(，3-")&电-I)

%（‘3-4）=

一(0)

0---------1I--------------0

gR…

式f）C--y（Z）

C----------------------------O

4o17（与第3章第26题重复）。

4。18设有二维随机矢量K'X」，其概率密度为

11[(内一叫『2"王一叫)(公一色)(七一网『

/x(x"2)1r-----7exp{2+2))

2/rJl—，历％2(1-r)cr,巧4％

在椭圆

a-叫）22-（%一町）（.一网）।（Z-，/f=z（尤为常量）

।O*।O*->

上概率密度为常数一』一exp{--J},称该椭圆为等概率椭圆，求随机矢量落在等概率

2（1-r）

椭圆内的概率。

4.19设门维随机矢量*=[治，Xz,…,X1服从联合高斯分布，各个分量相互独立，且均值为0,

随机矢量的协方差矩阵为

（72a（y~00...0

a2a<y~0...0

er2acr2...0

•••

••••

a~

求其N维特征函数

4.20（接上题）若各个分量的之间的协方差为

设另一随机变量丫为丫=丑X,,求Y的特征函数

1=1

4.21设3维高斯随机矢量X=[X,X2,X3]各个分量的均值为0,其协方差矩阵的元素值为kijCi,

2

j=1,2,3），且kH=k22=k33=;求（1）E[X]X2X3],（2）EIX-X^X^],⑶

EW）（x?2_/）（Xj2_/）]

4.22设3维高斯随机矢量后以42,X3]的概率密度为

/（x,A,x）=Cexp{――[2xj2-xx+x2-2xx+x2]}

<x1232}22}33

⑴证明经过线性变换

1-1/4-1/2X

Y=AX=01-2/7x?

001

得到的随机矢量Y=[丫],丫2,Y3],则匕,丫2,丫3是相互统计独立的随机变量；（2）求C的值。

4o23设义、X2是相互独立的零均值、单位方差高斯随机变量，定义二维随机矢量Y

[XP|X21]X,<0

Y=[YrY2]=l

JXP-|X211X>0

证明：(1)%、Y2都是高斯分布的，(2)Y不是联合高斯分布的。

4o24设某一线性系统的单位冲激响应为

*/>0/、八、

力⑺=.(a>0)

0r<0

输入“仕)为零均值白色噪声，功率谱密度为4/2,输出为彳(t);y(r)=X(r)-X(r-r),假设输

入从一开始，求y(t)的一维概率密度函数.

4.25设随机变量X、Y是联合高斯随机变量，且具有边缘概率密度人")、£,()，)，ETX]=£Tn=O,

E[X2]=E[Y2]=a\E[XY]=JLI;证明:

1

E[fx(X)fY(Y)]=

27rl4cA一〃2

2aM

4.26设零均值高斯随机过程X(t)的相关函数为Rx(T)=ae-9对其进行量化处理,得到时间连

续但取值离散的随机过程Y(t),即

y(r)=isifia--<X(t)<ia+-(i=0,±l,±2,...)

22

(1)求Y(t)的均值函数；(2)求Y(t)的一维概率密度函数。

4.27设线性系统的输入过程X(t)为零均值高斯随机过程，相关函数为&〉0),系

统的冲激响应为

eh，Z-°(b>0,ba)

〃⑺=

0t<0

X(t)是在t=-接入系统的，(1)求在t=0时揄出Y(0)大于y的概率；(2)如果在t=—T时,X(―

T)=0,求条件概率P{y(O)>y|X(-T)=O}(T>0);(3)如果在t=T时,观察到X(T)=0,求条

件概率P{y(O)>y|X(T)=O}(T)0)o

4o28设有平稳高斯随机过程彳(t),其均值为0,功率谱密度函数为

S°4—2X69/2V3|<4+A3/2

G((D)=

X0otherwise

求：(1)该过程在单位时间内取得极大值的平均次数；(2)极大值的概率密度分布；(3)该过程

在单位时间内正穿越X=a(从水平线X=a的下方向上穿过)的次数。

4.29设有平稳实高斯过程X(t),均值为0,相关函数为Rx(),该过程依均方意义可导，其导

数过程为X”),求在匕，t?两个时刻X4),X乜)，X(G),XQ)的四维概率密度。

4o30设X(n)为均值为0、方差为2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性

时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：

E[X(H)y(n)]=/2(0)<72,

〃二0

4.31均值为0、方差为2的离散白噪声x(n)通过单往脉冲响应分别为％(n)=al(n)以及

n2

h2(n)=bu(n)的级联系统(|a|<1,IbI<1),输出为W(n),求WO

4.32设离散系统的单位脉冲响应为h(n)=〃4-"〃(〃)3>1).输入为自相关函数为仆(m)=外2演相)

的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度.

4o33序列X(n)和Y(n)满足差分方程

y(〃)=X(n+a)-X(n-a)

其中a为整常数，试用X(n)的相关函数表示Y(n)的相关函数.

4.34实值一阶自回归过程X(n)满足差分方程

X(〃)+qX(〃—1)=V(〃)

其中&为常数，V(n)为方差为2的白噪声，输入从"0开始，X(-1)=O.

(1)证明：若V(n)均值非零，则X(n)非平稳；(2)证明：若V(n)均值为零、Iaj<1,则当

222

n足够大时，£;[X(H)]=cFv/(l-tzl)；(3)若V(n)均值为零，|aj<1,求X(n)的自相关函

数的平稳解。

4o35考察如下的二阶自回归过程X(n)

X(〃)=-4X(〃一1)一/X(〃-2)+V(n)

⑴若已知随机过程的相关函数值0(。)、勺⑴、Rx⑵，试写出用于计算系数如遇2以及零均值

白色噪声V(n)的方差。J的YuIe-WaIker方程;(2)反过来，若已知a产—1,a2=0.5,//=05,

求凡(0)、&⑴、&(2)的值；(3)求相关函数的通解。

4.36察如下的二阶自回归过程X(n)

X(〃)=々X(〃-1)一4X(〃-2)+V(n)

零均值白色噪声V5)的方差为bj,也±加-4b；\<2；求：(1)X(n)的功率谱密度；(2)根据

Wold分解求X(n)的自相关函数；(3)求Yule-Walker方程

4.37考察如下的二阶MA模型，输入X(n)的功率谱密度为02,求Y(n)的自相关函数和功率

谱密度。

Y(n)=X(n)+aiX(n-l)+c^X(n-2)

4o38考察如下的ARMA模型

X(/t)-0.9X(〃-1)=V(n)-0.2V(/?-l)

其中V(n)为零均值、单位方差离散白色噪声，求X(n)的自相关函数。

第五章：窄带随机过程

5.1证明：偶函数的希尔伯特变换为奇函数，奇函数的希尔伯特变换为偶函数.

5.2设一个线性系统的输入为XQ)时，相应的输出为y⑴，证明：若该系统的输入为XQ)的希尔

伯特反⑺，则其输出为y⑺的希尔伯特人。。

5.3设功率谱密度乂/2为的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1,

中心频率为7,带宽为2B(3</),滤波器输出为〃⑺，求〃⑺的自相关函数以及其同相分量

与正交分量的自相关函数。

5.4设a(f)=A(r)sin［w⑺］与〃(/)=A(/)cos|_e(f)］为低频信号，即当时，其频谱值为0,

a)o>>①o12，证明

H{A(r)cos[知+(pit)]]=A(r)sin[<wor+(p{t)\

H{A(r)sin[q/+}=-A(t)cos[%+(p(t)]

5.5证明广义平稳随机过程X⑺与其希尔伯特文⑺的相关函数存在如下关系

R双3=用3，R戕(T)=-hx(T)

7?.(r)=7?x(r),勺八7)为奇函数

5o6设X⑺的解释信号(复信号表示)为Z(/)=X(i)+/⑺，证明：

£[Z«)Z'(t-r)J=21RX(r)+j^(r)],E[Z(Z)Z(r-r)]=O

并用X(r)的功率谱密度函数Gx(⑼来表示Z⑺的功率谱密度函数.

5o7在复随机过程z⑺=XQ)+“⑺中，如果其均值E[za)]=E[x«)]+/E[ya)]=w为复常数，且

其自相关函数讥Z⑺Z.(…r)]=Rz(r)为仅与「有关的复函数，则称z“)为复平稳随机过程，设

4,攵=1,2,...,〃是〃个实随机变量，4,2=1,2,...,〃是"个实数。试问：AK以及4之间应满足什么

条件，才能使2«)=力4*，是一个复平稳随机过程。

5o8考虑窄带高斯过程〃⑺=X(/)cos(69</)-y(/)sin(6y</),假定其物理功率谱密度对称于载频co(,

求概率密度f(xt,x.T,y,,y.r).

5O9设复随机过程为ZQ)=tacos(@,/)+Msin3j)],其中见、q为相互独立的零均值实随机变

J=I

量，q42]=©丹2]=靖，对于任意的,q、%以及乩、月相互正交，求该复随机过程的自

相关函数.

5o10设窄带信号X。)的物理带宽为。(4-0/2WOVQ+C/2),证明其复包络模平方的物理

带宽为O(0<G<C).

5o11设窄带平稳随机过程〃⑺=X(r)cos(6(?/)-Y(r)sin(6^.r),证明：

&⑺=R”")cosQr)+凡(年)sin-

5。12对于调频信号X(f)=cos[〃/+〃2(r)],设|力〃0)/力|<<&,即为窄带信号，求该信号的复包络

与包络的表示式。

5.13设窄带平稳随机过程〃")=X(/)cos3j)-yQ)sin(0j),证明其自相关函数为

&(T)=Rx(r)cos(^.r)+/?xr(T)sin(^.r)

5O14设窄带平稳随机过程〃⑺=X(7)cos(6U>./)-y(/)sin(69</),若满足:

G»=0(㈤>2吗)

证明X⑺的功率谱密度为

Gx⑷=G〃((0-0,)+G,卜D+0,)(I69|<COc)

dr|

5.15将相关函数为/?x(r)=o-xVcos(^r)的窄带平稳随机过程Xa)表示为

XQ)=\(/)cos(69/)-\(/)sin(69*r)

试在(1)“=供)，(2)可工供的条件下，分别求出相关函数(⑺、R$(丁)以及％«)。

5.16考虑随机相位正弦波与窄带平稳实高斯随机过程X")之和

丫(1)=Asin3j+9)+XQ)

其中4、跳为常数，线为窄带实平稳随机过程丫⑺的功率谱密度的中心频率，夕为(0,2万)上均

匀分布的随机变量，£1X(OJ=0.D[X(r)]=a2,并假设X(f)、。相互独立；

(1)对每一个固定的。值，求)«)的均值和相关函数，判断丫⑺是否为高斯过程以及平稳过程；

(2)当。为(0,2不)上均匀分布的随机变量时，求y(r)的均值和