初中数学几何专题教案及习题解析

初中数学几何专题教案及习题解析一、专题教案设计（三角形全等的判定与应用）（一）教学目标1.知识与技能：熟练掌握“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”及“HL”（直角三角形）的全等判定定理，能结合已知条件选择恰当定理证明三角形全等，并推导线段、角的数量关系。2.过程与方法：通过动手操作、逻辑推理，提升几何观察、条件分析及推理论证能力，体会“转化”“分类讨论”的数学思想。3.情感态度：感受数学严谨性，培养探索精神与求实态度，体会几何知识的实际应用价值。（二）教学重难点重点：全等判定定理的灵活应用，能根据条件准确选择判定方法。难点：复杂图形中隐含全等条件的挖掘（如公共边、对顶角、角平分线等），及全等与其他几何知识的综合应用。（三）教学过程1.情境导入（5分钟）展示“复制三角形窗花”“按图纸制作三角形零件”的实例，提问：“如何保证新三角形与原图全等？除了测三边三角，有无更简便方法？”引发学生对“全等判定”的思考。2.新课讲授（20分钟）回顾旧知：复习“全等三角形对应边、角相等”的性质，提出疑问：“判定全等是否需要验证所有边、角？”引出判定定理探究。探究判定定理：SSS：让学生画三边为3cm、4cm、5cm的三角形，同桌对比发现全等，归纳“三边分别相等的两个三角形全等（SSS）”。SAS：画△ABC（AB=3cm，∠B=60°，BC=4cm）和△DEF（DE=3cm，∠E=60°，EF=4cm），对比得全等，强调“夹角”的关键作用（反例说明“两边及对角”不成立）。ASA与AAS：用硬纸板剪三角形，固定两角及夹边（或一角对边）复制，归纳“两角及夹边（ASA）”“两角及对边（AAS）”的判定。HL（直角三角形）：画Rt△ABC（∠C=90°，AC=3cm，AB=5cm）和Rt△DEF（∠F=90°，DF=3cm，DE=5cm），对比得全等，归纳“斜边和一条直角边分别相等的直角三角形全等（HL）”。3.例题精讲（15分钟）例题：点C、E、F、B共线，CE=BF，AB∥CD，∠A=∠D。求证：AB=CD。分析：1.由CE=BF，得CE+EF=BF+EF，即CF=BE（等式性质，挖掘隐含边相等）。2.由AB∥CD，得∠B=∠C（两直线平行，内错角相等，挖掘隐含角相等）。3.结合∠A=∠D、∠B=∠C、BE=CF，用AAS证△ABE≌△DCF，得AB=CD（全等对应边相等）。证明：∵CE=BF（已知），∴CE+EF=BF+EF（等式性质），即CF=BE。∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）。在△ABE和△DCF中，∠A=∠D（已知），∠B=∠C（已证），BE=CF（已证），∴△ABE≌△DCF（AAS）。∴AB=CD（全等三角形对应边相等）。4.课堂练习（10分钟）基础题：AC=BD，∠1=∠2，求证△ABC≌△BAD（提示：公共边AB=BA，用SAS）。提升题：AD是△ABC中线，E、F在AD及其延长线，DE=DF，连接BF、CE。求证BF∥CE（提示：证△BDF≌△CDE（SAS），得∠F=∠DEC，再证平行）。5.课堂小结（5分钟）学生自主总结：全等判定定理有哪些？应用时注意什么？（如SAS的“夹角”、SSS的三边对应等）强调“挖掘隐含条件（公共边、对顶角、平行线等）”是解题关键。6.作业布置基础：课本习题中“用SSS、SAS证明全等”的3道题。拓展：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD交其延长线于E。求证BD=2CE（提示：延长CE、BA交于F，证△BEF≌△BEC、△ABD≌△ACF）。二、专题习题解析（三角形全等的判定与应用）（一）基础巩固型题目1：AB=AD，BC=DC，求证∠B=∠D。解析：证△ABC≌△ADC（SSS）。已知AB=AD，BC=DC，AC为公共边，故△ABC≌△ADC（SSS），得∠B=∠D（全等对应角相等）。题目2：E、F在AC上，AD=CB，DF=BE，∠D=∠B。求证AF=CE。解析：证△ADF≌△CBE（SAS）。已知AD=CB，∠D=∠B，DF=BE，故△ADF≌△CBE（SAS），得AF=CE（全等对应边相等）。（二）能力提升型题目3：△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证DE=DF。解析：证△BDE≌△CDF（AAS）。由AB=AC得∠B=∠C（等腰三角形底角相等）；D是BC中点得BD=CD（三线合一）；DE⊥AB、DF⊥AC得∠DEB=∠DFC=90°。在△BDE和△CDF中，∠DEB=∠DFC，∠B=∠C，BD=CD，故△BDE≌△CDF（AAS），得DE=DF。题目4：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足为D、E。求证△ACD≌△CBE。解析：由∠ACB=90°得∠ACD+∠BCE=90°；AD⊥CE、BE⊥CE得∠ADC=∠CEB=90°，且∠ACD+∠CAD=90°，故∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）。在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=BC，故△ACD≌△CBE（AAS）。（三）综合拓展型题目5：四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC。求证BC+CD=√2AC。解析：过A作AE⊥AC交CD延长线于E（构造∠CAE=90°）。由∠BAD=90°得∠BAC=∠DAE；由∠BAD+∠BCD=180°得∠ABC+∠ADC=180°，结合∠ADE+∠ADC=180°得∠ABC=∠ADE。又AB=AD，故△ABC≌△ADE（ASA），得BC=DE，AC=AE。△ACE为等腰直角三角形，CE=√2AC（勾股定理），而CE=CD+DE=CD+BC，故BC+CD=√2AC。三、教学反思与总结教学中需重视“动手操作”与“逻辑推理”结合，让学生直观感受全等判定条件；