“希望杯”数学邀请赛高频考点试题及答案

“希望杯”数学邀请赛高频考点试题及答案一、计算问题1.分数、小数四则混合运算试题：计算$3.6\times25\%+\frac{4}{5}\times\frac{1}{4}+0.25\times2.8$。答案及解析：本题可根据乘法分配律的逆运算进行简便计算。因为$25\%=0.25$，$\frac{1}{4}=0.25$，所以原式可转化为$0.25\times3.6+0.25\times0.8+0.25\times2.8$。根据乘法分配律$a\timesc+b\timesc=(a+b)\timesc$，这里$a=3.6$，$b=0.8$，$c=0.25$，则原式$=0.25\times(3.6+0.8+2.8)=0.25\times7.2$。又因为$0.25=\frac{1}{4}$，所以$0.25\times7.2=\frac{1}{4}\times7.2=1.8$。2.定义新运算试题：对于任意两个数$a$、$b$，定义一种运算$a\odotb=a\timesba+b$，求$2\odot3$的值。答案及解析：根据定义的新运算$a\odotb=a\timesba+b$，当$a=2$，$b=3$时，$2\odot3=2\times32+3$。先算乘法$2\times3=6$，再依次计算$62+3=4+3=7$。二、应用题1.行程问题试题：甲、乙两人分别从$A$、$B$两地同时出发，相向而行，甲的速度是每小时$6$千米，乙的速度是每小时$4$千米，两人相遇后继续前进，到达对方出发点后立即返回，已知两人第二次相遇点距离第一次相遇点$30$千米，求$A$、$B$两地的距离。答案及解析：第一步，分析第一次相遇情况。两人相向而行，速度比等于路程比，甲、乙速度比为$6:4=3:2$，那么第一次相遇时，两人行驶时间相同，路程比也为$3:2$，把$A$、$B$两地距离看作$5$份，此时甲走了$3$份，乙走了$2$份，相遇点距离$A$地$3$份。第二步，分析第二次相遇情况。从开始到第二次相遇，两人一共走了$3$个$A$、$B$两地间的距离。因为时间相同，速度比不变，所以路程比还是$3:2$，那么甲一共走了$3\times3=9$份。此时甲距离$A$地$1$份（$95=4$，$54=1$）。第三步，计算每份距离。已知两人第二次相遇点距离第一次相遇点$30$千米，第一次相遇点距离$A$地$3$份，第二次相遇点距离$A$地$1$份，所以$31=2$份对应的距离是$30$千米，则每份距离为$30\div2=15$千米。第四步，计算$A$、$B$两地距离。因为$A$、$B$两地距离是$5$份，所以$A$、$B$两地距离为$15\times5=75$千米。2.工程问题试题：一项工程，甲单独做$10$天完成，乙单独做$15$天完成，两人合作$3$天后，剩下的工程由乙单独完成，还需要几天？答案及解析：第一步，计算甲、乙的工作效率。把这项工程的工作量看作单位“$1$”，根据工作效率$=$工作量$\div$工作时间，甲的工作效率为$1\div10=\frac{1}{10}$，乙的工作效率为$1\div15=\frac{1}{15}$。第二步，计算两人合作$3$天完成的工作量。两人合作的工作效率为$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}$，通分可得$\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$。那么两人合作$3$天完成的工作量为$\frac{1}{6}\times3=\frac{1}{2}$。第三步，计算剩下的工作量。剩下的工作量为$1\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。第四步，计算乙单独完成剩下工程所需时间。根据工作时间$=$工作量$\div$工作效率，乙单独完成剩下工程需要的时间为$\frac{1}{2}\div\frac{1}{15}=\frac{1}{2}\times15=7.5$天。三、几何问题1.三角形面积问题试题：在三角形$ABC$中，$D$是$BC$边上的中点，$E$是$AD$的中点，已知三角形$ABC$的面积是$40$平方厘米，求三角形$BDE$的面积。答案及解析：第一步，分析三角形$ABD$与三角形$ABC$的面积关系。因为$D$是$BC$边上的中点，根据等底等高的三角形面积相等，可知三角形$ABD$和三角形$ACD$的面积相等，都等于三角形$ABC$面积的一半。所以三角形$ABD$的面积为$40\div2=20$平方厘米。第二步，分析三角形$BDE$与三角形$ABD$的面积关系。因为$E$是$AD$的中点，同理可得三角形$BDE$和三角形$ABE$的面积相等，都等于三角形$ABD$面积的一半。所以三角形$BDE$的面积为$20\div2=10$平方厘米。2.圆的周长和面积问题试题：一个圆的半径增加$2$厘米，它的周长增加多少厘米？面积增加多少平方厘米（用含$\pi$的式子表示）？答案及解析：第一步，计算周长增加量。圆的周长公式为$C=2\pir$，原来半径为$r$，周长为$2\pir$，半径增加$2$厘米后，半径变为$r+2$，此时周长为$2\pi(r+2)=2\pir+4\pi$。那么周长增加了$2\pir+4\pi2\pir=4\pi$厘米。第二步，计算面积增加量。圆的面积公式为$S=\pir^{2}$，原来面积为$\pir^{2}$，半径增加$2$厘米后，面积为$\pi(r+2)^{2}=\pi(r^{2}+4r+4)=\pir^{2}+4\pir+4\pi$。面积增加了$\pir^{2}+4\pir+4\pi\pir^{2}=4\pir+4\pi$平方厘米。四、数论问题1.质数与合数问题试题：已知$a$、$b$、$c$是三个不同的质数，且满足$a\timesb+c=1993$，求$a+b+c$的值。答案及解析：因为$1993$是奇数，根据奇数和偶数的运算性质：奇数$+$偶数$=$奇数。情况一：若$c$是偶数，而既是质数又是偶数的数只有$2$，则$a\timesb=19932=1991$。将$1991$分解质因数，$1991=11\times181$，$11$和$181$都是质数，满足条件。此时$a+b+c=11+181+2=194$。情况二：若$a\timesb$是偶数，因为$a$、$b$是质数，那么$a$、$b$中必有一个是$2$。不妨设$a=2$，则$2b+c=1993$，$c=19932b$。当$b$取其他质数时，$c$的值可能不符合质数的定义，经检验，这种情况不存在其他合适的质数解。所以$a+b+c$的值为$194$。2.整除问题试题：一个五位数$\overline{3ab98}$能被$11$整除，求$a+b$的值。答案及解析：根据能被$11$整除的数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是$11$的倍数（包括$0$），那么原来这个数就一定能被$11$整除。在五位数$\overline{3ab98}$中，奇位上的数字之和为$3+b+8=11+b$，偶位上的数字之和为$a+9$。则$(11+b)(a+9)=ba+2$是$11$的倍数。情况一：$ba+2=0$，即$b=a2$。因为$a$、$b$是$0$到$9$的整数，且$a$在千位不能为$0$，当$a=2$时，$b=0$；当$a=3$时，$b=1$；当$a=4$时，$b=2$；当$a=5$时，$b=3$；当$a=6$时，$b=4$；当$a=7$时，$b=5$；当$a=8$时，$b=6$；当$a=9$时，$b=7$。对应的$a+b$的值分别为$2$，$4$，$6$，$8$，$10$，$12$，$14$，$16$。情况二：$ba+2=1