专题1.5 基本不等式及其应用（七类核心）-2026年高考《数学》一轮复习考点精讲

专题1.5基本不等式及其应用目录目录 1一、5年高考•真题感悟 2二、课程标准•考情分析 4【课程标准】 4【考情分析】 4【2026考向预测】 5三、知识点•逐点夯实 5知识点1、基本不等式（或均值不等式） 5知识点2、基本不等式的变形或拓展 5知识点3、基本不等式的常考的最值模型 6四、重点难点•分类突破 7考点1基本不等式及其应用 7考点2“直接法”求最值 10考点3“配凑法”求最值 12考点4“1”的代换求最值 14考点5齐次化求最值 16考点6与、平方和、有关问题的最值 20考点7其它综合问题 23五、分层训练 27A、基础保分 27B、综合提升 34

一、5年高考•真题感悟1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、指数式与对数式的互化、比较对数式的大小【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误，故选：B.2．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】对数函数单调性的应用、由基本不等式证明不等关系、比较指数幂的大小【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．3．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】求指数型复合函数的值域、求对数型复合函数的值域、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、基本不等式求和的最小值【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【难度】0.65【知识点】基本不等式求积的最大值、椭圆定义及辨析【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．【点睛】二、课程标准•考情分析【课程标准】1.了解基本不等式的推导以及证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．【5年考情分析】5年考情分析考题示例考点分析难易程度（简单、一般、较难、很难）2022年新Ⅱ卷，12题，5分基本不等式较难2021年乙卷，8题，5分基本不等式一般2020年天津卷，14题，5分基本不等式很难【2026考向预测】高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题，特别注意基本不等式与其它板块知识结合考查。三、知识点•逐点夯实知识点1、【基本不等式(或)均值不等式】如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．知识点2、【基本不等式的变形与拓展】1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；(3)若,则（当且仅当时取“=”）．3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．5．一个重要的不等式链：．6．函数图象及性质(1)、函数图象如右图所示：(2)、函数性质：①值域：；②单调递增区间：；单调递减区间：．知识点3、【基本不等式常考的最值模型】模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立．四、重点难点•分类突破考点1基本不等式及其应用例1．（2025高三上·内蒙古兴安盟·阶段练习）数学里有一种证明方法叫Proofswithoutwords，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（

）A． B．C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】基本不等式的内容及辨析【分析】根据等腰三角形的性质得，且，即可得答案.【详解】由题设，且，其中，或，且，由图知，即.故选：A例2．甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（

）A．甲更合算 B．乙更合算C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算【答案】A【难度】0.65【知识点】由基本不等式比较大小【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解.【详解】设两次的单价分别是元/升，甲加两次油的平均单价为，单位：元/升，乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升，因为，，，所以，即，即甲的平均单价低，甲更合算.故选：A【变式训练1】．（2025高一上·广东江门·月考）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，如图所示的图形中，在上取一点C，使得，，过点C作交以为直径的半圆弧于D，连结，作，垂足为E，由可以直接证明的不等式是（

）.A． B．C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】由基本不等式证明不等关系、图形的性质【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用即可得到答案..【详解】连接DB，因为AB是圆O的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故选：A【变式训练2】．（2024高三上·新疆·期末）（多选题）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（

）A． B．C． D．【答案】AC【难度】0.65【知识点】基本不等式的内容及辨析【分析】先明确、的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明AC选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断BD选项.【详解】由题意可知，，因为，，则，所以，，即，所以；在中，，即当时，、点重合，，此时，则，所以A正确；对于C选项，在中，，则，又因为，所以，，可得，即，所以，由于，所以，当时，，此时，综上，，所以C正确；由于在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明，故选：AC.考点2“直接法”求最值例3．已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为．【答案】【分析】由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可.【详解】由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立，故答案为：2例4．（2024·河北唐山·二模）已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由长方体的体积求出，再由基本不等式可求出，再由球的表面积公式计算得到答案.【详解】设长方体的长、宽、高分别为，所以长方体的体积为，解得：，设长方体的外接球的半径为，所以，即，即，当且仅当时取等，所以，所以其外接球表面积的最小值为.故选：C.【变式训练3】．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．9【答案】C【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值.【详解】由，得，当且仅当时取等号得出最小值4，故选：C.【变式训练4】．（2024·陕西西安·模拟预测）（多选题）已知，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【难度】0.65【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由条件结合基本不等式证明，由此可判断ABD，由条件，展开结合基本不等式求其范围判断C..【详解】因为，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，又，所以，当且仅当时等号成立，A正确；所以，当且仅当时等号成立，B正确；，当且仅当时等号成立，所以，D错误；因为，，所以，，故，，所以，C正确..故选：ABC.考点3“配凑法”求最值例5．已知，则的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.【详解】由，得，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3.故选：A例6．（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】若，则，所以函数，当且仅当即时等号成立.故选：C.【变式训练5】．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，故选：D【变式训练6】．（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【难度】0.65【知识点】条件等式求最值【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】因为，即，即，且，则，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B考点4“1”的代换求最值例7．（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案.【详解】因为，，且，所以，当且仅当，，，即，时等号成立，所以的最大值为．故选：A.例8．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（

）A． B．9 C． D．13【答案】C【难度】0.85【知识点】指数幂的运算、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】由，则，即，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故选：C.例9．已知实数，则的最小值是.【答案】【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】表示，再利用的代换解出最小值即可.【详解】由题意可得，当且仅当时，即时，等号成立，则的最小值是.故答案为：【变式训练7】．（2025·安徽·模拟预测）若，则的最小值是．【答案】9【难度】0.85【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值即可.【详解】由题设，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9.故答案为：9.【变式训练8】．（2025·陕西西安·二模）若点在直线上，且，则的最小值为．【答案】8【难度】0.85【知识点】直线的一般式方程及辨析、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根据给定条件可得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】由点在直线上，得，而，则，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8.故答案为：8【变式训练9】．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为．【答案】【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】由，可知，，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．故答案为：考点5齐次化求最值例10．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是．【答案】/0.25【难度】0.65【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解.【详解】方法一设，，则，，，当且仅当，，即，时取等号，．方法二，，，当且仅当，时取等号，．故答案为：例11．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（

）A．12 B． C．36 D．【答案】D【难度】0.65【知识点】基本不等式求积的最大值【分析】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值.【详解】由，得，则，因为，，所以当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，故选：D.【变式训练10】．（2025·山东·二模）若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值【分析】将换成用表示,从而将平方表示成，由,求出，进而求出范围.【详解】因为,所以且,故且,所以,故,,所以,所以,故选：A．【变式训练11】．（23-24高三下·江苏苏州月考）已知，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.4【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件.【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当，从而，令，设，显然，则，因为关于的一元二次方程有实数根，所以，整理得，即，解得，注意到，从而，等号成立当且仅当，即，所以经检验的最大值，即的最大值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键是得，且，由此即可顺利得解.考点6与、平方和、有关问题的最值例12．（2024·四川攀枝花·一模）（多选题）已知实数，且满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【难度】0.65【知识点】对数的运算、由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式比较大小【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，即可判断选项.【详解】A.由条件可知，，则，故A正确；B.，当且仅当时等号成立，故B正确；C.，当时等号成立，故C错误；D.因为，，故D正确.故选：ABD例13．（2024·贵州贵阳·一模）（多选题）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【难度】0.65【知识点】由基本不等式比较大小【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项.【详解】A.，当时，等号成立，故A正确；B.，当时，等号成立，故B正确；C.，故C正确；D.，当时等号成立，故D正确.故选：ABCD【变式训练12】．（2025·河北张家口·三模）（多选题）已知，，且，若，则（

）A． B．的最小值为C．的最小值为 D．的取值范围为【答案】BCD【难度】0.65【知识点】利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式判断BC，根据，转化为函数关系，转化为根据定义域问题求值域，判断AD.【详解】A.由条件可知，，，则，故A错误；B.由题意可知，，则，当时等号成立，则的最小值为，故B正确；C.，当，即时等号成立，则的最小值为，故C正确；D.，当，均单调递增，且时，，则在区间上单调递增，∴当时取得最大值5，且时，，所以的取值范围为，故D正确.故选：BCD.【变式训练13】．（多选题）已知正实数满足，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为8C．的最大值为 D．没有最大值【答案】AC【难度】0.65【知识点】求二次函数的值域或最值、由导数求函数的最值（不含参）、基本不等式求和的最小值【分析】将代入，根据二次函数的性质即可判断A；根据及基本不等式可判断B；，根据基本不等式可判断C；，，根据导数可判断D.【详解】因为x，y为正实数，且，所以.所以，当时，的最小值为，故A正确；，当且仅当时等号成立，故B错误；，当且仅当时等号成立，故，即的最大值为，故C正确；，而，设，其中，故，当时，，当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故当时，，所以的最大值为，所以有最大值，故D错误.故选：AC.考点7其它综合问题例14．（2025·湖南郴州·三模）（多选题）设正实数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【难度】0.15【知识点】作差法比较代数式的大小、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值【分析】对于A：设，整理可得得，结合运算求解；对于BD：利用基本不等式分析判断；对于C：先证，即可得结果.【详解】对于选项A：因为正实数满足，设，则，因为，即，整理可得得，将其看为关于的一元二次方程，则，解得，即，故A正确；对于选项D：因为，且，，则，当且仅当时，等号成立，所以，故D正确；对于选项B：因为，则，当且仅当时，等号成立，则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为，因为，则，，可得，当且仅当时，等号成立，即，可得，即，当且仅当时，等号成立所以，故C正确；故选：ACD.例15．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为.【答案】5【难度】0.15【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值【分析】由已知有，应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有恒成立，问题化为在上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围.【详解】由题设，当且仅当时等号成立，所以的最小值为5，此时不等式化为恒成立，所以，即令且，则，时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，故，则因此可得在上，恒成立，令且，所以，令，，在单调递增，且，则时，，函数在单调递减，时，，函数在单调递增，因此可得，即，则当，，则在单调递增，当，，则在单调递减，所以，故只需.故答案为：5，【点睛】关键点点睛：将不等式恒成立化为在上恒成立，再应用导数研究右侧的最大值为关键.【变式训练14】．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是.【答案】【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解.【详解】设，由对应系数相等得，解得所以，整理得，即，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故答案为：.【变式训练15】．已知正数a，b满足，则.【答案】【难度】0.15【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式知，令，利用导数研究函数的单调性可知，进而可得，结合已知可得，由取等条件即可求解.【详解】因为a，b都为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立.构造函数，，求导，令，得当时，，单调递增；当时，，单调递减；可知在处取得最大值，故，即所以，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立，所以，又，所以，且，，即，所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式及利用导数研究函数的单调性证明不等式，解题的关键是构造函数，，从而证得，再结合基本不等式及取等条件即可求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于难题.五、分层训练1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【难度】0.85【知识点】条件等式求最值、解不含参数的一元二次不等式【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解．【详解】由题意可知，当时等号成立，即，令，则解得或舍即，当且仅当时，等号成立．故选：C.2．（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（

）A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米【答案】A【难度】0.85【知识点】基本（均值）不等式的应用【分析】求出，利用基本不等式可得答案.【详解】由可知，且，故，当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.故选：A.3．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）各项均为正数的等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（

）A．20 B．64 C．45 D．50【答案】B【难度】0.85【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、基本不等式求和的最小值【分析】由等差数列的性质可得，再利用基本不等式可求的最大值.【详解】因为，故，故，故，而，故，故，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故选：B.4．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.85【知识点】基本不等式求积的最大值【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值.【详解】因为，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.故选：B5．（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（

）A．6 B．12 C．2 D．4【答案】A【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】由基本不等式即可求解.【详解】，当且仅当，即，等号成立，所以的最小值为6，故选：A6．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】条件等式求最值【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可．【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B.7．（2025·福建三明·三模）（多选题）以下结论正确的是（

）A．若，则的最大值为B．若，则C．若，，则的最小值为D．若，则【答案】ACD【难度】0.65【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用重要不等式可得到，进而可判断A；将原式展开结合基本不等式可判断B；利用基本不等式可判断C，注意等号成立的条件；利用常值代换结合基本不等式可判断D.【详解】对于A，，当且仅当时等号成立，所以，故A正确；对于B，，所以，即，解得（当且仅