2023年统计与概率题库学生版

8-7概率与记录

耳［则上娥鼻目时

1.能精确判断事件发生的等也许性以及游戏规则口勺公平性问题.

2.运用排列组合知识和枚举等计数措施求解概率问题.

3.理解和运用概率性质进行概率口勺运算

知识点阐明

在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的成果事先是不能确定H勺，不过当我们在相似H勺条件下，大量

反复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现背面”的次数大概各占总抛掷次数口勺二分

之一左右.这里的“大量反复”是指多少次呢？

历史上不少记录学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币口勺试脸，伴随试脸次数H勺增长，出现

正而H勺频率波动越来越小，频率在0.5这个定值附近摆动。勺性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的

体现，0.5恰恰就是刻画出现正面也许性大小的数值，0.5就是抛掷硬币时出现正面日勺概•率.这就是概率记

录定义8勺思想，这一思想也给出了在实际问题中估算概率的近似值的措施，当试脸次数足够大时，可将频

率作为概率的近似值.

在记录里，我们把所要考察对象口勺全体叫做总体，其中口勺每一种考察对象叫做个体。

从总体中所抽取H勺一部分个体叫做总体H勺一种样本。样本中个体的数目叫做样本H勺容量。

总体中所有个体日勺平均数叫做总体平均数，把样本中所有个体8勺平均数叫做样本平均数。

概率的古典定义：

假如一种试验满足两条:

（1）试验只有有限个基本成果：

（2）试验的每个基本成果出现的也许性是同样的.

这样的试验，称为古典试脸.

对于古典试脸中口勺事件A,它的概率定义为：

P（A）=：,〃表达该试脸中所有也许出现的基本成果口勺总数目，机表达事件A包括的试脸基本成果

数,小学奥数中，所波及的问题都属于古典概率.其中D勺机和〃需要我们用枚举、加来原理、排列组合等

措施求出.

互相独立事件：P（AB）=P（A）P（B）

事件A与否发生对事件8发生口勺概率没有影响，这样H勺两个事件叫做互相独立事件.

公式含义：假如事件A和8为独立事件，那么A和8都发生的概率等于事件A发生的概率与事件8发

生妁概率之积.

举例：

（1）明天与否晴天与明天晚餐与否有煎鸡蛋互相没有影响，因此两个事件为互相独立事件.因此明每天

晴，并且晚餐有煎鸡蛋的^率等于明每天晴H勺概率乘以明天晚餐有煎鸣蛋的概率.

⑵第一次抛硬币掉下来是正而向上与第二次抛硬币是正而向上是两个方相独立事件.因此第一次、

第二次抛硬币掉下来后都是正面向上口勺概率等于两次分别抛硬币掉下来后是正面向上H勺概率之积，即

111

Pn=—x—=—.

224

（3）掷骰子，骰子与否掉在桌上和般子的某个数字向上是两个互相独立的事件，假如骰子掉在桌上的

概率为0.6,那么能子掉在案上且数字向上的概率为0.6乂J-0.1.

酬题精讲

[例1]（2023年“但愿杯”二试六年级）气象台预报“本市明天降雨概率是80%”.对此信息，下列

说法中对的的是

①本市明天将有80%的地区降水.②本市明天将有80%的时间降水.

③明天肯定下雨.④明天降水的也许性比较大.

【巩固】一种小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9,小光、小亮两人随意往桌面上

扔放这个木块.规定：当小光扔时，假如朝上的一面写的是偶数，得1分.当小亮扔时，假如朝

上的一面写的是奇数，得1分.每人扔100次，得分高的也许性比较大.

【例2】在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）

25212325272925283029

26242527262224252628

请填写下表

价格范围商品数所占百分数

20.5~22.5

22.5~24.5

24.5~26.5

26.5~28.5

28.5~30.5

合计

【例3】在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标识后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕

捞200尾，发现其中有25条鱼是被作过标识的，假如两次捕捞之间鱼的数量没有增长或减少,

那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾?

【例4】有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张。请

问：这2张扑克牌花色相似的|概率是多少？

【巩固】小悦从1、2、3、4、5这5个自然数中任选一种数，冬冬从2、3、4、5、6、7这6个自然数中

任选一种数。选出的两个数中，恰好有一种数是另一种数的倍数的概率是多少

【例5】妈妈去家乐福购物，恰好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她决定从这4中水

果中任选种买回家。父亲下班时路过集贸市场，发既有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨发

售。他也决定任选一种买回家。请问：他们买了不一样的水果的I概率是多少？

【巩固】在原则英文字典中，由2个不一样字母构成的单词一共有55个.假如从26个字母中任取2个不

一样的排列起来，那么恰好能拍成一种单词的概率是多少？

【巩固】口袋里装有100张卡片，分别写着L2,3,……,100.从中任意抽出一张。请问：

(1)抽出的卡片上时数恰好是37的概率是多少？

(2)抽出的卡片上时数是偶数的概率是多少？

(3)抽出的卡片上的数是质数的概率是多少？

(4)抽出的卡片上时数是101的概率是多少？

(5)抽出的卡片上时数不大于200的概率是多少？

【例6】在一只口袋里装着2个红球，3个荒丘和4个黑球。从口袋中任取一种球，请问：

(1)这个球是红球的概率有多少？

(2)这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？

(3)这个是绿球的概率有多少？不是绿球的概率又有多少？

【巩固】一只口袋里装有5个黑球和3个白球，另一只口袋里装有4个黑球和4个白球。从两只口袋里

各取出一种球。请问：取出的两个球颜色相似的概率是多少？

【巩固】一只一般的I骰子有6个面，分别写有1、2、3、4、5、6。掷出这个骰子，它的任何一面朝上的

概率都是1/6.假设你将某一种骰子持续投掷了9次，每次的成果都是1点朝上。那么第十次投

掷后，朝上的面上的I点数恰好是奇数的概率是多少？

［例7］甲、乙两个学生各从。〜9这10个数字中随机挑选了两个数字（也许相似），求：⑴这两个数字

的差不超过2的概率，⑵两个数字的差不超过6的概率.

【巩固】小悦掷出了2枚骰子，掷出的2个数字之和恰好等于10的概率有多少？

【巩固】分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少？点数之积为6的概率为多少？

［例8］一枚硬币持续抛掷3次，至少有一次正面向上的概率是.

【巩固】冬冬与阿奇做游戏：由冬冬抛出3枚硬币，假如抛出的成果中，有2枚或2枚以上的硬币正面朝

上，冬冬就获胜；否则阿奇获胜。请问：这个游戏公平吗？

【巩固】一枚硬币持续抛4次，求恰有2次正面的概率.

【巩固】一枚硬币持续抛掷3次，求至少有两次正面向上的概率.

【巩固】阿奇一次指出8枚硬币，成果恰有4枚硬币正面朝上的概率是多少？有超过4枚的硬币正面朝

上的概率是多少？

［例9］如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落究竟部的从左至右的概率依次是

【巩固】如图为A、8两地之间的道路图，其中。表达加油站，小王驾车每行驶到出现两条通往目的地方

向道路的路口时（所有路口都是三叉的，即每到一种路口都只有一条或两条路通往目的地），都

用抛硬币的方式随机选择路线，求：⑴小王驾车从A到8，通过加油站的概率.⑵小王驾车从8

到A，通过加油站的概率.

【例10］小明爬楼梯时以抛硬币来确定下一步跨I个台阶还是2个台阶，假如是正，那么跨I个台阶，假

如是反，那么踏出2个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出6个台阶的概率为多少？

【巩固】小明爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，假如点数不大于3,那么跨I个台阶，假如不

不大于3,那么跨出2个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出6个台阶的概率为多少？

【巩固】从小红家门口的车站到学校，有I路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆.小

红到车站后，只要也见1路或9路，立即就上车，据有人观测发现：总有1路车过去后来3分钟就

来9路车，而9路车过去后来7分钟才来1路车.小红乘坐______路车的也许性较大.

【例11】四位同学将各自的一张明信片随意放在一起互相互换，恰有一种同学拿到自己写的明信片的概

率是.

【巩固】两封信随机投入4个邮筒，则前两个邮筒都没有投入信的概率是.

【巩固】一张圆桌旁有四个座位，A、8、C、。四人随机坐到四个座位上，求A与3不相邻而坐的概率.

【例12】小悦与阿奇比赛下军棋，两人水平相称，两人约定塞7局，先赢4局者胜，目前已经比了三局，

小悦胜了2局，阿奇胜了1局。请问：小悦获得最终胜利的概率有多少？

【巩固】（2023年“奥数网杯”六年级）一块电子手表，显示时与分，使用12小时计时制，例如中午12点

和午夜12点都显示为12:00.假如在一天（24小时）中的随机一种时刻看手表，至少看到一种数

字“1”的概率是.

【例13】某列车有4节车厢，既有6个人准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢的也许性是相等的,则

这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0,1,2,3的概率为多少？

【巩固】三个人乘同一辆火车，火车有十节车厢，则至少有两人上同一节车厢的概率为.

【巩固】某人有5把钥匙，一把房门钥匙，不过忘掉是哪把，于是逐把试，问恰好第三把打开门的概率？

【巩固】一辆肇事车辆撞人后逃寓现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由2、3、5、7、

9五个数字构成，却把它们的排列次序忘掉了，警察在调查过程中，假如在电脑上输入一种由这

五个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号恰好是肇事车辆车牌号的也许性是.

【例14］某小学六年级有6个班，每个班各有40名学生，现要在六年级的6个班中随机抽取2个班，参

与电视台的现场娱乐活动，活动中有1次抽奖活动，将抽取4名幸运观众，那么六年级学生小宝

成为幸运观众的概率为多少？

【巩固】（2023年全国数学资优生水平测试）编号分别为1~10的10个小球，放在一种袋中，从中随机

地取出两个小球，这两个小球的编号不相邻的也许性是O

[例15]一种年级有三个班级，在这个年级中随意选用3人，这3人属于同一种班级的概率是多少？

【巩固】一种班有女生25人，男生27人，任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几？

【巩固】从6名学生中选4人参与知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？

【例16]（2023年武汉明心奥数挑战赛六年级）学校门口常常有小贩搞摸奖活动.某小贩在一只黑色的

口袋里装有颜色不一样的50只小球，其中红球I只，黄球2只，绿球10只，其他为白球.搅

拌均匀后，每2元摸1个球.奖品的状况标注在球上（如图）.

8元的5元的1元的无

.奖品,

、奖品,奖比奖品

假如花4元同步摸2个球，那么获得10元奖品的概率是.

【巩固】用转盘（如图）做游戏，每次游戏游戏者需交游戏费1元.游戏时，游戏者先押一种数字，然后迅

速地转动转盘，若转盘停止转动时，指针所指格子中的数字恰为游戏者所押数字，则游戏者将

获得奖励36元.该游戏对游戏者有利吗？转动多少次后，游戏者平均每次将获利或损失多少元?

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潦L

治B

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29

【巩固】用下图中两个转盘进行“配紫色”游戏.分别旋转两个转盘，若其中一种转盘转出了红色，另一

种转出了蓝色，则可配成紫色，此时小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏对双方公平吗？

若你认为不公平，怎样修改规则，才能使该游戏对双方公平呢？

【巩固】小明和小刚改用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏.配成紫色，小刚得1分.否则小明得1

分，这个游戏对双方公平吗？为何?

【巩固】转动如图所示的转盘两次，每次指针都指向一种数字.两次所指的数字之积是质数，游戏者4得

10分；乘积不是质数，游戏者8得1分.你认为这个游戏公平吗？假如你认为这个游戏不公平,

你乐意做游戏者/还是游戏者不为何？你能设法修改游戏规则使得它对游戏双方都公平吗？

【例17】小红的箱子中有4副手套，完全相似，但左、右手不能互换，有一副是姑姑送的，两副是奶奶

送的，尚有一副是自己买的，她从中任拿一副，恰好是姑姑送的那副的概率是多少？

【巩固】盒子里装着20支圆珠笔，其中有5支红色的，7支蓝色的，8支黑色的。从中随意抽出4支，每

种颜色的笔都被抽出的概率是多少？

【例18】4、B、C、。、E、“六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一横同样的签，其中

只有一枚刻着“中”，六人按照字母次序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代

表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？

【巩固】还是上面的题干，假如每个人抽完都放回，任意一种人假如抽中，则后边的人不再抽取，那么每

个人抽中的概率为多少？

【巩固】在一次军事演习中，攻打方决定对目的进行两次炮击。第一炮命中的概率是0.6,第二炮命中的

概率是0.8.请问：两炮都集中目的的I概率是多少？恰好有一炮击中目的的概率是多少？两炮都

未击中目的的概率是多少？

【巩固】张先生每天上午上班时有1/3的概率碰到堵车。在不堵车的时候，张先生准时抵达单位的概率为

0.9,吃到的概率为0.1；而堵车的时候，张先生上班迟到的概率高达0.8,准时抵达的概率只

有0.2.请问：张先生上班迟到的概率是多少？

【例19］某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为40%,假如该射手在百步之外连射三箭,三箭所

有射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少？

【例20】设在独立反复3次试触中，至少有一次试验成功的概率为二，问每次试验成功的概率是多少？

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【例21】已知10件产品中有3件次品，为了保证使3件次品所有检查出来的概率超过0.6，则抽出来检

查的产品至少有件.

【巩固】工厂质量检测部门对某一批次的10件产品进行抽样检测，假如这10件产品中有两件产品是次品,

那么质检人员随机抽取2件产品，这两件产品恰好都是次品的I概率为多少？这两件产品中有一件

是次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？

【例22】一批零件中有9个合格品和3个废品，安装机器时，从这批零件中随机选用一种，假如每次取

出的废品不放回去，分别求在获得第一件合格品此前已取出X件废品数的概率，X=0,1,2,

3.

【例23］甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是1，2⑴现三人各投篮一次，求3人都没投进