【小升初专项训练】3 容斥原理

第3讲容斥原理

第一关两量重叠问题

【知识点】

在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出

现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重

复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数

目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复.这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥

原理或重叠问题.

一般方法：

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.

容斥原理1：两量重叠问题

A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数•既是A类又是B类的元素个数

用符号可表不成：AUB=A+B・ACIB（其中符号读作“并*相当于中文“和”或者“或”的意

思，符号“n”读作“交”，相当于中文“且”的意思）.

【例1】“两会”是“全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”的简称，如果2017年“人大会议”和“政

协会议”均历时11天，并且两个会议有9天同时进行.那么，2017年的“两会”将一共进行多少天？

【答案】13

【例2】H（1）班同学给“手拉手”小伙伴捐物品，捐衣物的有26人，捐文具的有32人，两样都捐的有

18人.捐物品的同学一共有几人？

【答案】40

【例3】同学们去动物园游玩，每人至少参观一个馆.参观大象馆的有10人，参观猴子馆的有15人,

两个馆都参加的有6人，一共有多少人去动物园？

【答案】19

【例4】某班老师建议学生读A、B两本课外读物，结果有25人没有读A,有19人没有读B,20人只

读了1本书，II人读过2本书，那么该班共有多少人？

【答案】43

【例5】假期中，王老师给三（1）班同学推荐了《冰雪奇缘》和《疯狂原始人》两部动画片供大家选

择观看.两部电影都看的有36人，两部电影都没看的只有2人；看了《冰雪奇缘》的有40人，看了

《疯狂原始人》的有38人.三（1）班一共有多少人？

【答案】44

【例6】光辉小学六年级在一次语、数联赛中，语文及格的有24人，数学及格的有27人，其中语、数

都及格的有14人，另外还有8人语、数都没及格，六年级共有学生多少人？

【答案】45

【例7】三（5）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组，己知参加音乐小组的有32人，参加美

术组的有30人，两个小组都参加的有10人，三（5）班共有学生多少人？

【答案】52

【例8】四（1）班每个同学至少参加一项兴趣小组，参加美术小组的有32人，参加书法小组的有36

人，两项都参加的有15人，四（1）班有多少人？

【答案】53

【例9】五年级（1）班每人都至少参加一个兴趣小组，参加语文兴趣小组的有45人，参加数学兴趣小

组的有37人，有20人两个小组都参加.这个班共有多少人？

【答案】62

【例10】一次竞赛有2题，答对第一题的有186人，答对第二题的有143人，全错的有21人，全对的

51人，问参加竞赛的共有多少人？

【答案】299

[W1U新东方在“五一劳动节唧将发行新版积分卡.如果旧版积分卡上共出现300位老师，新版积分

卡上共出现400位老师，其中有150位老师在新旧两版积分卡中都出现了，那么，在新旧两版积分卡

上共出现了多少位老师？

【答案】550

【例12】六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求

两种都带的有多少人？

【答案】6

【例13】空军突击队共有25名士兵，每个人都擅长射击和武术中的一项或者两项，如果士兵中擅长射

击的有20人，擅长武术的有12人，则两项均擅长的士兵有多少人？

【答案】7

【例14】某天的放学路上，甲却乙交流起各自玩过的电子游戏，他们归I想起了20个不同的游戏，其中

甲玩过8个，乙玩过16个，那么他们都玩过的游戏有几个?

【答案】4

【例15】三（2）班第一小组共有8人，在一次语文和数学测验中，他们均至少有一门得了95分以上,

其中语文得95分以上的有5人，数学得95分以上的有7人,语文和数学均得95分以上的有多少人？

【答案】4

【例16】一次考试，语文得100分的有5人,数学得100分的8人，老师发现这次考试得100分的只有

10人，那么，得双10（）分的有多少人？

【答案】3

【例17】某校五年一班有40人，其中有28人参加了数学小组，30人参加了外语小组，有6人两个小组

都没有参加，两个小组都参加的有多少人？

【答案】24

【例18】六（3）班同学有23人参加了舞蹈和击剑兴趣小组，其中参加舞蹈兴趣小组的有17人，参加

击剑兴趣小组的有20人，两个兴趣小组都参加的有多少人？

【答案】14

【例19】五（1）班40名同学采集标本，每个同学至少要采集一种标本.采集昆虫标本的有28人，采

集植物标本的有19人，两种标本都采集的有多少人？

【答案】7

【例20】学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两

项都没有报名的有4人，问两项都参加的有儿人？

【答案】5

【例21】全班50人做2道数学题，其中第一道做对的有40人，第二道做对的有30人，两道都做错的

有5人，则两道都做对的有多少人？

【答案】25

【例22】六（1）班有45名同学，17人参加了象棋兴趣小组，22人参加了围棋兴趣小组，13人两个小

组都没有参加，两个小组都参加的有多少人，多少人只参加了象棋兴趣小组？

【答案】7:10

【例23】一个班有48个人，班主任在班会上问：“谁完成了语文作业？靖举手！”有37人举手，又问：“谁

完成了数学作业？请举手!”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没有完成？“没有人举手，求

这个班语文、数学作业都完成的人数。

【答案】31

【例24]新东方准备成立“滑滑社团”，要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项，才有资格成为团员.已知

有2015名符合上述要求的人前来报名，其中不会滑冰的有406人，不会滑雪的有460人，那么，其

中两种运动都会的有多少人。

【答案】1149

【例25】某山区的村落有人口2476人,全村落的人都会说普通话或广东话.调查所得，会说普通话的

有1765人，会说广东话的有987人.问会说普通话和广东话两种语言的有多少人？

【答案】276

【例26】五(1)班有45人，有的学生订了《数学报》，有的学生订了《语文报》，两种报纸都订的有多

少人？

【答案】7

【例27】六二班有45名同学，现在有两种杂志要订，每人至少定一样其中的同学订阅英语报，的同学

订阅数学报，两种报纸都订阅的同学有多少？

【答案】21

【例28】某班学生参加数学小组的占全班一半，参加语文小组的占45%,两项都不参加的占25%,两种

小组都参加的占全班的多少。

【答案】20%

【例29】在1〜100的自然数中，是5的倍数或是7的倍数的数有多少个？

【答案】32

【例30】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人,参加数学兴趣小组的有29人，有12人

两个小组,都参加，这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

【答案】45

【例31】某区100名外语教师中，懂英语的75人，懂日语的45人，其中有的教师既懂英沿又懂日语,

那么只懂英语的教师有多少人？

【答案】55

【例32】有10()名同学回答A、B两个问题.都没有回答对的有10人，答对A的有75人，答对B的有

83人，只答对一题的共有多少人？

【答案】22

【例33]四(I)班有学生56人，做对第一道思考题的有29人，两道思考题都做对的有7人.做对第

二道思考题的有多少人？

【答案】34

【例34]某学校有若干名学生参加作文和数学两科竞赛，其中参加数学竞赛的人数占全部竞赛总人数的,

参加作文竞赛的占全部竞赛总人数的，两科都参加的有45人，参加数学竞赛而未参加作文竞赛的有

多少人？

【答案】27

【例35】某次调查看动画片情况，调查了40个小朋友，其中看了《哪咤闹海》的占，看了《小头儿子

大头爸爸》的占，还有8个小朋友这两部动画片都没看，这两部动画片都看了的小朋友有多少个？

【答案】3

【例36】六1班有学生4()人，学校组织一次运动会，全班有参加拔河，参加接力，两项都参加的最多

有多少人？两项都参加的最少有多少人？两项都不参加的最多有多少人？两项都不参加的最少有多

少人？

【答案】24;4;16;0

【例37】四(1)班共有学生32人，其中有21人参加美术兴趣小组，有13人参加朗诵兴趣小组，有10

人既参加美术兴趣小组又参加朗诵兴趣小组，这个班中没有参加兴趣小组的有多少人？

【答案】8

【例38】在一次考试中，某班数学得1()0分的有17人，语文得100分的有13人，两科都得100分的有

7人，那么两科中至少有一科得100分的共有多少人？全班45人中两科都不得100分的有多少人？

【答案】23：22

【例39】有38人参加考试，语文成绩优秀的有25人，数学成绩优秀的有23人，两门成绩都优秀的有

15人.有多少人两门成绩都没获优秀？

【答案】5

【例40】四年级一共有学生26。人，一次考试中，语文得优秀的有120人，数学得优秀的有166人，两

科都得优秀的有50人，两科都没得优秀的有多少人？

【答案】24

【例41】五1班有学生60人，参加语文兴趣小组的有20人，参加数学兴趣小组的有28人.语、数小

组都参加的有10人，这两个兴趣小组都没有参加的有多少人？

【答案】22

【例42】某校国标舞团共有43人，其中会拉丁舞的有15人，会探戈的有13人，两者都会的有5人，

那两种都不会的有多少人？

【答案】20

【例43】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个组都参加，

这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？

【答案】16

【例44】五一班有学生60人，参加语文兴趣小组的有20人，参加数学兴趣小组的有28人，语数小组

都参加的有10人，这两个小组都没参加的有多少人？

【答案】22

【例45】某校有500名学生报名参加学科竞赛，数学竞赛参加者共312名，作文竞赛参加者共353名，

其中这两科都参加的有292名，那么这两科都没有参加的人数为多少人？

【答案】127

【例46】已知集合A二{a,2,3,4),B={I,3,5,b},若AAB={1,2,3},求a和b

【答案】a=l,b=2

【例47】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、

跳绳.用圆A、圆B分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示什么？

【答案】音乐、数学

【例48]如图，圆A表示1到50这50个自然数中能被3整除的数，圆B表示这50个数中能被5整除

的数，则阴影部分表示的数是什么？

【答案】15,30,45

【例49】某班有35人参加了今年的陈省身数学周活动，这个班有男生23人.那么该班参加今年活动的

女生比没有参加今年活动的男生多多少人？

【答案】12

【例50】希望小学的操场上有150名学生在跳绳和打球.其口女生54名，如果有63名学生在跳绳，有

42名男牛.在打球，那么至少有多少名女生在跳绳？

【答案】9

第二关三量重叠问题

【知识点】

在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出

现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重

复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数

目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复.这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥

原理或重叠问题.

一般方法：

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.

容斥原理2：三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类

又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数•既是A类又是C类的元素个数+同时是

A类、B类、C类的元素个数.

用符号表示为：AUBUC=A+B+C-AnB-BnC-AAC+AnBnC

【例51]聚会时，有5人喝可乐，有6人喝果汁，有4人喝茶水，其中有3人既喝果汁又喝茶水，有多

少人参加聚会？

【答案】12

【例52】体育课上，五年级三班同学进行A、B和C三项测验，其中有4名同学三项都不及格，其余每

人至少有一项及格，具体及格人数如表.那么这个班共有学生多少名？

【答案】39

【例53】学校数学兴趣小组有26人不是六年级学生，25人不是五年级学生，现在知道五、六年级共有

35人参加数学兴趣小组，这个小组共有多少人？

【答案】43

【例54】某班同学参加体育测试，其中百米得优着20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者

7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班三项都是优秀的有

5人，只有1名同学各项都没达优秀.求全班人数？

【答案】45

【例55】某班同学中，26人参加数学小组，21人参加了英语小组，18人参加了生物小组.其中8人既

参加了数学又参加了生物小组，11人既参加了英语又参加了数学小组，6人既参加了英语又参加了生

物小组，该班最多有多少人。

【答案】46

【例56】六(1)班有50人，其中会跳舞的有39人，会乐器的有37人，会下棋的有48人，这三项一

项都不会的没有，则三项都会的有多少人？

【答案】24

【例57】有A、B、C三种书，至少读过一种的有58人，读过A书的有32人，读过B书的有24人，

读过C书的有27人，读过A、B两书的有1()人，读过B、C两书的有9人，读过A、C两书的有14

人,三种书均读过的有多少人？

【答案】8

【例58】少年乐团学生中有170人不是五年级学生，有135人不是六年级学生.已知五、六年级学生共

有205人，求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？

【答案】50

【例59】在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片(如图)，它们的面积都是100(cm2)并知A、B两圆

重叠的面积是20(cm2),A、C两圆重叠的面积为45(cm2),B、C两圆重叠面积为31(cm2),三

个圆共同重叠的面积为15(cm2),求盖住桌子的总面积是多少平方厘米？

【答案】219

【例60】如图，甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是4厘米、6厘米、8厘米.乙的一个顶点在

中的中心点上，丙的一个顶点在乙的中心点上，并且甲和丙没有交集.这三个正方形的覆盖面积是多

少？

【答案】103

【例61]如图所示，A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖

住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面枳分别是5、3、4,求A、B、C三个图形

公共部分(阴影部分)的面积.

【答案】2

【例6213个小朋友比赛看谁背的古诗多，小斌会背25首，小贝会背9首，小玲会背16首，小贝会背

的9首小斌都会背，小玲会背的古诗中有12首小斌都会背，小斌和小贝一共会背多少首不同的古诗；

小斌和小玲一共会背多少首不同的占诗？

【答案】25:29

【例63】某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球.那么，这个班

至少有多少个学生这三项运动都会？

【答案】4

【例64】有165人，其中98人会滑冰，90人会游泳，147人会打羽毛球，那么至少有多少人这三样运

动都会?

【答案】5

【例65】100个学生每人至少学过英语、法语、俄语三门语言中的一个，学过英语的有41人,学过法语

的有52人，学过俄语的有43人，学过英语也学过法语的有16人，学过英语也学过俄语的有II人,

学过法语也学过俄语的有15人.问：三种语言都学过的有多少人？

【答案】6

【例66】在某一学校，星期一有15个学生缺席，星期二有12个同学缺席，星期三有9个同学缺席.如

果这三天至少有一天缺席的学生有22人，那么在这三天都缺席的学生最多有多少人？

【答案】7

【例67】某班人数不超过50人，课堂练习时，王老师出了3道习题，做错1题的占总人数的，做错2

题的占总人数的，做错3题的占总人数的，3题都对的有多少人？

【答案】20

【例68】甲、乙、丙三人浇花，甲浇了68盆，乙浇了62盆，丙浇了56盆.已知共有花90盆，则三人

都浇了的花有多少盆？

【答案】6

【例69】甲乙丙三人分别在早上、中午、晚上为一百盆花浇水.被甲浇过的有65盆；被乙浇过的有72

盆；被内浇过的有73盆.则被三人都浇过的最少有儿盆？

【答案】10

【例70】三支蜡烛分别能燃烧30,40,50分钟（但是不是同时点燃的），已知这三支蜡烛同时处于燃烧

状态的时间有10分钟，只有一支蜡烛处于燃烧状态的时间有20分钟.那么正好有两支蜡烛同时处于

燃烧状态的时间有多少分钟？

【答案】35

【例71】某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队.已知没一

个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队乂参加蓝球队，有2人既参加蓝

球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有多少人？

【答案】4

【例72】某校五（2）班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学小组有30人参加，英语

小组有20人参加，语文小组有10人参加，老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，

既参加数学小组乂参加英语小组和既参加英语小组乂参加语文小组的人数均为质数，而三种全参加的

只有1人，求既参加英语小组又参加数学小组的人数

【答案】2或7

【例73】甲、乙、丙三人参加“环保知识问答“，甲答对16道题，乙答对了12道题，丙答对了18道题，

甲答对的题中有6道乙也答对了，丙答对的题中有7道题日也答对了，甲和乙一共答对了多少道题？

甲和丙一共乂答对了多少道题？

【答案】甲和乙一共答对了22道题，甲和丙一共又答对了27道题

【例74】某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20

人，每人至多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？

【答案】35

【例75】某次竞赛有A、B、C三道题，至少做对一道题的有25人，其中做对A题的有10人，做对B

题的有13人，做对C题的有15人，如果三道题都做对的只有1人，那么只做对两道题的有II人，

只做对一道题的有多少人？

【答案】13

【例76】一次竞赛共有A、B、C三道题，有25人至少做对了一道，其中做对A的10人，做对B的13

人，做对C的15人，三道题都对的仅1人，那么只错一题的有多少人？

【答案】12

【例77】少年宫春季书法班、美术班、器乐班招生.书法班招收了29名学员，美术班招收了28名学员，

器乐班招收了27名学员.在这些学员中，既报书法乂报美术的有13名，既报书法乂报器乐的有12

人，既报美术又报器乐的有11名，二个科目都报的有5名.那么，只参加一个科目学习的学员有多

少名？

【答案】27

【例78】六年级有60人爱好数学，50人爱好语文，42人爱好体育，30人既爱好数学又爱好语文，20

人既爱好语文又爱好体育，35人既爱好体育又爱好数学，有18人这三方面都爱好，请问这个年级中

数学、语文、体育三方面至少爱好一项的学生共有多少名？

【答案】85

【例79】某校有学生960人，其中有510人订阅“作文报”，有330人订阅“数学报”，有120人订阅“科学

爱好者”，全校学生中有270人订阅两种报刊，有58人三种报刊都订，那么这学校中没有订阅任何报

刊的有多少人？

【答案】212

【例80】一共有52个学生参加游园活动，其中参观植物馆的有12人，参观动物馆的有26人，参观科

技馆的有2人，既参观植物馆乂参观动物馆的有5人，既参观植物馆乂参观科技馆的有2人，既参观

动物馆又参观科技馆的有4人，三个馆都参观的有1人，则有多少人这三个馆都没有参观？

【答案】22

【例81】学校音乐兴趣小组有37人，其中有20人会手风琴，16人会钢琴，24人会电子琴，既会手风

琴又会钢琴的8人，既会电子琴又会钢琴的10人，即会手风琴又电子琴的8人，这三种琴都不会的

至多有多少人？

【答案】2

【例82】小明、小红、小磊三人共解出50道数学题，每人都解出了其中的30道题，所有题目都有人解

出来了.将其中只有•人解出的题叫做难题，2人都解出来的叫做中等题，3人都解出的题叫做容易

题，难题比容易题多还是少？多的比少的多多少道题？

【答案】多；10

【例83】用圆圈表示星球上的空气，各星球上的空气所含的不同气体用不同的字母表示，相同的气体用

相同的字母表示（如图）.已知天王星与海王星上的空气中都含有氮气，冥王星上没有.那么图中哪

个字母表示氨气？

【答案】X

【例84】一年级一班参加三个课外小组的共有25人，参加英语组和美术组的有18人，参加美术组和舞

蹈组的有20人，参加三个小组的分别有多少人？

【答案】参加舞蹈组的有7人，参加英语组的有5人，参加美术组的有13人

【例85]过年了，爷爷、奶奶、姑妈三人分别给聪聪压岁钱，其中900元不是奶奶给的，800元不是姑

妈给的，奶奶和姑妈一共给了900元.爷爷、奶奶、姑妈三人分别给了聪聪多少压岁钱？

【答案】爷爷、奶奶、姑妈三人给聪聪的压岁钱分别是400元、400元、500元

【例86】学校舞蹈队中，有35人不是低年级的，有22人不是中年级的，且低年级与中年级的共有23

人.那么，学校舞蹈队中.高、中、低年级各有多少人？

【答案】学校舞蹈队中.高、中、低年级分别有17人、18人、5人

【例87】学校举办一次小学生画展，其中有37幅不是低年级的，有32幅不是中年级的，巨低年级与中

年级的画共有31幅.那么，高、中、低年级各有多少幅？

【答案】高、中、低年级分别有19幅、18幅、13幅.

【例88】六年级有三个班，每班有2个中队长.开年级中队长会议时，每次每班只需一个中队长参加.第

一次到会的是A、B、C,第二次是B、D、E,第三次是A、E、F.你知道哪两个中队长是同一班的？

【答案】A和D同班，B、F同班，C、E同班

【例89】求从I到1994中不能被5整除，也不能被6或7整除的自然数的个数.

【答案】1140

第三关四量或以上重叠问题

【例90】小学举办学生书法展.学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品；其中有28幅不是五年级

的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共20幅.一、二年级参展的作品总数比三、

四年级参展的作品的总数少4幅，一、二年级参展的书法作品共有多少幅？

【答案】6

【例91】全班有70%的同学参加了生物小组，75%的同学参加了化学小组，85%的同学参加了物理小组，

90%的同学参加了数学小组.则四个小组都去参加的同学至少占全班的百分比是多少？

【答案】20%

【例