大学（数学与应用数学）高等数学基础2026年阶段测试题及答案

大学（数学与应用数学）高等数学基础2026年阶段测试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、选择题（总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案，请将正确答案填入括号内）1.函数$f(x)=\frac{1}{x-2}$的定义域是（）A.$x\neq2$B.$x\gt2$C.$x\lt2$D.$x\geq2$2.当$x\to0$时，下列函数中与$x$等价的无穷小是（）A.$\sin2x$B.$1-\cosx$C.$\ln(1+x)$D.$e^x-1$3.已知函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f^\prime(x_0)=2$，则$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=$（）A.2B.4C.0D.14.曲线$y=x^3-3x^2+1$的拐点是（）A.$(0,1)$B.$(1,-1)$C.$(2,-3)$D.$(3,1)$5.函数$f(x)=\int_{0}^{x}t^2dt$，则$f^\prime(1)=$（）A.1B.2C.3D.46.设$f(x)$是连续函数，且$\int_{0}^{1}f(x)dx=a$，则$\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}f(x)f(y)dy=$（）A.$a^2$B.$\frac{a^2}{2}$C.$a$D.$\frac{a}{2}$7.向量$\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec{b}=(2,-1,1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$（）A.1B.2C.3D.48.平面$2x+3y-z=0$的法向量是（）A.$(2,3,-1)$B.$(2,3,1)$C.$(-2,-3,1)$D.$(-2,3,1)$9.幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收敛半径是（）A.1B.2C.3D.410.微分方程$y^\prime+2y=0$的通解是（）A.$y=Ce^{-2x}$B.$y=C\sin2x$C.$y=C\cos2x$D.$y=Ce^{2x}$二、填空题（总共5题，每题4分，请将答案填在横线上）1.已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\2x,&x\gt0\end{cases}$，则$f(f(-1))=$______。2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=$______。3.函数$y=x^3-3x$在区间$[-2,2]$上的最大值是______。4.$\int_{0}^{1}e^xdx=$______。5.已知向量$\vec{a}=(m,2,1)$，$\vec{b}=(2,n,-2)$相互垂直，则$mn=$______。三、判断题（总共5题，每题2分，请判断下列命题的真假，在括号内填“√”或“×”）1.若函数$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增，则$f^\prime(x)\gt0$在$(a,b)$内恒成立。（）2.若$f(x)$是奇函数，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$（$a\gt0$）。（）3.两个向量的数量积大于0，则这两个向量夹角为锐角。（）4.幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$在收敛区间内绝对收敛。（）5.微分方程$y^{\prime\prime}+y=0$的解是周期函数。（）四、简答题（总共3题，每题10分，请简要回答下列问题）1.简述函数极限的定义，并举例说明如何利用定义证明函数极限。2.请说明罗尔定理的条件和结论，并举例说明其应用。3.如何求多元函数的偏导数？请结合一个具体例子进行说明。五、计算题（总共3题，每题10分，请写出详细的计算过程）1.求函数$y=\frac{x^2+1}{x-1}$的导数。2.计算定积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx$。3.已知向量$\vec{a}=(1,1,-1)$，$\vec{b}=(2,-1,1)$，求向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角。答案：一、选择题1.A2.C3.B4.B5.A6.B7.A8.A9.A10.A二、填空题1.52.33.24.$e-1$5.0三、判断题1.×2.√3.×4.√5.√四、简答题1.函数极限定义：设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\epsilon$（无论它多么小），总存在正数$\delta$，使得当$x$满足不等式$0\lt|x-x_0|\lt\delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|\lt\epsilon$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\tox_0$时的极限。例如证明$\lim\limits_{x\to1}(2x+1)=3$，按定义找到合适的$\delta$即可。2.罗尔定理条件：函数$f(x)$满足在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$。结论：在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f^\prime(\xi)=0$。应用：如$f(x)=x^2-2x+1$在$[0,2]$上，验证满足条件，可得$f^\prime(x)=2x-2$，令$f^\prime(x)=0$，解得$x=1\in(0,2)$。3.求多元函数偏导数时，对某一变量求偏导，将其他变量视为常数。例如$z=x^2y+3y^2$，求$\frac{\partialz}{\partialx}$时，把$y$看作常数，得$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy$；求$\frac{\partialz}{\partialy}$时，把$x$看作常数，得$\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+6y$。五、计算题1.对$y=\frac{x^2+1}{x-1}$使用除法求导公式$(u/v)^\prime=(u^\primev-uv^\prime)/(v^2)$，$u=x^2+1$，$u^\prime=2x$，$v=x-1$，$v^\prime=1$，则$y^\prime=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)\times1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2-1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$。2.$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos2x}{2}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos2x)dx=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin2x)\big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\sin\pi-(0-\frac{1}{2}\sin0)