2024高考数学讲义：概率

2024高考数学讲义：概率

目录

1.概率概念......................................................................1

2.概率(Probability)的本质是什么？............................................I

3.常见的概率公式总结..........................................................6

4.课堂考试.....................................................................8

4.1.选择题(本大题共6小题,每小题7分，共42分)................................8

4.2.填空题(本大题共2小题,每小题7分，共14分)................................11

4.3.解答题(本大题共3小题，共44分)............11

1.概率概念

在日常生活中，我们常常会遇到一些涉及可能性或发生机会等概念的事件

(event)o一个事件的可能性或一个事件的发生机会是与数学有关的。例

如：

“从一班40名学生中随意选出一人，这人是男生吗？”

事实上，人们问”……可能会发生吗？”时，他们是在关注这个事件发生

的机会。在数学上，事件发生的机会可用一个数来表示。我们称该数为概率

(Probability)。

我们日常所见所闻的事件大致可分为两种：

一种是确定性事件。确定性事件包含必然事件和不可能事件。如太阳从东

方升起，或者在标准大气压下，水在100C时会沸腾。我们称这些事件为必然

事件。如掷一个普通的骰子，向上一面的数字是7。我们称这些事件为不汇能

事件。

此外，有大量事件在一定条件下是否发生，是无法确定的。如明天的气温

比今天低、掷一枚硬币得正面向上，又或者在下一年度的NBA比赛中，芝加

哥公牛队会夺得全年总冠军。像以上可能发生也可能不会发生的事件称为随机

事件。

2.概率(Probability)的本质是什么？

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我用生活中的例子，从以下几个方面聊下概率:

1.什么是概率？

2.概率对你我有什么用？

在电影《少数派报告》中，汤姆•克鲁斯扮演的是一位预防犯罪的警察。

他借助数据分析的技术，能够在坏人作案之前就预测出他们的犯罪行为。

2002年，这部电影是2002年拍的，当时还只是一部科幻片。

但是，到了2011年，电影中的场景这就成了现实。《纽约时报》在2011

年刊登了一篇报道，标题为“在犯罪发生前派遣警力”。

讲的是美国加州圣克鲁兹市警察局的电脑程序预测出闹市区的一个停车

场将有可能发生汽车盗窃案件，于是自动派遣警察前往现场。

到场的警察随后逮捕了两个形迹可疑的女人，其中一个人是警局的常客，

另外一个人身上携带着毒品。

这里的“预测执法”属于预测分析学的一部分。犯罪总是带有不确定的成

分，这就好比没有谁能够确切地说谁会撞车、买房贷款银行也不知道谁会还不

起钱。

那么，警察是如何做到预测犯罪的？买房贷款时银行是如何预测你是否能

还的起贷款？

他们用的预测工具正是概率。什么是概率呢？

1.什么是概率？

我们经常会在生活中听到这句话：选择比努力更重要。

相信你也无数次听过这句话，但是有没有想过：这句话背后的真实含义是

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什么呢？

我们每天拥有固定的时间和精力，注意这里“固定”是指你的资源和时间

都是有限的。在这个前提下，把它们投入到哪些方向上能够取得最佳的效果，

这是我们每天都要思考的问题。

举个具体的例子，假如你刚毕业，已经拿到3家公司的。ffer,一家传统企

业的职位，一家创业公司的职位，一家上市互联网公司的职位，你选哪个？

因为你的时间和精力是有限的，所以你不能同时到这3个公司去上班赚

钱，不然你就是孙悟空72变了。

你只能在有限的资源和时间下，做一个最佳选择，这个选择代表你去哪家

公司工作，未来3年内能让你赚钱能力提升的可能性最大。

这里我们提到可能性，但是只知道可能性是无法做出判断的。

到这里，我们就可以用这句话来解释什么是概率：

概率就是用数值来表示某件事发生的可能性。

当你知道了概率这个数值，就代表你可以预测未来，因为你能通过概率来

判断出哪种情况发生的可能性最大。

例如你在玩抛硬币游戏，正面朝上的可能性是多少呢？

由于硬币只有两面，也就是落地后有两种结果，要不正面朝上，要不就是

反面朝上，所以抛硬币正面朝上的可能性用数值来表示，概率就是50%,

你看，概率就在我们的日常生活中。只要你面临选择的问题，概率就会用

数值表达哪种可能性最大，然后帮助你做力最好的选择。

2.概率对你我有什么用？

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现在，你已经知道了什么是概率，那么接下来我们一起思考一个问题：

概率对于提升我们的生活质量到底有什么帮助？

作为成年人，我们知道这个世界是不确定的，所以不会要求自己每件事都

必须成功，但是我们要努力让每件事成功的可能性变得更大，也就是让每件事

成功的概率变的更大。

概率就是这样一门研究不确定事件和结果的学问。

投资股市存在着不确定性，抛硬币同样也存在着不确定性，因为有的时候

你得到的是硬币的正面，有的时候是硬币的反面。

连续4次抛一枚硬币更是增加了这种不确定性，因为每一次都有可能是正

面或反面，如果你手里有一枚硬币并且连续抛了4次，我事先无从得知4次的

准确结果（你也不能），但根据前面概率的计算公式，我们可以计算出：出现

两个正面的概率要大于出现4个正面。

在获得并信任此类信息的前提下，决策者常常能够看清风险、作出决定。

举个例子，澳大利亚运输安全局曾经发布了一份有关乘坐不同交通工具导

致死亡的风险报告。大家都觉得飞行非常可怕，但实际上商业航空旅行的风险

是微乎其微的。

澳大利亚自20世纪60年代起就再没有发生过一起商业航空致死事故，因

此航空旅行每一亿公里的死亡率基本为0c汽车每一亿公里旅行的死亡率为

0.5,真正吓人的是摩托车的死亡率，因为摩托车的死亡率比汽车整整高出35

倍。

那么，为什么在大多数人的直觉中飞机却是最不安全的呢？

那是因为如果飞机失事，必然会引起极大的关注，这时，你多半会觉得飞

机很危险。但事实上。论每公里死亡率，坐飞机比坐汽车安全22倍。

但是很可悲的是，大多数人是缺乏概率常识的，下面图片里的例子是最好

的证明。

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这里的第1张图片是外卖小哥因交通事故死亡，据统计，2017年.上半

年，涉及到上海市送餐外卖行业的伤亡道路交通事故共76起，“饿了么”和

“美团外卖”各占26%。

要知道，在统计概率里，骑摩托车死亡率是最高的，如果懂点统计常识，

是如何都不能选择这个行业的。这无非等于拿命赚钱，根本不划算。

第2张图片是美国的911事件。

康奈尔大学的3位研究人员在一篇引人入胜的论文中这样说道，可能有数

以千计的美国人在“9・11”恐怖袭击事件发生之后由于害怕坐飞机而死于非

命。我们永远都不知道遭受恐怖袭击的真正风险到底有多大，但我们知道开车

确实是一件危险的事。

在“9・11”恐怖袭击事件发生之后，越来越多的美国人选择自驾出行，

而不选择乘坐飞机。

据统计，在考虑平均死亡率和天气等导致路面交通事故因素的前提下，

2001年10〜12月，平均每个月因交通事故致死的人数比以往多了344人。该

效应随着时间的推移逐渐减弱，这是因为大家对恐怖主义的恐惧在慢慢消退。

但这项研究的作者认为，“9•11”恐怖袭击事件导致的驾车死亡人数或

已超过2000人。

你看，在不懂概率的情况下，选择交通方式都会导致死亡率的提升。

现在我们回过头来看下学习概率到底对我们有什么用。

虽然概率并不会确凿地告诉我们将会发生什么，但我们通过概率能够知道

很有可能发生什么、不太可能发生什么。

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聪明的人会使用这类数据为自己的事业和生活指明方向。牛人就是持续对

大概率事件下注，并同时有意识预防那些足以毁掉你生活的风险。

我认为每个人都应该学一些概率知识，它现在是公民必备基础知识。当不

懂概率的人大惊小怪的时候，懂概率的你可以可以淡定自若。

其实，大多数人在中学的数学课中就学习过概率，但掌握概率的计算方法

不等于真正理解概率。

实际上，概率中的几个关键思维，是多数数学老师没有讲明白，甚至这些

老师自己就没有弄明白。理解这些思维不需要你会做任何计算，但是它们能让

我们看世界的眼光发生根本的改变。

这些思维的逻辑很简单，我们可以从最简单的概率中得到4个生活中的智

慧。

这4个生活中的智慧就是：赌徒谬论，大数定律，如何投资赚钱最多，如

何预防风险。我后在后面有时间在详细展开聊。

4、总结

所有，理解了下面3个知识点，你就理解了概率的本质。

1)什么是概率？

概率的本质是用数值表示某件事情发生的可能性。

我给出了概率线，让你对各类事件发生的概率有了大致的认识C

2)概率对我有什么用？

虽然概率并不会确凿地告诉我们将会发生什么，但我们通过概率能够知道

很有可能发生什么、不太可能发生什么。

聪明的人会使用这类数据为自己的事业，生活，和投资指明方向。牛人就

是持续对大概率事件下注，并同时有意识预防那些足以毁掉你生活的风险。

3.常见的概率公式总结

1.古典概率

一般说来,如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件A的基本事件有

a个，不构成事件A的事件有b个，则出现事件A的概率为：

P(A)=a/(a+b)

例子：

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同时掷两枚硬币，可能出现正正、反反、正反、反正四种可能的结果，每

种可能出现概率1/4

2.条件概率公式

描述：

公式中P(AB)为事件AB的联合概率，P(A|B)为条件概率，表示在B条件

下A的概率，P(B)为事件B的概率。

例子：

有一同学，考试成绩数学不及格的概率是0.15,语文不及格的概率是

0.05,两者都不及格的概率为0.03,在一次考试中，已知他数学不及格，那么

他语文不及格的概率是多少？

记事件A为“数学不及格”，事件B为“语文不及格”，则P(A)=0.15

P(B)=0.05,P(AB)

=0.03则P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.2

推广：

上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。

设，，…

为任意n个事件522)且

，则P(Al,A2,...An)=

3.全概率公式

描述：

公式表示若事件Al,A2,…，An构成一个完备事件组且都有正概率，则

对任意一个事件B都有公式成立。

例子：

首先建立一个完备事件组的思想,其实全概就是已知第一阶段求第二阶段，

比如第一阶段分ABC三种，然后ABC中均有D发生的概率，最后让你求D的概

率

P(D)=P(A)*P(D/A)+P(B)*P(D/B)+P(C)*P(D/C)

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例子：

甲乙丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的25%,35%,

40%,次品率率分别是5%,4%,2%,从这一产品中取任一ji件，则是次品

的概率是。

设P(A1)为抽到甲车间的概率，P(A2)为抽到乙车间的概率，P(A3)为抽到

丙车间的概率。

设P(B)为抽到次品的概率。

则P(B)=P(A1)*P(B|A1)+P(A2)*P(B|A2)

+P(A3)*P(B|A3)=25%*5%+35%*4%+40%*2%=0.0345

4.贝叶斯公式

公式描述：

公式中，事件Bi的概率为P(Bi),事件Bi已发生条件下事件A的概率为

P(A|Bi),事件A发生条件下事件Bi的概率为P(Bi|A)。

例子：

已知在所有男子中有5%,在所有女子中有0.25%有色盲症，随机抽一人

发现患有色盲症，问其为男子的概率是是多少？(设男子和女子的人数相等)

设A表示抽到为男子，B表示抽到是女子，C表示ch抽到的人有色盲症。

贝|JP(A)=P(B)=l/2,P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.0025

由Bayes公式有

P(A|C)=P(A)*P(C|A)/P(A)*P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.5*0.05/0.5*0.05+0.5*0.00

25=95%

4.课堂考试

4.1.选择题(本大题共6小题,每小题7分，共42分)

1.若随机变量X~BQ00,p),X的均值E(X)=24,则〃的值是()

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答案:c

解析:・・・X~B(100,p),

.\E(X)=100p.

又E(X)=24,

A24=100p,

即。=竺=A

K10025

2.两名教师对一篇初评为“优秀”的作文复评，若批改成绩都是两位正整数,且十位

数字都是5,则两名教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为（）

A.0.44B.0.56

C.0.41D.O.39

答案:A

解析:用。,历表示两名教师的批改成绩，则。,），）的所有可能情况为1ox1o=1oo（种）.

当x=50时J可取50,51,52,共3种可能；

当x=51时,y可取50,51,52,53,共4种可能；

当1=52,53,54,55,56,57时,y的取法均有5种，共30种可能；

当产58时,y可取56,57,58,59,共4种可能；

当x=59时,），可取57,58,59,共3种可能.

综上可得，两名教师批改成绮之差的绝对•值不超过2的情况有44种.

由古典概型概率公式可得，所求概率P=蔡=0.44.

3.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.7,在目标被

击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为（）

.21

A—B.竺

4422

C.—D.—

5025

答案:A

解析：（方法一）设“目标被击中“为事件3,“甲、乙同时击中目标”为事件A,

则PU）=0.6x0.7=0.42,P（B）=0.6x0.7+0.4x（）.7+0.6x0.3=0.88,

得。（川8尸逊=剪=吆=2

V17P（B）P（B）0.8844

（方法二）记“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件8,“目标被击中”为事件

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则P(C)=\-P(A)P(B)=l-(l-0.6)x(l-0.7)=0.88.

故在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为啜?=靠故选A.

4.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正

方形和一块平行四边形共七块板组成的.一个用七巧板拼成的正方形如图所示，

若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()

答案:B

解析:不妨设小正方形的边长为1,则最小的两个等腰直角三角形的边长为

1,1,加，左上角的等腰直角三角形的边长为企,企,2,两个最大的等腰直角三角形

的边长为222vl即大正方形的边长为2企,所以所求概率

5.己知㈤磷.6827,尸(//-2b<XW〃+2㈤大0.9545.某次全市2()

000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布Ml。。［。。),则本次考试120分以

上的学生人数约有()

A.1587B.228C.455D.3173

答案:C

解析:依题意可知〃=1()(),。=10.因为Pa-2〃vXW〃+2o)乜).9545,

所以尸(80<XW120)^0.9545,

因此本次考试120分以上的学生约有20000X1~°^545=455(A).

6.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P，各成员的支付方式相互独立.

设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,。(X)=2.4,P(X=4)vP(X=6),则

P二()

A.0.7B.0.6

C.0.4D.0.3

答案:B

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解析:由题意，得D(X)=«p(l-p)=lOp(l-p)=2.4,

・・・〃(1-p)=().24,由p(X=4)<〃(X=6)知/〃Y1-p)6<%p6(i-〃)4,即〃2>(i-〃)2,

/./?>0.5,

.•・p=0.6(其中〃=0.4舍去).

4.2.填空题(本大题共2小题,每小题7分，共14分)

7.一只碗内有五个汤圆，其中两个花生馅,三个黑芝麻馅.某人从碗内随机取出两

个,记事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个都是黑芝麻馅”,

则P(B\A)=.

答案:?

p2

解析:依题意可得P（AB）=急

C5

「24r2

p(m=鬻，

3

故P(B|4)=—=

7P(A)4

8.甲、乙等5名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务，每个岗位至

少有一名志愿者.设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数，则X

的均值为.

答案3

4

解析:根据题意,5名志愿者被随机分配到A,B,C,D四个不同岗位，每个岗位至少

一人,共有釐A}240（种），而X=l,2,

则P（x=l）=期=&=访X=2）=强=弛=3

''2402404'72402404

古攵七（X）=lx?+2x1=?.

444

4.3.解答题（本大题共3小题，共44分）

9.（14分）根据国家《环境空气质量》规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中

直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35

微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部

门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数

据统计如下：

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组别PM2.5/(微克及方米)频数/天频率

第一组10,15)40.1

第二组[15,30)120.3

第三组[30,45)80.2

第四组[45,60)80.2

第五组[60,75)40.1

第六组[75,90]40.1

(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程)；

(2)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑,

判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由；

⑶将频率视为概率，监测去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平

均浓度符合环境空气质量标准的天数为。求E的分布列及均值反②和方差

解:(1)众数为22.5微Q立方米，中位数为37.5微克/立方米.

(2)去年该居民区PM2.5的年平均浓度为

7.5x0.1+22.5x0.3+37.5xO.2+52.5xO.2+67.5xO.l+82.5xO.l=40.5(微立方米).

V40.5>35,

・•・去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的

环境需要改进.

(3)记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则

9

P(A)=6

随机变量4的可能取值为0,1,2,且B(2,S).

・,・%=&)=e舄)”(1・烹2“伏=0,1,2)和

V*

()12

11881

P

100100100

/.E(c)=Ox—+1x—+2x—=1.8,

100100100

或£©=〃〃=2*=1.8,

D(^)=np(l-p)=2x^x^=0.18.

第12页共15页

10.（15分）为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行

调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:

人数

5—..................................................................

4--------------------------------------------------------

3-----------------介-----------------

2—y—1----------------------------------------------------------

].OBIBOBMB0>WBOB«*«**■«B«0*****IB*■0■■・■0«■

o1----M-1------1-------1------1------1----------------►

123456学习时间

女生统计图

⑴已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；

（2）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人,设选取的男生人数为X,求随

机变量X的分布列；

（3）试比较男生学习时间的方差式与女生学习时间的方差登的大小.（只需写出结

论）

解：（1）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人,

女生中学习时间不足4小时的有4人.

故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为4（X）x-=240.

20

（2）学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4,

故X的所有可能取值为0,1,2,34

由题意可得

尸2。）老=弟

P（x=l）二萼=芫=总

P（X=2）=卑=-=

7Cf7035

P（x=3）=粤=-=

'47035

第13页共15页

「41

P(X=4尸萨而

所以随机变量X的分右列为

X01234

181881

p

7035353570

均值E(X)=0