拓展拔高练(拓展拔高3嵌套函数的零点问题)

拓展拔高练(时间:45分钟分值:50分)1.(5分)已知函数f(x)=e-x-2,x≤1,|ln(x-1)|,x>1,则函数g(x)=f是 ()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选B.令t=f(x),g(x)=0,则f(t)-2t+1=0,即f(t)=2t-1,分别作出函数y=f(t)和直线y=2t-1的图象,如图所示,由图象可得有两个交点,横坐标设为t1,t2,则t1=0,1<t2<2,对于t=f(x),分别作出函数y=f(x)和直线y=t2的图象,如图所示,由图象可得,当f(x)=t1=0时,函数y=f(x)与x轴有两个交点,即方程f(x)=0有两个不相等的根,当t2=f(x)时,函数y=f(x)和直线y=t2有三个交点,即方程t2=f(x)有三个不相等的根,综上可得g(x)=0的实根个数为5,即函数g(x)=f(f(x))-2f(x)+1的零点个数是5.2.(5分)已知函数f(x)=|ex-1|+1,若函数g(x)=[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a有三个零点,则实数a的取值范围是 ()A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)【解析】选A.令t=f(x),则函数g(t)=t2+(a-2)t-2a.由t2+(a-2)t-2a=0,得t=2或t=-a.f(x)=|ex-1|+1=ex,x≥0,2-ex,x由图可知,当t=2时,方程f(x)=|ex-1|+1=2有且仅有一个根,则方程f(x)=|ex-1|+1=-a必有两个不同的实数根,此时由图可知,1<-a<2,即-2<a<-1.3.(5分)已知f(x)=lnx-2,x>0,2x-12,x≤0,则满足2f是 ()A.(-∞,-1]B.(-∞,-1]∪(0,e2]C.(-∞,1]D.(-∞,-1)∪(0,1]【解析】选B.令t=f(m),则2f(t)+1=2t+1,所以f(t)=2t-12当t>0时,f(t)=lnt-2=2t-12无解当t≤0时,f(t)=2t-12恒成立,所以f(m)=t≤0当m>0时,lnm-2≤0,解得0<m≤e2;当m≤0时,2m-12≤0,解得m≤-1综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-1]∪(0,e2].4.(5分)(2024·杭州二模)设a∈R,函数f(x)=|x-1|,x≥0,-x2+ax,x<0,若函数y=f(f(A.(-2,0) B.(0,1)C.[-1,0) D.(0,2)【解析】选A.当a≥0时,f(x)的大致图象如图1所示,此时令f(f(x))=0,可得f(x)=1,观察图象可解得x=0或x=2,即方程有2个根,则此时y=f(f(x))只有2个零点,不符合题意;当a<0时,f(x)的大致图象如图2所示,此时令f(f(x))=0,可得f(x)=1或f(x)=a,由图易知f(x)=a恰有1个根,则需满足f(x)=1有2个根,而x=0和x=2均为f(x)=1的根,则需满足当x<0时,f(x)max<1,又当x<0时f(x)=-x2+ax的对称轴为x=a2则f(x)max=f(a2)=a24<1,解得-2<a<2,则-2<a<0.综上,a【加练备选】已知函数f(x)=-x2-6x-5,x<0,|(12)

x-1|,x≥0,若关于x的方程[f(x)]2+(2a-1)f(xA.(-1,1] B.(-1,0]C.[0,1] D.[-1,1]【解析】选A.由题意得[f(x)+a-1][f(x)+a]=0,则f(x)=1-a或f(x)=-a.作出函数f(x)的图象如图所示,因为关于x的方程[f(x)]2+(2a-1)f(x)+a2-a=0有5个不同的实数根,所以-5<-a<0,0≤1-a<1或0≤-a<1,1≤1-a5.(5分)已知函数f(x)=5ex+1,x<0,|x2-6x+8|,x≥0,g(x)=x2-ax+4,若y=g(fA.(4,+∞) B.[4,172C.[4,5] D.[203,172]【解析】选D.作出函数f(x)=5的图象如图所示:根据图象可得,当k=0或6≤k≤8时,f(x)=k有2个解;当0<k<1时,f(x)=k有4个解;当1≤k<6时,f(x)=k有3个解;当k>8时,f(x)=k有1个解.因为g(x)=x2-ax+4=0最多有两个解.因此要使y=g(f(x))有6个零点,则g(x)=x2-ax+4=0有2个解,设为k1,k2.则存在下列几种情况:①f(x)=k1有2个解,f(x)=k2有4个解,即k1=0或6≤k1≤8,0<k2<1,显然g(0)≠0,则此时应满足g(0)>0,g(1)<0,g(6)≤0,g(8)≥0,②f(x)=k1有3个解,f(x)=k2有3个解,设k1<k2,即1≤k1<6,1<k2<6,则应满足g(1)≥0g(6)>0Δ=综上所述,203≤a≤172或4<即a的取值范围为[203,172]∪6.(5分)(2024·成都模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上的解析式为f(x)=log3x,0<x≤3,2x-1,x>3,则关于x的方程[f(A.2或4或5或6 B.2或4或6C.4 D.6【解析】选C.由题目给出的f(x)的解析式和奇偶性可得f(x)的图象如图,令t=f(x),则原方程可化为t2+at-1=0,其判别式Δ=a2+4>0,故该方程有两个不相等的非零实根t1,t2,且t1t2=-1,不妨设t1>t2.①当t1>1时,t1=f(x)有1解,此时-1<t2<0,t2=f(x)有3解,所以原方程有4解;②当t1=1时,t1=f(x)有2解,此时t2=-1,t2=f(x)有2解,所以原方程有4解;③当0<t1<1时,t1=f(x)有3解,此时t2<-1,t2=f(x)有1解,所以原方程有4解.综上所述,方程解的个数为4.【加练备选】函数f(x)=2x+1,x<0,|12x2-2x+1|,x≥0,方程[f(x)]2-af(A.(1,2) B.(2,3)C.(2,73) D.[73【解析】选C.由题意得,f(x)图象如图所示,令t=f(x),要使原方程有6个不同的实数解,则t2-at-a+3=0有两个不同实根t1,t2且t1<t2.若t1=0,则-a+3=0,则a=3,此时t2-3t=0,t2=3,显然此时不符合题意,故由图知0<t1<1<t2<2,即g(t)=t2-at-a+3的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,而g(t)的图象开口向上,故g(0)=3-a>0,g(1)=4-2a7.(5分)已知函数f(x)=x2-4,x≤1,log2(x-1),x>1,【解析】设t=f(x),由f(t)=0可得t≤1,t2-4=0或t>1,log同理,由f(x)=2,解得x=-6或x=5;由f(x)=-2解得x=-2或x=54所以函数y=f(f(x))的不同零点的个数为4.答案:48.(5分)已知函数f(x)=2+log2(1-x),x<0,4x-1,【解析】令a=f(t),则f(a)-4=0,则当a<0时,2+log2(1-a)-4=0,解得a=-3;当a≥0时,4a-1-4=0,解得a=2.所以当f(t)=-3时,此时t<0,则2+log2(1-t)=-3,解得t=3132,不满足条件当f(t)=2时,若t<0,则2+log2(1-t)=2,解得t=0,不满足条件;若t≥0,则4t-1=2,解得t=32,满足条件答案:39.(5分)已知函数f(x)=|lgx|,x>0,-x2-2x+1,x≤0,且关于x的方程[f(x)]2-(2m+1)f(x)+m【解析】由题意,f(x)的图象如图所示,因为[f(x)]2-(2m+1)f(x)+m2+m=0有7个实数解,设f(x)=t,则方程t2-(2m+1)t+m2+m=0有2个不相等的实根t1=m,t2=m+1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2,t2=2.当1≤t1<2,t2=2时,m=1,满足题意;当0<t1<1≤t2<2时,0<m<1≤m+1<2,解得m∈(0,1).综上,m∈(0,1].答案:(0,1]【加练备选】已知函数f(x)=x2-2x+4,x≤0,lnx,x>0,若函数g(x)=[f(x)]2+2f(x)+m【解析】画出函数y=f(x)的图象,如图.令t=f(x),则由图可知要使g(x)有三个零点,则关于t的方程t2+2t+m=0有两个根,且一个根小于4,一个根大于等于4,所以Δ=4-4m>0,4答案:(-∞,-24]10.(5分)已知函数f(x)=|ex-3|,若函数g(x)=[f(x)]2-mf(x)+1有4个零点,则实数m的取值范围为________.

【解析】对于f(x)=|ex-3|,若ex-3=0⇒x=ln3