河北省职教高考总复习指导与同步练：数学

河北省职教高考总复习指导与同步练：数学目录平面解析几何08立体几何09概率与统计初步10复数11集合与常用逻辑用语01不等式02函数03幂函数、指数函数与对数函数04三角函数05数列06导数12平面向量07

第1章

集合与常用逻辑用语考情聚焦考查方向本章内容考查难度较低，主要考查方向如下：①集合的表示法；②集合之间的关系和集合的运算；③充分必要条件复习建议在本章的复习过程中，要准确理解元素的概念与性质，集合的概念、分类及其与元素的关系，学会应用常用数集、空集和全集；同时熟练掌握集合的表示法，掌握集合间关系的判定方法，并能够进行集合的运算和充分必要条件的判断知识框架知识点1集合与元素知识点2集合之间的关系知识点3集合的运算目

录章节导航知识点4常用逻辑用语集合与元素知识回顾

典例精讲真题链接

活学活练

01知识回顾1．集合集合是由某些确定的对象组成的整体，简称集．集合常用大写英文字母表示，如A，B，C，…．2．元素组成集合的对象称为这个集合的元素，常用小写英文字母表示，如a，b，c，…．集合中元素的特征有：一、集合的概念①确定性②互异性③无序性点击此处播放微课知识回顾一、集合的概念3．元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就称a属于A，记作aϵA．如果a不是集合A的元素，就称a不属于A，记作

．4．集合的分类知识回顾一、集合的概念易错警示①

。②区分

和0：

表示集合，0表示元素。③区分

和

：

代表的是空集，本质是一个集合；

代表的是含有一个元素“

”的集合．5．常用数集及其记法知识回顾一、集合的概念知识回顾二、集合的表示法集合的表示法定义举例注意事项列举法

将集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用花括号“{}”将元素括起来

①各个元素之间用“，”隔开；②注意元素的互异性；③元素不能遗漏描述法

利用元素的特征性质来表示集合，即在花括号“{}”中画一条竖线，竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质

①如果代表元素是数，一般用字母

表示；②如果代表元素是点的坐标或二元一次方程的解，一般用有序实数对

表示；③在实数集中取值时，

可以省略不写区间表示法

在实数线上，以区间的形式表示一个变量的范围

圆括号表示“排除”端点，方括号表示“包括”端点，例如，区间

表示所有在3到4之间的实数，但不包括3和4典例精讲点击此处播放微课

例1

下列说法中正确的是（

）．①

是由4个元素组成的集合；

②集合

是一个有限集；③非常大的数可以组成一个集合；

④不等式

用区间表示为

．

A．①③ B．②③

C．②④ D．①④解析集合中元素具有“互异性”，①错误；用列举法表示

，集合A是一个有限集，②正确；因为“非常大的数”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能组成一个集合，③错误；由区间表示法可知，④正确．故选C．【名师点睛】本题考查集合中元素的特征，有限集的概念以及集合的表示法．C典例精讲C

变式训练1

下列说法中正确的是（）．①不等式

用区间表示为

； ②集合

是一个无限集；③与0接近的全体实数可以组成一个集合；

④集合

中共有5个元素．A．①③ B．②③ C．②④ D．①④典例精讲

例2

设集合

，

，则下列表述中正确的是（）．A． B． C． D．解析元素a与A集合的关系应是属于与不属于，因为

，所以

．故选A．【名师点睛】本题考查元素与集合的关系及其符号表示．A典例精讲变式训练2

设集合

，

，则（）．A． B． C． D．B典例精讲解析

由集合中元素的互异性可知，

，解得

．故选C．【名师点睛】

本题考查集合中元素的互异性．C例3

已知集合

，则

应满足（）．A． B． C． D．典例精讲变式训练3

已知集合

，则a应满足（）．A． B．C． D．A典例精讲例4

用列举法表示下列集合．（1）

； （2）

； （3）

．解析（1）因为

为自然数集，所以用列举法表示该集合为

．（2）因为

为整数集，所以用列举法表示该集合为

． （3）因为方程

的解为

，所以用列举法表示该集为

．【名师点睛】本题考查集合列举法的应用，用列举法表示集合时，需先确定元素，同时需注意集合中元素的互异性特征．典例精讲变式训练4

用列举法表示下列集合．（1）

；

（2）

； （3）

．例5

用描述法表示大于3的所有奇数组成的集合．典例精讲解析该集合中元素的共同属性可以描述为

且

，所以这个集合可以表示为

．【名师点睛】本题考查集合描述法的应用．敲黑板用描述法表示集合时，应注意以下几点：（1）用于描述元素特征性质的语句要简明、准确，不产生歧义；多特征描述时，应准确使用“且”“或”等关联词；（2）所有描述的内容都要写在大括号内；（3）在不引起混淆的情况下，还可用描述法的简略形式表示集合，如{正整数}{实数}等．典例精讲

变式训练5

用描述法表示下列集合．（1）不超过6的整数构成的集合； （2）不小于2的全体实数．若集合中的元素较少，通常用列举法表示；若集合中的元素较多或无限，则通常用描述法表示，但如果这些元素存在一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以用列举法表示．解题通法真题链接

1．（2023年）已知集合

，则

．

（

）

2．（2021年）满足不等式

的实数

的集合叫闭区间，表示为

．

（

）

3．（2020年）下列集合中不是空集的是（

）．

A． B．

C． D．√×A活学活练一、单项选择题

1．下列说法中正确的是（）．A．

B．集合

是一个无限集C．

是由4个元素组成的集合D．本专业所有成绩较好的学生可以组成一个集合解析

因为

为有理数集，

为无理数，所以

，A选项错误；因为

为自然数集，所以用列举法表示该集合为

，则集合A是一个有限集，B选项错误；因为“成绩较好”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能组成一个集合，D选项错误．故选C．C活学活练二、判断题

1．

． （

）解析

不含任何元素，所以

．故题干表述错误．×课堂小结这小结我们学习了集合与元素包括：集合的概念和集合的表示法，并进行了活学活练，希望大家课下多加复习，可以更加深刻的了解集合的概念。集合之间的关系知识回顾

典例精讲真题链接

活学活练

02知识回顾典例精讲例1

设集合

，试写出集合A的子集、非空子集、真子集和非空真子集．解析由集合A可得其子集为

，共8个；非空子集为

，共7个；真子集为

，共7个；非空真子集为

，共6个．【名师点睛】一般地，如果集合A有n个元素，那么它共有

2n个子集、2n-1个非空子集、2n-1个真子集和2n-2个非空真子集．典例精讲

变式训练1

一个集合的非空子集有

63

个，则这个集合的非空真子集的个数为________．62个典例精讲

例2

下列关系式正确的是（）．A．

B． C． D．解析

2表示元素，所以

，A选项错误；

表示以

为元素的集合，所以

，B选项错误；

表示不含任何元素的集合，所以

，D选项错误．故选C．【名师点睛】

注意区分属于（

）和包含于（

）．属于（

）用于表示元素与集合之间的关系，包含于（

）用于表示集合与集合之间的关系．C典例精讲变式训练2

下列关系式不正确的是（）．A．

B．

C．

D．D典例精讲

例3

下列选项中，A和B表示同一个集合的是（）．A．

，

B．

， C．

， D．

，解析

A选项中，

，集合A与B相等；B选项中，集合A与B的元素个数不同，故两集合不相等；C选项中，集合A与B的元素完全相同，两集合相等；D选项中，集合A与B中的元素不同，即两个点的坐标不同，故两集合不相等．故选C．【名师点睛】判断两个集合是否相同，需判断它们的元素是否相同，与元素的排列顺序无关．C典例精讲变式训练3

判断下列各组集合之间的关系．（1）

，

；（2）

，

；（3）

，

；

（4）

，

．典例精讲

例4

设集合

，则下列关系式正确的是（）．A．

B．

C．

D．解析

，A选项和B选项错误；

，C选项错误．故选D．【名师点睛】要注意观察集合的取值范围，判断元素是否在集合内，集合之间是否存在包含关系．D典例精讲

变式训练4

设集合

，则下列关系式正确的是（）．

A．

B． C．

D．C典例精讲例5

设集合

，

，则下列关系式正确的是（）．A． B．

C．

D．以上都不正确解析因为A中所有的元素都在B中，所以

．故选A．【名师点睛】如图1-1所示，本题也可以利用数轴比较两个集合的范围，进而得出它们之间的关系．A解题通法对于此类实数不等式问题，可借助数轴，将集合语言转化为图形语言，通过观察图形进而得出集合之间的关系．典例精讲

变式训练

5

设集合

，

，则下列关系式正确的是（）．A． B．

C．

D．以上都不正确B真题链接

1．（2022年）空集是任何一个集合的真子集．

（

）

2．（2021年）集合

与集合

相等

（

）

3．（2019年）设集合

，则集合A的子集共有（）．

A．5个

B．6个

C．7个

D．8个

4．（2014年）若

，则下列关系式正确的是（）．

A．

B．

C．

D．××DC活学活练一、单项选择题

1．集合

共有（）个非空真子集．A．14 B．15 C．16 D．17解析

因为集合

中有4个元素，所以该集合共有

个非空真子集．故选A．A活学活练二、判断题1．集合

共有15个非空子集．

（

）

解析

因为集合

中有4个元素，所以该集合的非空子集共有个

．故题干表述正确．√课堂小结这小结我们学习了集合之间的关系，并学习了典例精讲，希望大家课下多加复习，在做题中能够灵活运用集合之间的关系。集合的运算知识回顾

典例精讲真题链接

活学活练

03知识回顾一、交集点击此处播放微课知识回顾二、并集敲黑板知识回顾1．全集的定义在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，一般用

U

来表示．在研究数集时，经常将实数集

R作为全集．三、补集易错警示全集是一个相对的概念，在不同的情况下，全集的概念也不同．知识回顾2．集合的补集三、补集定义如果集合是全集的子集，由中不属于的所有元素组成的集合，称为在全集中的补集，记作，可用描述法表示为（若全集为，则可简记为）Venn图

（阴影部分）性质①； ②；③；④； ⑤典例精讲

例

1

设全集

，集合

，

，求解以下各式．（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

．解析

（1）

．（2）

．（3）

．（4）

．【名师点睛】本题考查集合的运算．典例精讲

变式训练

1

设全集

，集合

，

，求解以下各式．（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

．

典例精讲例2

设全集

，集合

，则下列关系式中错误的有（）．①

；

②

；

③

．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个A解析

由题可知，

，①正确；

，②正确；

，

，所以

，③正确．故选A．【名师点睛】先把集合用同一种方法进行表示，再进行运算．典例精讲

变式训练2

已知集合

，

则

_________．典例精讲例3

设集合R为全集，集合

，

，求解以下各式．（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；（5）

；

（6）

．解析（1）

．（2）

．（3）

{

或

}．（4）

{

或

}．（5）

{

或

}．（6）

{

或

}．【名师点睛】还可利用如图1-2所示的数轴解题，方便简单，直观明了．典例精讲

变式训练3

设集合R为全集，集合

，

，求解以下各式．（1）

；

（2）

； （3）

； （4）

．典例精讲

例

4

已知集合

，

，若

，则

（）．A．

B．

C．

D．解析因为

，所以

，则

，

．故选B．【名师点睛】首先根据已知条件求出未知元素，再进行运算．B典例精讲A

变式训练

4

已知集合

，

，若

，则

（）．A． B．

C．

D．真题链接

1．（2023年）已知集合

，

，则

（）．

A．

B． C．

D．

2．（2023年）设数集

，

，则

． （

）3．（2022年）已知集合

，

，则

（）．A．

B． C．

D．D√C真题链接

4．（2021年）已知集合

，

，则

（）．

A．

B．

C．

D．

5．（2018年）已知集合

，，

，则

（）．

A．

B．

C．

D．

6．（2013年）已知全集

，集合

，则

（）．

A．

B．

C．

D．

CCC活学活练一、单项选择题

1．已知集合

，

，则

（）．A．

B． C．

D．D活学活练二、判断题1．已知集合

，

则

．

（

）解析

用列举法表示集合

，所以

．故题干表述正确．√课堂小结这小结我们学习了集合的运算包括：交集、并集、补集，并进行了活学活练。希望大家课下多加复习，将集合的运算熟记于心。常用逻辑用语知识回顾

典例精讲真题链接

活学活练

04知识回顾能够唯一判定真假的陈述句称为命题，常用小写字母

p，q，r，…表示．正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，就称这样的两个命题为互否命题，其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题．命题由条件和结论两部分组成．一、命题知识回顾二、充分必要条件的定义设条件

p对应的集合为

，结论

q对应的集合为Q，则充分必要条件的定义、集合表示、记法与读法．敲黑板与充分必要条件等价的词语有“当且仅当”“等价于”“有且只有”“反过来也成立”等．知识回顾三、逻辑联结词1．逻辑联结词的概念逻辑联结词定义记法读法且一般地，用联结词“且”将命题和命题联结起来，得到一个新命题“且”或一般地，用联结词“或”将命题和命题联结起来，得到一个新命题“或”非一般地，对命题的否定，得到一个新命题“非”或“的否定”真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真知识回顾三、逻辑联结词2．命题

，

，

的真假判断命题

和命题

的真假情况不同时，命题

，

，

的真假典例精讲例1

将“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”填入下列空格中．（1）“x是实数”是“x是有理数”的___________________；（2）“x是正方形”是“x是矩形”的___________________；（3）“

”是“

”的_____________________；（4）“x=0”的____________________是“x2+x=0”．必要不充分条件充分不必要条件充分必要条件必要不充分条件典例精讲解析（1）x是有理数时必然也是实数，但x是实数时不一定是有理数，故“x是实数”是“x是有理数”的必要不充分条件．（2）正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形，故“x是正方形”是“x是矩形”的充分不必要条件．（3）因为

，故“

”是“

”的充分必要条件．（4）x=0能推出x2+x=0，但x2+x=0不一定能推出x=0，所以“x2+x=0”是“x=0”的必要不充分条件，即“x=0”的必要不充分条件是“x2+x=0”．【名师点睛】应用充分、必要和充分必要条件的定义进行条件和结论的正推和反推，进而作出判断．充分、必要条件的判断方法有两种：①定义法，先分别确定条件

p和结论

q，再尝试由条件

p推理结论

q，由结论

q推理条件

p，最后确定条件

p和结论

q的关系；②集合法，根据条件

p和结论

q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．解题通法典例精讲

变式训练1

将“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”填入下列空格中．（1）“x=4”是“（x-4）2=0”的_________________；（2）“ɑ>0”是“

”的____________________；（3）“x2=49”是“x-7=0”的___________________；（4）“ɑ是4的约数”是“ɑ是8的约数”的___________________．充分必要条件充分不必要条件必要不充分条件充分不必要条件敲黑板（1）确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．（2）对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．典例精讲例

2

若命题“

”为真，且命题“

”为真，则（）．A．命题“

”为真 B．命题p为假 C．命题p为真 D．命题q为真解析

因为命题

的否定

为真命题，所以命题q为假命题，D选项错误；因为命题“

”为真命题，命题q为假命题，所以命题p为真命题，B选项错误；因为命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题“

”为假命题，A选项错误．故选C．【名师点睛】本题考查命题的真假判断，要准确理解逻辑联结词的概念．C典例精讲

变式训练

2

已知命题

，

，其中命题

为假命题，则（）．A．命题

为假

B．命题

为假C．命题

为真 D．命题

为真D真题链接

1．（2023年）设

，则“

”是“

”的必要条件．

（

）

2．（2021年）“

”是“

”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（2020年）设A，B为两个集合，则“

”是“

”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件×AC真题链接

4．（2019年）“

与

的终边相同”是“

”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

5．（2019年）在

中，“

”是“

”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（2019年）若命题“

”为假，且“

”为假，则（）．A．命题“

”为假 B．命题q为假C．命题q为真 D．命题p为假ACB活学活练一、单项选择题

1．“

”是“

”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要解析

因为“

”能推出“

”，而“

”不能推出“

”，所以“

”是“

”的充分不必要条件．故选A．A活学活练二、判断题

1．若

，

，则

是

的必要不充分条件．

（

）

解析

因为

，所以

是

的充分不必要条件．故题干表述错误．×

课堂小结这小结我们学习了充分必要条件：命题、充分必要条件的定义和充分、必要条件的传递性。希望大家课下多加复习，加深对本节课的理解。对课件有修改、优化建议，作业布置遇到问题，想免费使用平台或免费建课，请扫描右侧二维码，添加客服微信解决文旌客服联系方式文旌客服谢

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第2章

不等式考情聚焦考查方向本章内容考查难度较低，主要考查方向如下：①不等式基本性质的应用；②解一元二次不等式和含绝对值的不等式复习建议在本章的复习过程中，要理解不等式的基本性质及各类区间的概念，掌握一元二次不等式与一元二次方程及判别式之间的关系，熟记一元二次不等式的解集公式，会求解一元一次不等式（组）、一元二次不等式、分式不等式及含绝对值的不等式，并会利用一元二次不等式模型解决简单的实际问题知识框架知识点1不等式的基本性质与区间知识点2一元二次不等式知识点3分式不等式和含绝对

值的不等式目

录章节导航不等式的基本性质与区间知识回顾

典例精讲真题链接

活学活练

01知识回顾一、比较实数的大小这种作差比较两个实数（或代数式）大小的方法称为作差比较法．设

，则有知识回顾二、不等式的性质点击此处播放微课知识回顾三、区间由数轴上两点间的所有实数所组成的集合称为区间，这两个点称为区间端点．设

，且

，则各种区间表示的集合．区间概念记法集合表示闭区间满足不等式的实数的集合开区间满足不等式的实数的集合左闭右开区间满足不等式的实数的集合左开右闭区间满足不等式的实数的集合知识回顾三、区间区间概念记法集合表示无穷区间满足不等式的实数的集合满足不等式的实数的集合满足不等式的实数的集合满足不等式的实数的集合敲黑板（1）我们常用区间来表示数集，特别是不等式的解集．另外，利用不等式表示的集合，也常用区间来表示．（2）实数集R是无穷区间，记作

．典例精讲例1

用“

”或“

”填空（1）

____

；

（2）若

，则

____

；（3）若

，则

____

；

（4）若

，则

____

．解析（1）由

可得，

，即

．（2）由

，

可得，

．（3）由

，

可得，

．（4）由

，

可得，

，则

，即

．

【名师点睛】本题主要考查不等式的加法和乘法法则．典例精讲变式训练1

若

，则下列不等式中不能成立的是（）．A．

B．

C．

D．B典例精讲解析

应用作差比较法，因为

，且当

时，

恒成立，所以

．【名师点睛】对于用字母表示的两个实数，一般通过判断它们之间差的符号来比较它们的大小．

例2

当

时，判断

与

的大小．作差比较法比较实数（或代数式）大小的步骤：作差→变形（可利用因式分解、配方法，将差转化为积的形式或配成完全平方式）→判断符号．解题通法典例精讲变式训练2

设

为两个不相等的实数，判断

与

的大小．解：应用作差比较法，因为

，且

，所以

恒小于0，故

．典例精讲解析

A选项缺少对a，b，c，d同为正数的限制；B选项缺少对c为正数的限制；C选项要成立，还要求a，b同号；D选项满足同向不等式的可加性．故选D．【名师点睛】本题考查不等式的基本性质及其推论．例3

下列命题中，正确的是（）．A．若

，

，则

B．若

，则C．若

，则

D．若

，

，则D易错警示

不一定成立，需分情况讨论：①若

，

，则

；

②若

，

，则

；③若

，

，则

无意义．典例精讲

变式训练3

下列各选项中，正确的是（）．A．

B．C． D．

且C敲黑板在判断不等式是否成立时，部分情况下可使用特殊值法，即根据条件取特殊值代入不等式进行验证．典例精讲例4

已知集合

，

，求

，

．解析由集合

，

可得，

，

．【名师点睛】用区间表示集合的交集、并集和补集时，可通过数形结合准确表示集合．易错警示在使用区间表示集合时，要特别注意判断区间端点能否取到．典例精讲

变式训练4

设全集为

，集合

，

，求：（1）

，

； （2）

，

； （3）

，

．典例精讲例

5

设全集

，集合

，

，则

_________，

_________．（用区间表示）解析解不等式可得集合

，

，所以

．由全集

可得

，所以

．【名师点睛】本题考查不等式的求解、集合的运算及区间的表示方法．典例精讲变式训练5

不等式组

的解集用区间表示为_________．真题链接

1．（2022年）若

，则

．

（

）

2．（2021年）已知

，则下列不等式中正确的是（）．A．

B． C．

D．×B活学活练

3．（2020年）已知

，则

．

（

）

4．（2020年）集合

用区间表示为（）．A．

B． C．

D．×D活学活练一、单项选择题

1．若

，则下列结论中错误结论的个数是（）．① ； ②

；③ ； ④

．A．1 B．2 C．3 D．4B解析因为

，根据不等式的加法和乘法法则，可得

，

，

，

，①④正确，②③错误．故选B．活学活练二、判断题

1．如果

且

，那么

．（）×解析因为

且

，根据同向不等式可加性，可得

，根据不等式的乘法法则可得

．故题干表述错误．课堂小结这小结我们学习了不等式的基本性质与区间，并进行了活学活练，希望大家课下多加复习，可以更加深刻的了解集合的概念。一元二次不等式知识回顾

典例精讲真题链接

活学活练

02知识回顾一、解一元一次不等式（组）1．求解一元一次不等式任何一元一次不等式最后都能化为形如

（或

）或

（或

）

的不等式（

），然后进行求解．以

为例的一元一次不等式的解集．知识回顾2．求解一元一次不等式组求解一元一次不等式组的方法有两种：一、解一元一次不等式（组）②口诀法．以两个一元一次不等式组成的不等式组为例，其解集如表2-4所示，其中

．①图象法．分别求出每一个不等式的解集，然后利用数轴找出它们的公共部分．知识回顾表2-41．解一元一次不等式（组）知识回顾1．一元二次不等式的含义含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为二、解一元二次不等式知识回顾2．求解一元二次不等式（1）利用因式分解法求解．同解变形后的判断依据是：二、解一元二次不等式或或点击此处播放微课知识回顾2．求解一元二次不等式二、解一元二次不等式具体步骤：①②③将一元二次不等式的右端化为0将左端进行因式分解，并利用以上同解变形后的判断依据，转化为两个一次不等式求出解集．知识回顾二、解一元二次不等式（2）利用一元二次函数的性质求解．当

时，函数

的图象、方程

的解及不等式

的解集之间的关系

．知识回顾（2）利用一元二次函数的性质求解．二、解一元二次不等式敲黑板（1）当

时，根据不等式的性质，可先将其转化为

的形式，得到与原不等式同解的不等式，再按步骤进行求解．（2）当

且

时，也可以先求出对应的一元二次方程的两个实数解，再结合口诀“大于取两边，小于取中间”得出解集．典例精讲例1

解下列不等式．（1）

； （2）

；

（3）

．解析（1）原不等式移项后得

，解得

，所以原不等式的解集为

．（2）原不等式移项后得

，解得

，所以原不等式的解集为

．

（3）原不等式去分母后得

，去括号后得

，移项后得

，解得

．因此，原不等式的解集为

．【名师点睛】本题考查一元一次不等式的求解．解题通法解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（转化为

或

的形式）→将未知数的系数化为1（若系数为负，则不等式需变号）．典例精讲变式训练1

如果不等式

的解集为

，则

的值为____________．典例精讲解析由原不等式组解得

所以原不等式组的解集为

．【名师点睛】先按照解一元一次不等式的步骤分别求出每一个不等式的解集，然后根据“大小、小大取中间”的口诀求其交集，即为原不等式组的解集．例2

解不等式组：典例精讲变式训练2

解不等式组：

解：原不等式组可变形为

解得

所以原不等式组的解集为

．典例精讲解析

因为方程

中

，所以方程

有两个实数解，求得该方程的解分别是

，

，所以不等式

的解集为

．【名师点睛】本题可利用一元二次函数的性质及一元二次不等式的解集公式进行求解．例3

解不等式：

．解题通法解一元二次不等式的步骤：①化：将不等式转化为

且右端为0的形式；②判：计算对应一元二次方程的判别式∆，判断方程是否有实数解；③求：求出一元二次方程的实数解

；④写：利用口诀“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．典例精讲

变式训练3

解不等式：

．解：原不等式

变形得

．因为方程

有两个实数解，它们分别为

，

，所以

的解集为

，即原不等式的解集为

．典例精讲例4

已知一元二次不等式

的解集是

，则a-b=_________．解析由不等式

的解集为

可知，方程

的两个实数解为-1和2．由韦达定理，得

解得

，

，所以

．【名师点睛】题中一元二次不等式的解集的区间端点取值即为对应的一元二次方程的两个实数解．典例精讲变式训练4

若不等式

的解集为

，则

_________．-1典例精讲例5

当

时，不等式

的解集是____________．解析将原不等式

因式分解后，得

因为

，所以

．根据同解变形后的判断依据可得，不等式

的解集为

，即原不等式的解集为

．【名师点睛】解此题的关键是根据

来判断a与2a的大小，进而求解不等式．典例精讲变式训练5

若

，求不等式

的解集．解：原不等式

可变形为

．因为方程

的两个实数解为

，

，且

，所以不等式

的解集为

，即原不等式的解集为

．易错警示求解含参数的不等式时，不仅要判断两个实数解的大小关系，还需注意二次项系数的正负，若二次项系数为负，需先将其化为二次项系数为正的不等式，以便正确写出解集．典例精讲

例6

关于x的不等式

对任意实数都成立，求实数

k的取值范围．解析（1）当

时，原不等式可变形为

，x取任意实数时都成立．（2）当

时，由题意，得一元二次函数

的图象如图所示．由图得

即

解得

．综上所述，k的取值范围是

．【名师点睛】（1）因为x2项的系数含有参数k，所以需要分别讨论

和

两种情况．（2）当

时，先大致确定对应一元二次函数的图象，再根据图象得出k与

的范围，进而求解．解题通法对于在

内恒成立的含参一元二次不等式，要求解参数的取值范围，首先，若二次项系数为参数，需分类讨论参数为零、不为零的两种情况；其次，若二次项系数不为零，则可以利用图象法，先确定对应二次函数的大致图象，再结合二次函数的性质将图象特点转化为数学语言；最后，综合所有情况，得出结论．典例精讲变式训练6

已知不等式

的解集是空集，则实数

k的取值范围是______________．真题链接C

1．（2023年）不等式

的解集为（）．

A．

B．

C．

D．

2．（2023年）一元二次不等式

的解集为（）．

A．

B．

C．

D．D真题链接C√

3．（2020年）不等式

的解集为（）．

A．

B．

C．

D．

4.（2020年）满足不等式

的最小整数是___________．

5．（2020年）

的解集是

．

（

）活学活练一、单项选择题

1．不等式

的解集为（）．A． B．C． D．解析原不等式可变形为

，移项后得

，解得

，即原不等式的解集为

．故选B．B活学活练二、判断题√

1．不等式

的解集为

． （

）课堂小结这小结我们学习了一元二次不等式包括：解一元一次不等式和解一元二次不等式，希望大家课下多加复习，更加深刻的了解一元二次不等式的概念。分式不等式和含绝对值的不等式知识回顾

典例精讲真题链接

活学活练

03知识回顾分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．一、分式不等式1．分式不等式的定义知识回顾一、分式不等式2．解简单分式不等式分式不等式

（设

）可化为

，其解集为

，即“小于取中间”．分式不等式

（设

）可化为

，其解集为

，即“大于取两边”．分式不等式有等号时，分子可以为0，但分母不能为0．

（设

）的解集为

．

（设

）的解集为

．敲黑板知识回顾二、含绝对值的不等式1．含绝对值的不等式的定义绝对值内含有未知数的不等式称为含绝对值的不等式．知识回顾2．解含绝对值的不等式解含绝对值的不等式的总体思想是将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式．二、含绝对值的不等式敲黑板对于形如

与的不等式，可以通过“变量替换”的方法求解，就是用单一的字母表示一个代数式，从而使一些数学问题化难为易，化繁为简．例如，不等式

中，设

，则原不等式可转化为

，其解集为

或

，即

或

，进而求出原不等式的解集．典例精讲

例1

解不等式：

．解析不等式

可化为

，根据口诀“小于取中间”，可得

的解集为

．【名师点睛】

本题考查分式不等式的解法．典例精讲变式训练1

解不等式：

．解：不等式

可化为

，根据口诀“大于取两边”，可得

的解集为

．典例精讲例2

解不等式：

．解析不等式

可化为

根据口诀“大于取两边”，可得

的解集为

．【名师点睛】

当分式不等式有等号时，一定要注意分母不能为0．典例精讲

变式训练2

解不等式：

．解：不等式

可化为

根据口诀“小于取中间”，可得

的解集为

．典例精讲例3

解不等式：