重庆市南开中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

重庆南开中学学年高一（上）期中考试数学试题本试卷分为第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．满分分，考试时间分钟．第I卷和第卷都答在答题卷上．第I卷（选择题共分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.全集，集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用交集和补集的运算求解.【详解】．．故选：D.2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据存在量词命题的否定方法，判断出正确结果即可.【详解】由题意可知命题“”的否定是“”.故选：C.3.函数的定义域是（）A.B.C.D.第1页/共18页【答案】A【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，分母不为零，求解得即可；【详解】由，得且，所以函数的定义域为，故选：A.4.如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令，结合图象即可得到.【详解】当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值.故选：D.5.函数的值域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调性和定义域，判断函数值域即可.第2页/共18页【详解】由题意可知函数定义域为，即定义域，可知在定义域上单调递增，可知，所以．故选：B.6.设函数的定义域为，则“是奇函数”是“对任意，都有”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过举反例证明充分性不成立，利用赋值法结合奇函数定义证明必要性成立.【详解】若，其为奇函数，但，故其充分性不成立；若对任意，都有，令，则；令，则，即是奇函数，故其必要性成立；综上可知“是奇函数”是“对任意，都有”的必要不充分条件.故选：B.7.若正数、满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知等式得出，求得，化简得出，结合基本不等式第3页/共18页【详解】由可得，因为，，由可得，故，且，故.当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：D.8.若函数是定义域为等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由奇函数的性质可得出在上的单调性，及函数值的正负，然后分类求解即可．【详解】因为函数是定义域为的奇函数，在区间上单调递增，且，故可知在区间上单调递增，且；故：当时，，当时，：当时，或；当时，或此情况无解．第4页/共18页故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.下列函数中既是偶函数又在区间上单调递增的有（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断即可.【详解】对于A选项，函数的定义域为，，即为奇函数，因为函数、在上均为增函数，故函数在上单调递增，A不满足要求；对于B选项，函数定义域为，，即函数为偶函数，且该函数在上单调递增，B满足要求；对于C选项，函数的定义域为，，即函数为偶函数，当时，，故函数在上单调递减，C不满足要求；对于D选项，函数的定义域为，，即函数为偶函数，第5页/共18页当时，，故函数在上单调递增，D满足要求.故选：BD.10.已知，则下列不等关系一定成立的有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】作差，然后消元得，然后由的范围得到的正负，从而判断A选项；由基本不等式得到，然后整理后利用不等式基本性质得到结论判断B选项；取特殊值判断C选项；由基本不等式求得的范围，判断D选项.【详解】∵，即，且，则，∵，，∴，即，A选项正确；∵，∴，即，∵，∴，∴，B选项正确；取，则，则，，此时，C选项错误.，当且仅当时，即时取等号，D选项正确.故选：ABD.若函数的定义域为，且对任意，总存在，使得成立，则称具有性质．下列说法正确的有（）第6页/共18页A.函数不具有性质B.函数不具有性质C.函数一定具有性质D函数一定具有性质【答案】ACD【解析】【分析】选项A，直接利用定义求解即可；选项B，直接利用定义求解即可；选项C，当时，作出的图象，根据定义判断即可；选项D，先将函数写出分段函数，分别按照，，三种情况讨论求解.【详解】选项A，且，不具有性质,故A错误.函数具有性质的图象特征:对于图象上任意一点，在这个点的左边的图象上存在函数值比这个点的函数值小的点；或者在这个点的右边的图像上存在函数值比这个点函数值大的点.选项B，观察的图象，易知它具有性质,故B错误.选项C，当时，作出的图象，易知它具有性质，故C正确.选项D，，分离常数得，第7页/共18页为连续函数，则在上单调递增，具有性质.②当，，结合图象可知具有性质.③当，在单调递减，当在单调递增．当.而成立．对任意，若，由于函数在上单调递增，可取，则有若，则，由于函数在上的值域为，且.故总能找到使得，此时，亦有.综上，此情况下函数具有性质．故D正确.第8页/共18页第卷（非选择题共分）三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共分．各题答案必须填写在答题卡上相应位12.已知集合，则集合的子集个数为___________．【答案】8【解析】【分析】根据分式不等式的解法，求出集合中的元素的个数，进而求出集合子集的个数.【详解】由题意得，化简得，解得，所以集合，有三个元素，则集合的子集个数为.故答案为：8.13.当生物体死亡后，它机体内原有的元素含量会按确定的比率衰减．刚死亡的生物体某元素含量为，经过天后元素含量与时间（天）的关系式为：．已知生物体死亡10天后，它机体内该元素含量变为（___________天后，它机体内该元素含量变为（【答案】15【解析】【分析】根据指数型函数的性质，以及对数的运算法则，列出方程，求出参数值，进而求出结果【详解】由题意可知，化简得，解得，则，第9页/共18页可得，化简得，解得.故答案为：14.已知函数，若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】根据二次不等式的解法，求出函数值域的范围，根据分段函数性质，对函数值进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可.【详解】函数在上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，且，，，，，，有且只有一个整数解可知解集非空，则，因，可知当时，即，即，有且只有一个整数解则只有时才能成立，即，此时整数解为；当时，即，即，有且只有一个整数解则只有时才能成立，即，此时整数解为，综上．的取值范围为．四、解答题：本题共5个小题，共分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字15.已知集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．第10页/共18页【答案】（1）（2）【解析】1）分别求出各个集合，再进行混合运算即可.（2）对集合是否为空集进行分类讨论，再结合集合的包含关系求解参数即可.【小问1详解】若，则，，令，解得，则得到【小问2详解】①当时，得到，解得，符合题意，②当时，即时，令，解得，可得，得到，解得，综上可得，．16.已知二次函数满足，且．（1）求函数的解析式；（2）若，求关于的不等式的解集．【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】1）设出二次函数的解析式，代入，计算求解；（2）将代入，得到，按照，，三种情况第11页/共18页【小问1详解】（1）设，，即，；【小问2详解】（2）．①当时，，②当时，，③当时，．综上：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.17.情．赛前球迷自发组织助威活动，赛后街头巷尾热议赛事细节，社交媒体上相关话题更是持续刷屏．某网站统计数据显示，该赛事开赛后48小时内网络热度值关系为；②当时，虽热度逐渐冷却，但重庆球迷仍持续关注，函数关系为（1）当时间为多少时，网络热度值最大，并求出最大值；（2）该网站把“网络热度值超过220万次点击的时间段”称为“霸榜时段”，求“渝超”开赛后48小时内的“霸榜时段”．【答案】（1）当时，取得最大值280．（2）第7至第13小时.第12页/共18页【解析】1）分和，利用单调性求解最值；（2）分和，解不等式求解范围.小问1详解】①当时，单调递增，此时．②当时，．故单调递减．此时．所以，当时，取得最大值280．小问2详解】①当时，令，即，解得或：②当时，令，即，解得，;综上，霸榜时段为第7至第13小时.18.已知定义在上的函数满足：①；②当时，；③对于，都有．（1）求及，（2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增；第13页/共18页（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）证明见解析（3）【解析】1）根据题干等式，通过赋值求出函数值即可；（2）根据单调性的定义，以及条件等式，通过赋值法，用定义法证明函数单调递增即可；（3）根据题目条件，对不等式进行化简，根据函数单调性，列出不等式，再根据指数函数与二次函数的性质，构造新函数，对参数进行分类讨论，求出参数范围.【小问1详解】令，得，故．令，得，故【小问2详解】对于，不妨设，令，则，即，，，即．因此在上单调递增.【小问3详解】令，得，且，因此对于恒成立，即恒成立，即恒成立．第14页/共18页又因为在上单调递增，故只需当时，恒成立即可．令．则当时，．令，函数开口朝上，对称轴为，①当时，函数在上单调递增，，解得或，即．②当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，，此时无解．③当时，函数在上单调递减，，解得或，即．综上：.19.已知函数．（1）若关于的方程在区间内有解，求的取值范围；（2）若关于的方程在区间内有两个不等实根．（i）求的取值范围；（ii）证明：．【答案】（1）（2i）ii）证明见解析【解析】1）由方程，分离参数，构造函数通过分析的单调性，求得的值域，即的取值范围，从而得到的取值范围；（2的方程在区间第15页/共18页数令的取ii和而证得．【