山西省大同市2026届高三上学期第二次学情调研（期中）数学试卷（含答案）

山西省大同市2025-2026学年高三上学期第二次学情调研测试数学试题一、单选题1．设集合，，则集合（

）A． B． C． D．2．已知复数，为虚数单位，则（

）A．2 B． C． D．3．首项为的等差数列，从第5项起开始为正数，则公差的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知向量，，若，则实数，满足的关系式为（

）A． B． C． D．5．已知圆台的母线与底面所成的角为，上、下底面半径分别是1和2，则该圆台的表面积是（

）A． B． C． D．6．若，则的值为（

）A． B． C． D．7．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（

）A． B． C． D．8．已知向量，且，若向量满足，则的最大值为（

）A．3 B． C．1 D．二、多选题9．已知，是空间中两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，且，则C．若，且，则 D．若，且，则10．若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（

）A．当时， B．函数有2个零点C．，，都有 D．的解集为三、填空题12．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，其中是和的等差中项，则.13．已知定义在上的函数的图象关于轴对称，且函数在上单调递增，则不等式的解集为.14．已知函数，，，在区间上单调，则正整数的最大值为.四、解答题15．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是52℃.（，，，）(1)求的值（精确到0.01）；(2)若要将物体的温度降为42℃，32℃，求分别需要冷却的时间（精确到0.1min）16．如图，在矩形甬道中（假定甬道，可以无限延伸），，，，分别为边，上的动点，且，设.

(1)若的面积记为，写出函数解析式；(2)求的最小值.17．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，且，，，，平面平面.

(1)求证：；(2)若三棱锥体积为，求平面与平面夹角的余弦值.18．设函数.(1)判断并说明函数的零点个数；(2)记，①设，试讨论函数的单调性；②若在恒成立，求实数的取值范围.19．已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)若为在区间内的项的个数.①求，，；②求数列的前项的和.

参考答案1．A【详解】由，得，解得，所以，又，所以.故选：A.2．C【详解】，所以.故选：C.3．B【详解】设该等差数列为，且公差为，由题意得，即有，解得.故选：B.4．D【详解】解：因为，所以；已知，；所以，；所以；即；故选：D.5．C【详解】设圆台的母线长为，上，下底面半径分别为，则，所以，表面积.故选：C.6．B【详解】解析：，可化为，即，即，解得，又.故选：B.7．D【详解】由得，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即，由，得，所以，解得.故选：D.8．A【详解】因为，所以，又，所以所以，所以，所以，所以（是向量与的夹角）.所以，所以，所以，所以的最大值为3.故选：A.9．BC【详解】在A中，由，可得或，故A错误；在B中，由及可知，又由于，所以，故B正确；在C中，由及可知，又因，所以，故C正确；在D中，由，，可得或，异面，故D错误.故选：BC.10．ABD【详解】对于A，因为，，，且，所以，即，故A正确；对于B，，故，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确。故选：ABD.11．ACD【详解】对于A，设，则，故，因为函数是定义在上的奇函数，所以，故A正确；对于B，函数是定义在上的奇函数，所以；当时，令，解得；由奇函数性质可知当时，函数有零点；故函数有3个零点，故B错误；对于C，当时，，令得，令得，所以在单调递减，在单调递增，当时，得的极小值为，又时，，所以当时，，由题可得函数的大致图象，根据奇函数的性质，当时，，综上所述，的值域为，所以，，都有，故C正确；对于D，由图象可得的解集为，故D正确；故选：ACD.12．//【详解】由题可知，即所以，解得或（舍）所以.故答案为：.13．【详解】依题意，函数是偶函数，且在上单调递减，所以，即，即，即，解得或，故不等式的解集为.故答案为：14．11【详解】因为，所以，，所以，又，所以是函数的对称中心，所以，，所以，所以，即，所以是奇数，又函数在区间上单调，所以即，所以，当时，不符合题意；当时，，，又，取，时，满足，所以最大值为11.故答案为：1115．(1)(2)2.3min和4.2min【详解】（1）由题意可知，，当时，，于是，所以，可得，解得.（2）由（1）知，所以当时，，所以，可得，所以；当时，，所以，可得，所以，所以要将物体的温度降为42℃和32℃，需要冷却的时间分别为2.3min和4.2min.16．(1)(2)【详解】（1）由题可知，.由题图可知，，所以，又，所以，在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理，得，所以即.（2）因为，所以，所以.所以的取值范围是，所以.所以当，即时，取得最小值.17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点为，连接，，.因为，所以，又因为平面平面，平面平面，在平面内，所以平面，在中，，，，由余弦定理可得，所以，所以，又为平行四边形所以，所以在中，为的中点，所以由于平面，在平面内，所以，，因此直角三角形全等，则

（2），，解得，由（1）可知，又因为为的中点，所以，所以以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，，，，，设平面的法向量为，，，则，令，得，可得，设平面的法向量为，，则，令，可得，所以所以平面与平面夹角的余弦值是.

18．(1)一个零点，理由见解析(2)①答案见解析；②【详解】（1）函数的有1个零点，理由如下：因为，所以，所以在上单调递增.又，而，所以存在唯一实数，使得，所以在有且只有一个零点.（2）①，则，当时，，故在上单调递减，当时，令，得所以当时，单调递减，令，得，所以当时，单调递增.综上所述，当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.②依题意得，即在区间上恒成立即在上恒成立.设，，因，所以在单调递增，所以，所以.若，由于，故，即在区间上不恒成立；若，由①知，当即时，在上单调递减，在上单调递增.故，而，即存在，使得，所以在区间上不恒成立；当时，即时，记，则，其中，又，所以，因此，所以在上单调递增，所以，即时，.综上所