【中考数学】【2025届】苏科版第三轮冲刺专项练习【锐角三角函数】及参考答案

【中考数学】【2025届】苏科版第三轮冲刺专项练习【锐角三角函数】及参考答案一、选择题1.在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$BC=3$，$AB=5$，则$\sinA$的值是（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$答案：A解析：根据正弦函数的定义，在直角三角形中，$\sinA=\frac{BC}{AB}$，已知$BC=3$，$AB=5$，所以$\sinA=\frac{3}{5}$。2.若$\alpha$为锐角，且$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，则$\tan\alpha$的值为（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{5}{3}$答案：B解析：因为$\alpha$为锐角，$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，设直角三角形中$\alpha$的对边为$4x$，斜边为$5x$，根据勾股定理可得邻边为$\sqrt{(5x)^{2}(4x)^{2}}=3x$。根据正切函数的定义$\tan\alpha=\frac{对边}{邻边}=\frac{4x}{3x}=\frac{4}{3}$。3.在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$\cosA=\frac{3}{5}$，则$\tanA$等于（）A.$\frac{4}{3}$B.$\frac{3}{4}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$答案：A解析：因为$\cosA=\frac{3}{5}$，设直角三角形中$\angleA$的邻边为$3x$，斜边为$5x$，则$\angleA$的对边为$\sqrt{(5x)^{2}(3x)^{2}}=4x$。所以$\tanA=\frac{对边}{邻边}=\frac{4x}{3x}=\frac{4}{3}$。4.已知$\angleA$为锐角，且$\cosA\leqslant\frac{1}{2}$，那么（）A.$0^{\circ}\ltA\leqslant60^{\circ}$B.$60^{\circ}\leqslantA\lt90^{\circ}$C.$0^{\circ}\ltA\leqslant30^{\circ}$D.$30^{\circ}\leqslantA\lt90^{\circ}$答案：B解析：因为$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，且余弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随角度的增大而减小，当$\cosA\leqslant\frac{1}{2}$时，$60^{\circ}\leqslantA\lt90^{\circ}$。5.在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$\sinA=\frac{3}{5}$，则$\cosB$的值为（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$答案：A解析：在$Rt\triangleABC$中，$\angleA+\angleB=90^{\circ}$，所以$\cosB=\cos(90^{\circ}A)=\sinA=\frac{3}{5}$。二、填空题1.在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AB=10$，$AC=6$，则$\sinB$的值是______。答案：$\frac{3}{5}$解析：根据正弦函数的定义，$\sinB=\frac{AC}{AB}$，已知$AB=10$，$AC=6$，所以$\sinB=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。2.已知$\tan\alpha=\sqrt{3}$，$\alpha$为锐角，则$\alpha=$______度。答案：$60$解析：因为$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，且$\alpha$为锐角，所以$\alpha=60^{\circ}$。3.若$\sinA=\frac{1}{2}$，则锐角$A=$______；若$\tanB=\sqrt{3}$，则锐角$B=$______。答案：$30^{\circ}$；$60^{\circ}$解析：根据特殊角的三角函数值，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以当$\sinA=\frac{1}{2}$时，锐角$A=30^{\circ}$；当$\tanB=\sqrt{3}$时，锐角$B=60^{\circ}$。4.在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$\cosA=\frac{4}{5}$，则$\sinA=$______。答案：$\frac{3}{5}$解析：设直角三角形中$\angleA$的邻边为$4x$，斜边为$5x$，则$\angleA$的对边为$\sqrt{(5x)^{2}(4x)^{2}}=3x$。所以$\sinA=\frac{对边}{斜边}=\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$。5.已知$\angleA$是锐角，且$\sinA=\frac{5}{13}$，则$\cos(90^{\circ}A)=$______。答案：$\frac{5}{13}$解析：根据诱导公式$\cos(90^{\circ}A)=\sinA$，已知$\sinA=\frac{5}{13}$，所以$\cos(90^{\circ}A)=\frac{5}{13}$。三、解答题1.计算：（1）$\sin30^{\circ}+\cos45^{\circ}\tan60^{\circ}$；（2）$\sin^{2}45^{\circ}+\tan60^{\circ}\cos30^{\circ}$。答案：（1）\[\begin{align}&\sin30^{\circ}+\cos45^{\circ}\tan60^{\circ}\\=&\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{3}\\=&\frac{1+\sqrt{2}}{2}\sqrt{3}\end{align}\]（2）\[\begin{align}&\sin^{2}45^{\circ}+\tan60^{\circ}\cos30^{\circ}\\=&(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\\=&\frac{2}{4}+\frac{3}{2}\\=&\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\\=&2\end{align}\]2.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$D$是$BC$边上一点，$AD=BD=5$，$CD=3$，求$\sin\angleBAC$的值。答案：在$Rt\triangleACD$中，根据勾股定理可得：$AC=\sqrt{AD^{2}CD^{2}}=\sqrt{5^{2}3^{2}}=\sqrt{259}=\sqrt{16}=4$$BC=BD+CD=5+3=8$在$Rt\triangleABC$中，根据勾股定理可得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$所以$\sin\angleBAC=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$3.如图，在$\triangleABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$\tanB=\cos\angleDAC$。（1）求证：$AC=BD$；（2）若$\sinC=\frac{12}{13}$，$BC=12$，求$AD$的长。答案：（1）证明：因为$AD$是$BC$边上的高，所以$\angleADB=\angleADC=90^{\circ}$。在$Rt\triangleABD$中，$\tanB=\frac{AD}{BD}$；在$Rt\triangleADC$中，$\cos\angleDAC=\frac{AD}{AC}$。因为$\tanB=\cos\angleDAC$，所以$\frac{AD}{BD}=\frac{AD}{AC}$，又因为$AD\neq0$，所以$AC=BD$。（2）在$Rt\triangleADC$中，$\sinC=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{13}$，设$AD=12x$，则$AC=13x$。根据勾股定理可得$CD=\sqrt{AC^{2}AD^{2}}=\sqrt{(13x)^{2}(12x)^{2}}=\sqrt{169x^{2}144x^{2}}=\sqrt{25x^{2}}=5x$因为$BC=BD+CD$，且$AC=BD=13x$，$BC=12$，所以$13x+5x=12$，即$18x=12$，解得$x=\frac{2}{3}$。所以$AD=12x=12\times\frac{2}{3}=8$。4.如图，在一笔直的海岸线$l$上有$A$、$B$两个观测站，$AB=2km$，从$A$测得船$C$在北偏东$45^{\circ}$的方向，从$B$测得船$C$在北偏东$22.5^{\circ}$的方向，求船$C$离海岸线$l$的距离。答案：过点$C$作$CD\perpl$于点$D$，设$CD=xkm$。在$Rt\triangleACD$中，$\angleCAD=45^{\circ}$，所以$AD=CD=xkm$。在$Rt\triangleBCD$中，$\angleCBD=22.5^{\circ}$，$\tan\angleCBD=\frac{CD}{BD}$，因为$\tan22.5^{\circ}=\sqrt{2}1$，$BD=AB+AD=(2+x)km$，所以$\sqrt{2}1=\frac{x}{2+x}$。$(\sqrt{2}1)(2+x)=x$$2\sqrt{2}+(\sqrt{2}1)xx=0$$2\sqrt{2}+(\sqrt{2}2)x=0$$(\sqrt{2}2)x=2\sqrt{2}$$x=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}2}=\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}2)(\sqrt{2}+2)}=\frac{44\sqrt{2}}{24}=\frac{44\sqrt{2}}{2}=2+2\sqrt{2}$所以船$C$离海岸线$l$的距离为$(2+2\sqrt{2})km$。5.如图，在$\triangleABC$中，$\angleB=45^{\circ}$，$\angleC=30^{\circ}$，$AB=\sqrt{2}$，求$BC$的长。答案：过点$A$作$AD\perpBC$于点$D$。在$Rt\triangleABD$中，$\angleB=45^{\circ}$，$\angleADB=90^{\circ}$，$AB=\sqrt{2}$。因为$\sinB=\frac{AD}{AB}$，所以$AD=AB\sinB=\sqrt{2}\sin45^{\circ}=\sqrt{2}\times\frac{\sq