第1章 勾股定理期末复习（知识清单）（原卷版）-北师大版(2024)八上

第一章勾股定理一、勾股定理直角三角形.如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.二、勾股定理证明：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.（2）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.（3）：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.三、勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，，那么这个三角形是.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定.（2）验证与是否具有相等关系.，则△ABC是；若，则△ABC.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.四、勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的，称为.勾股数满足两个条件：①②五、平面展开图-最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将，利用，构造，利用、易错点1利用勾股定理求线段的多解问题1．在中，，点是直线上一点，，，连接，则线段的长为．2．如图，在中，，点P为射线上一点，将沿所在直线翻折，点C的对应点为点，如果点在射线上，那么．3．已知中，，，边上的高，求边的长．易错点2利用勾股定理求折叠的多解问题4．如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为．5．如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为．6．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为．易错点3利用勾股定理求路径最短问题7．2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为米．8．如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是．9．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从盒外的点D沿正方体的盒壁爬到盒内的点M（盒壁的厚度不计），蚂蚁爬行的最短距离是．易错点4利用等面积法验证勾股定理问题10．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题：(1)试说明：(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值．11．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：．【深入思考】如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．（1）求证：，；（2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；【实际应用】（3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．12．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种表示方法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到结论．这里用两种方法表示同一个量从而得到等式或方程，我们称之为“双求法”．【方法运用】把两个全等的和按如图②所示的方式放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．请用该图形证明勾股定理．【方法迁移】如图③，将长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端和，然后把中点竖直方向拉升至点，则橡皮筋被拉长了多少？易错点5勾股定理与勾股定理逆定理的综合问题13．为提升小区绿化率，现将如图所示的四边形区域进行改建，将四边形全部铺上草坪，草坪每平方米200元．经测量，，，，，．(1)求两点间的距离；(2)求铺设草坪的费用．14．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同．(1)求B，N之间的距离；(2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确．15．综合与实践：在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知识，并对购物车的支架等进行测量，如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行．请按要求完成下列任务：(1)判断支架与的位置关系，并说明理由；(2)如图2，作图提示：过点作交的延长线于，延长交于，请按作图提示添加辅助线，若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到1cm，，）一、单选题1．下列说法正确的是（

）A．若，，是的三边，则．B．若，，是的三边，则．C．若，，是的三边，，则．D．若三条线段长，，满足，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．2．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（

）A． B． C． D．3．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题4．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为．5．如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是．6．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为．三、解答题7．如图，在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线所在直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．∵四边形为矩形，，∴四边形为矩形，∴，，∵四边形为矩形，，∴四边形为矩形，∴，，8．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离，．(1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长；(2)求证：．9．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动实践基地．(1)当班主任测量出八（1）班实践基地的三边长分别为，，时，二边的小明很快给出这块实践基地的面积．你求出的面积为_____．(2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，，如图，你能帮助他们求出面积吗?10．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理．思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方