东北精准教学联盟2025年12学高三联考考后强化卷数学试卷

202512月高三联考强化卷数学150120分钟一、8540分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 B.2-C. D.1-在生物界中,部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上的速度v位:米/秒)与跳跃高度H(单位:米)满足v2=4H,则该类昆虫的最大跳跃高度 1-A.0.25 B.0.5 C.0.75 设p:x≥a,q:x2+3x-10>0,且p是q成立的充分不必要条件,则a的取值范围 B.(2,+∞C.[2,+∞ D.O1O231,如图,O2O1O1的边缘滚动,ABO2OA·OB B. C. D.若正四棱台上、下底面的面积分别为1,16,高为2,则此四棱台的体积与表面积的数值之比

已知等比数列a111

1,Sn项和,

A.

B.

C.

D.已知点A(-1,1),B(3,3),线段AB为☉M的一条直径.设过点C(2,-1)且与☉M相切的两条直线的斜率分别为k1,k2,则k1+k2= -

-

已知正实数a,b满足aea-2=e2025和b(lnb-2)=e2029,则ab的值 e2 B.e2C.e2 D.e2二、3618分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.60分已知函数fx=sin(2x+φ|φ|<π的部分图象如图所示,将函数fx横坐标变为原来的1,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则以下说法正确的有( φ=fxx5πg(x)=sin4x-π已知向量a=(2,4),b=m,1,c=(3,3),则下列说法正确的 m1,则a-ca∥b,m=ac|b-c|已知函数f(x)=1x2+4x-(4x+1)lnx,则下列结论中正确的 fxfxfx有三个极值点,a,b,c,a,b,cfx有三个极值点,a,b,c,a,b,c三、3515分已知sinα+5π=1,则cosα+π= 一个底面边长为2,高为3的正四棱柱容器(容器的厚度忽略不计,容器是封闭的)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为 .已知函数f(x)=x3-3x+sinπx+φ,若∃φ∈R使得对∀x∈[-3,3],都有f(x)≤a,则a的最小值 四、577分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(13分在△ABC中,A,B,Ca,b,c,asinC=3ccosDBC上,AD平分∠BAC,a4,AD22,求△ABC的周长(15分已知数列an1,nSn,3nan+1-6Snnn+1n+2求数列an的通项公式证明111+…1a1a2 (15分如图,P-ABCD中,PA⊥证明:平面PBC⊥平面BC2,CD3,PAAB4,AD=3P,A,B,C在同一个球面上,DOPBC所成角的正弦值HλD,N(17分如图,ABCD中,ABBDCD1,ECD上一点,ADAE,BE(1若∠BCD75°,求(2记∠ADBα,∠BDCβ,∠BCDi证明:1-4cos2γ4cosαcosα+β);ii2α+β的值.(17分fxlnax+1+ax-1),a1时,yx+byfx的一条切线,b的值fx的单调性若集合x|fx1,x∈Z中有且仅有一个元素,a的取值范围202512月高三联考强化卷数学B【深度解析设复数zabia,b∈R),z2zabi2a

1=14,a=1,∴1+1+

=q+1+1·1=14,∴2q+a=

a2q bi=3a-bi6+i,

b=-

z2-i.

272),2q25q+20,q2A【深度解析】函数关系式v2

的左右两边都出现了

q1q2时,a1,a1,a1;q1时,a1,aHvHv2

可知v2

Hv44H,v>0,1-Hv2≠0,H

v4+4

1

=1

,a3

,∴S3

.2

D【深度解析】由题可得,A-1,1),B3,3),AB为☉M直径,M-1+3,1+3,M(1,2),r1|AB|当且仅当v=v2,即v=2时,等号成立,所以该类昆虫的最大跳 0.25米.B【深度解析x23x100x5x2.A件,得A⫋B关键:根据充分不必要条件的定义将不等式解集和区间的关系转化为两集合间的关系),所以a2,所以a的取值范围是2,+.B.B【深度解析】O1O2的半径分别为r13,r21,

-1-32+1-32=5画图可知两条切线的斜率均存在,切线方程为y1kx2即kxy12k0由相切可得|-k-1-2|r=52k23k2 k+k3. OBOA1 1 O+B)OA)OA)O1

1

1

1 3.B深度解析由题意知该正四棱台的上、下底面分别是1,42,则上、下底面正方形的对角线长度分别为242该棱台的

A【深度解析】aea-2=e2025,两边同时取自然对数,得lnaea-2=lne2025,lna+lnea-2lne2025→lnaa2027.blnb2=V1×1+1×1616214V

e2

,两边同时取自然对数得lnblnb2ln

2

lnbS11×S2 S2hSSS1

. 4242-

x,x>0,fx在0,+上单调递增,fx2027 一解,alnb-2,ablnb-2be2029.BCA,由题图可知27πφ2kπ,k∈Z-4-22,

5

x

7π是函数fx)图象的上升零点,因此2键是解出斜高),所以该棱台的表面积S11641×14

7π+φkπ,k∈Z不准确,φ7π2kπ,k∈Z.又|φ|542,V1.

φπ,A A【深度解析】设等比数列a的公比为qq≠0),∵

+1

πk∈Z),xkπ

5πk∈Z),k0时,x

e3),f′af′c=0提示:已知函数的二阶导数,利用该x5π对称,B

函数形式较为复杂,所以可以利用卡根法确定其零点所在的区间),x0,a1,c时,f′x0,xa,1c,+时对于C,fx图象上所有点的横坐标变为原来的1,

f′x0,fx在0,a1,c上单调递减,在不变,ysin4x

的图象

c,+上单调递增,故fx有四个单调区间,且存在最小值,最小值为minfa),fc)},A,B正确.ysinxπ,从而误认为C错误,C 2π

CD由AB分析知fx存在三个极值点a1c因为f11x4lnxfx)fx对于D,gx

T

=2, 间[2025π,2026π]的长度为π,即2个周期,则由正弦型函数 f′1=-f′(x),又f′(a)=-f′(c)=0,所以a=1,即ac= gx在2025π,2026π上不单调,故D错误.故选ACD【深度解析】A,m1,a-c1,1),b

a,1,c成等比数列,C错误,D正确.12.

α+π=

α+π+π则a-c)·b1×1+1×10,所以a-cb,A正确B,a∥b,则2-4m0,m±2,B错误

sinα+5π=1

7-7-Cac上的投影向量为

|c

·c

32

cc

【深度解析】设两铁球半径为r,球心分别为O1,O2.正确D,b-cm-3,1-3,

要使半径最大,则两个铁球需与容器的表面相切,且两个铁球也相切.(m-3)(m-3)-

分别看作一个新的长方体的体对角线的两个所以|b-c|

顶点,新长方体的底面是边长为2-2r的正方形,高为3-7± 所以2r22-2r2+2-2r2+3-2r2,8r2-28r+177± 2-r ,又因为新长方体需要满 即r<1,所以r -6m+1+16tm+1m0.m0时由基本不等式有tm+1

3- 7-15.所以铁球半径的最大值为7-15

2,m1时取等号;m0时,tm+m

解法二:如图,作出截面DBBD,BD1 1-m·----m+-m·--

2,m1时取等号,

线,BB1为高,O2BD的直线,|b-c| t2-6t+16 t-32+7t≥2t≤2),所以当t时|b-c|有最小值7D正确.

O1BD的直线,两直线相交于O1O2RtO1MO2中MO122ABD【深度解析A,B,由题可得,fx的定义域为 10,+),fxx44lnx4x+1x4lnx-1. 1

2

32rMO2MO2OO2可得22-22r2 7± x2-7±

3-2r22r2,8r2-28r+170,r

,4lnx-xx>0),g′x

,g′x0,x

22-223-

r1,r

7-7-x2+3.x0,2-3时,g′x0,gx单调递增;2-32+3时,g′x0,gx单调递减;x2+3+3时,g′x0,gx单调递增,所以函数f′x在0,2-3233+上单调递增,在2-32+3上单调递减.f′1

为为7-151【深度解析】fxx33x+sinπx+φ,其单调性0,f′10,f′e0,所以存在a3,2-3,c2+3

gxx3-3xy

x+φ,分别分析 其单调性及最值的取得情况,再综合看整体的单调性及最值

n1时,3a2-6S13a2-6a11×2×3a113a2-66,a2gxx3-3xx-33g′x3x2-33x-1

此时a2

a11,

an+1

an1S-

ax-3-11,3时,g′x0,gx单调递增;

n- x-1,1时,g′x0,gx单调递减.g-1132,g(3(33-330,gxx3-3xx-33

an+1,Snan,an+1ann=1的情况), 6nn ∴数 是 =1为首项,1为公差的等差数列的最大值为2,所以∃φ∈R,当x∈[-3,3]时,使 x φ的最小值为-1,x-33时,∃φ∈R,f

∴n1+n-1)·1n,ann2

81,a≥1,a

(2)【证明】1π6分)24+267分

n1时1

9【解】1tanA

当n≥2时,1=1

=1-1

12 n2n(n-

n- =

2

sinC>0,tanA=3

4

+…

=1+2+2+…+2≤1+1- + n- n-

6

1-1+…+1-1=1+1-1=2-1

………15 17.1证明见解析4分)2i32316分)ii45分 (2)第一步:由 = 得3bc=22(

1)【证明】第一步:由线面垂直的性质证

=

+S△ADC

PA⊥ABCD,BC⊂ABCD,

……11bcsin∠BAC1c·AD·sin∠BAD+1

第二步:利用线面垂直的判定定理证BC⊥平面又BC⊥AC,AC,PA⊂平面PAC,AC∩PA= 22 82

所以BC⊥平面 3a2b+c2-

又BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面

4由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=b2+c2-bc=(b+c)2- 10第三步:两个式子联立求出b+c由①Ⓒ3b+c2-26b+c-48解得b+c=26或b+c=-46(舍去 12第四步:求出△ABC所以a+b+c=4+26,即△ABC的周长为4+26 131ann28分2证明见解析7分【解】anSnanan+1∵3nan+1-6Sn=n(n+1)(n≥2时,3n-1an-6Sn-1n-1n①-Ⓒ,得nan+1-(n+1)an=n( 2

【解】i第一步:建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标与在四边形ABCD中因为AB∥DCBCAC,BC2,CD3AB4AD=3所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系 5BC⊥PACPC⊂PACBCPC所以△PBC与△PBA均为直角三角形,又P,A,B,C在同一球面上球心为O,所以O为PB的中点提示:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心), B4,0,0),C3,30),P0,0,4),D0,30),Onn+1),得n+1n1n≥2

4

6

O,2),B4),C第二步:判断nan

7第二步:求平面PBCPBCn

2i)【证明】解法一:第一步:由等腰三角形的性质求ABD中,ABBD

4x-4z=

C·n

-x+3y=

令x=1,得y= ,z=1,所以n=

在等腰三角形ADE中ADAE则DE2AD·cosαβ1,,1.

8

4cosαcos 717DO7

由1知,CE2BC·cos∠BCD4DC·cos2∠BCD4cos2 10DEDC-CE1-4cos2sinθ=|cosnO〉|

|n|·|O

1-4cos2γ4cosαcosα+β

113231 10

解法二:第一步:由余弦定理求出DEADAEx,BCBE→ x2+1-1NPC的中点,N3,3,2

在△ABD中,cosα边求角时选用余弦定理

方法:已知三 2 在△ADE中,由余弦定理可知cosα+

x2+DE2-

=

,所以O2,0,2),N2第二步:求向量

7第二步:由正弦定理求D4),AP

在△BCD中,β+2γHAP+λD0,0,4+λ03-403λ,41-λ 11

由正弦定理得

sin

=sin

y

sinsin

sin=sinγ

2sinγcossin 第三步:根据四点共面建立等量关系求λH,A,O,N四点共面,a,bHaO+bN

2cosγ方法:已知两角及一角所对边求另一边时选用正弦定理.(关键:根据四点共面建立向量间的关系),

12

在△BCE中由正弦定理得

yCEysinβ

λ,4(1-λ))=a(2,0,2)+b3,3,2

2cosγ·sin

sin2cosγ·2sinγcos

sin

sin2 sin

sin

102a3b,3b,2a+2b, 13

1-CE

所以1-4cos2γ=4cosαcos(α+β)成立 11 所以3λ

λ4

15

ii)【解】第一步:利用三角恒等变换公式求cos2α+βBCD中,2γ+β

-λ)

1-4cos2γ1-21+cos2γ12cos2γ12cosπ-β 1)3-14分2i证明见解析7分1)【解】第一步:由等腰三角形的性质求

6分

2cosα+β-α-14cosαcos在△BCD中因为BDCD1所以BC2DC·cos∠BCD

2cos∠BCD提示:等腰三角形三线合一性质的应用第二步:由等腰三角形的性质及二倍角公式求

……1

在△BCE中,BE

即cos(2α+β)=

15CE2BC·cos∠BCD4cos2∠BCD4cos2752(1+cos150°3(提示:二倍角公式的应用), 2所以DE=DC-CE=3- 4

第二步:结合三角形内角的范围求2α+β又在等腰三角形ABD和等腰三角形ADE中0απ0α所以0<2α+β<π(提醒:在根据三角函数值求角的大小时,一定 在(-∞,0)上单调递 9意要先求出角的范围),2α+β

17

综上当a0时fx

0,-1+1+4a上单调递减12-ln24分当a0时fx0,-1+1+4a

-1+1+4a,+∞上单调递增;当a<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减 10-1+1+4a,+上单调递增;a<0时,fx在-,0调递减6分

a<0时,a①a<0时,定义域为-,0(3)

-

-

∪

,17分

解法一fxlnax

ax1可知f1ln1a【解】1aa1时,fxlnx+1+x-1

a1-1=a<0时,由(2)可得f(x)在(-,0)上单调递减,若集合{x|fx=11

1

1,x∈Z}中有且仅有一个元素

第二步:根据切线方程判断切点并求

f(-1) fx

1-1+11时,x

1x1舍

…3

即

1

即则f1=ln1+2+1-1=3-ln 1

解得- 11可得切点1,3-ln2

解法二a<0时,由2可得,fx在-,0上单调递减,2代入切线方程得3-ln21+b,b2-ln

………4

f1ln1+a+a1-11,fx1有且仅有1 2

解,则该整数解必为-1,所以-2≤1<-1,解得-1<a≤-1 fxlnax+1+ax-fx

+a +a

11解法三a<0时,由2可得,fx在-,0上单调递减,fx11个整数解,则该整数解必为-afxa>0时,定义域为0,+),

f(-1)

ln(-a)-1-f′(x)

ax+x- ,二次函数yax2+x1的图象开口向上,ax+x-

f(-2)

-gxax2x10可得该方程在0上的解为x

ln(-a)-2a-ln-2a-3a3-1+-1+-1+0x

5时gx0f′x0fx

令-aφtln2t3t-3≥0,φt在0,+上单调递增-1+1+4a

φ10,t≥