2024年经济数学基础春线性代数部分期末复习指导

经济数学基础(08春)线性代数部分期末复习指引

线性代数部分

第二章，矩阵

考试要求：

⑴了解矩阵概念，了解矩阵可逆与逆矩阵概念，懂得矩阵可逆的条件，了

解矩阵秩的概念；

⑵纯熟掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几个运算的有

关性质；

⑶了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和

性质.

⑷了解矩阵初等行变换的概念，纯熟掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为

阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，纯熟掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆

矩阵.

重点：矩阵概念，矩阵可逆与逆矩阵概念，矩阵可逆的条件，矩阵秩的概念及求

法；矩阵的运算和矩阵的求逆，矩阵的初等行变演。

经典例题

一、单项选择题

1.设A为3x2矩阵，8为2x3矩阵，则下列运算中()能够进行.

A.ABB.AB1C.A+BD.

答案:A

2.设AB为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是()

A.(ABf=B.=BTAT

C.(74BT)-'=D.(A8T)T=AT(8，T

答案：B

3.设4,B为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是().

A.若人2=/,则必有>4=/或2=/B.(4B)T=AJBV

C.秩(A+3)=秩(A)+秩(3)D.

答案：D

4.设A,B均为〃阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是().

A.AB=BB.AB=BAC.AA=ID.A-1=/

答案D

5.设A是可逆矩阵，且A+A8=/,则4"=().

A.BB.1+BC.I+BD.(I-ABY'

答案C

6.设A=(l2),B=(-l3),/是单位矩阵，则—/=().

--13~|F-1-21「一2-21「一2

A.B.C.D.

「26」|_36J|_35J[-2

答案D

7.设下面矩阵A,8,C能进行乘法运算，那么()成立.

A.AB=AC,AwO,则B=CB.AB=AC,4可逆，WiJB=C

C.A可逆，则AB=84D.AB=O,则有A=0,或8=0

答案：B

二、填空题

1.两个矩阵既可相加又可相乘的充足必要条件

是.

答案：同阶矩阵

2.若矩阵A=[-12],B=[2-1],贝IJ/VB=______________

-21

答案

4-2

102

3.设A二03，当。时，A是对称矩阵.

23-1

答案：a=0

13

4.当〃-1可逆・

答案：aw-3

5.设A,3为两个已知矩阵，且/-8可逆，则方程A+BX=X的解X=

答案：(I-BY'A

6.设A为〃阶可逆矩阵，则r(A)=

答案：〃

2-12

7.若矩阵A=402，贝"A)=

0-33

答案：2

2,计算题

1

12-3

（1）设矩阵A=0-2,B-，计算（BA）。

0-12

20

12-3-5-3

解因为8A二0-2

0-1242

20

-5-310-1-111

(BA/)=

42014201

1101%

0-2450-2-%

0-1-3

（2）设矩阵A=-2-2-7/是3阶单位矩阵,求—

-3-4-8

解：由矩阵减法运算得

1000

I-A=010-2

001-3

利用初等行变换得

1310011300

23701001110

34900I01001

130010-2-33

->01110->010-301

00-1-100111-1

1001-32

00-30

00111

I-32

即(7-A)-1-301

11-1

1-I02

(3)设矩阵人=-121,8=-1求

2231

解：利用初等行变换得

1-10000100

-121010一011110

223001043-201

1-10I001-10100

->010010-5-31

00-6-400164

100-4-31

0I0-5-31

00164-1

-4-31

即A-1=-5-31

64-1

由矩阵乘法得

-4-3

A-'B=-3

64

第三章线性方程组

考试要求：

⑴了解线性方程组的有关概念，纯熟掌握用消元法求线性方程组的一般

解；

’⑵了解并纯熟掌握线性方程组的有解判定定理..

重点：线性方程组有解判定定理、线性方程组解的表示及求解

非齐次线性方程组AX=b的解的情况归纳如下:

AX=b有唯一解的充足必要条件是秩(彳)二秩(4)=n；

AX=b有无穷多解的充足必要条件是秋(J)=秩(A)v〃；

AX二人无解的充足必要条件是秩(不)。秩(A).

对应的齐次线性方程组4X=0的解的情况为：

AX=O只有零解的充足必要条件是秩(4)=小

AX=O有非零解的充足必要条件是秩⑷(人

经典例题：

一、单项选择题

-1；

1.若线性方程组的增广矩阵为彳=，则当2=()时线性方

214

程组有无穷多解.

A.1B.-1C.2D.-

2

(答案D)

2.若非齐次线性方程组A,”x〃X=〃的(),那么该方程组无解.

A.秩(A)=nB.秩(A)=〃?C.秩(4)*秩(1)

D.秩(A)=秩(不)

(答案C)

3.线性方程组解的情况是().

X1+x2=0

A.无解B.只有。解C.有唯一解D.有无

穷多解

答案A

4.线性方程组4X=0只有零解，则AX=6Sw())().

A.有唯一解B.也许无解C.有无穷多解D.无解

答案B

5.设线性方程组AX=b中,若*A,b)=4,r(A)=3,则该线性方程组().

A.有唯一解B.无解C.有非零解D.有无穷多解

答案B

6.设线性方程组AX=Z?有唯一解，则对应的齐次方程组AX=O().

A.无解B.有非零解C.只有零解D.解不

能确定

答案C

二、填空题

1.若"A")=4,@)=3,则线性方程组AX=/?

答案：无解

2.若线性方程组,*一3二°有非零解，则见=______

X}4-Ax2-0

答案：A=-l

3.设齐次线性方程组4心〃XM=O,且秩(A)=Y〃，则其一般解中的自由

未知量的个数等于____________________

答案：n-r

1-123

4.齐次线性方程组AX=O的系数矩阵为A=010-2则此方程组的

0000

——般解为.

5.线性方程组4V=匕的增广矩阵彳化成阶梯形矩阵后为

12010

A->042-11

0000d+\

则当4时，方程组AX=〃有无穷多解.

答案：d=-1

三.计算题

1.求解线性方程组的一般解

X]-3K2+2X3+x4=0

«—“A+2x2—1?+2X4=0

M-2X2+3尤3-2X4=0

解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形

1-3211-321-1-32r"1-301

2-12T0-113->0-113-»010

1-23-2011-3_00200010

100-8

T0I0一3

0010

一般解为

M=8匕

＜工2=3%(匕是自由未知量)

x3=0

2.求当4取何值时，线性方程组

X|+X-,-z——2

2Xj+々+7当+3X4=6

9X]+lx2+4X3+X4=2+1

有解，在有解的情况下求方程组的一般解.

解将方程组的增广矩阵化为阶梯形

-11-2-1-2--11-2-1-2-11-2-1-2-

21736->0-111510->0-111510

97412+10-22210A+190