2025版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布1171随机变量的均值与方差练习苏教版

11…随机变量的均值与方差

基础考点

♦考点一,离散型随机变量的均值与方差的计算问题自主练透

-----o题组练透O-----

1.已知随机变量€的分布列为：

g1-42

1

pXy

6

2

若E(&)=Q,则D(g);()

71824171

从A-1--8-DR.—27Jc—9n—27

2.(2024•太原模拟)已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球胜利，则停止发

球,否则始终发到3次结束为止.某考生一次发球胜利的概率为p(0<p<l),发球次数为X,若X

的数学期望E(X)>1.75,则?的取值范围为()

3.已知随机变量€的分布列为:

g-102

PXyz

1

若E(&)=5D(0=1,则X,y,z的值分别为

1

【解析】1.选C.因为x+%+y=l,

5

所以x+y=q,

12

因为E(&)=x+(-4)X-+2y=^,

4

所以x+2y--

11

所以x=§,y=2,

2

所以D(g)=(l-312'141

X+2-3Xr-----

/Q|)629,

2.选A.由题可知P(X=l)=p,P(X=2)=(l-p)P>

P(X=3)=(1-p)2p+(1-P)-(1-P)2,

则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(l-p)2>1,75,

51

解得p的或p%

由昨（0,1）可得p1°，2）.

3.由分布列的性质得x+y+2=l,

由期望的定义得E（S）=-X+2Z=Q,

2

由方差的定义得D（f）=（—1x+I

0-Iz=l,整理得

16x+y+25z=9,

41113

解得x=27,y=18,z亏T

41113

分空.------

口盖27'18'54

］规律方法

（1）求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的全部可能值,写出随机变量的分布

列，正确运用均值、方差公式进行计算.

(2)留意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用.

,重占考占

，考点二…二项分布、一正态分布的均值与方差.师堂共薪

【典例】1.（2024•全国卷H）一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有

放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数，则D（X）=

【解析】因为X〜B(100,0.02),所以D(X)=np(l-p)=100X0.02X0.98=1.96.

答案：L96

2.某城市市民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,

超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的

用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.

(I)求a,b,c的值及居民月用水量在2〜2.5内的频数.

⑵依据此次调查,为使80与以上居民月用水价格为4元/立方米,应将w定为多少？(精确到小数

点后2位)

(3)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的月用水量,将月用水量不超过2.5立方米

的人数记为X,求其分布列及均值.

【解题导思】

序号联想解题

(1)由直方图联想到全部的矩形面积之和为1

(2)“使80%以上”联想到面积等于0.8的边界

(3)“人数记为X”联想到二项分布

【解析】(1)因为前四组频数成等差数列,

频率

所以所对应的药面也成等差数列,

设a=0.2+d,b=0.2+2d,c=0.2+3d,

所以0.5X(0.2+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d

+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,

解得d=0.1,所以a=0.3,b=0.4,c=0.5.

居民月用水量在2〜2.5内的频率为0.5X0.5=0.25,

居民月用水量在2〜2.5内的频数为0.25X100=25.

(2)由题图及(1)可知,居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0,8,

所以为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米.

0.1

应规定w=2.5+7—77XO.572.83.

U.15

(3)将频率视为概率，设A(单位:立方米)代表居民月用水量，可知P(AW2.5)=0.7,由题意,X〜

B(3,0.7),

p(x=o)=C§

XO.3=0.027,

XO.32X0.7=0.189,

P(X=2)=C专xo.3X0.7=0.441,

P(X=3)=C3X0.7=0.343.所以X的分布列为

X0123

P0.0270.1890.4410.343

所以E(X)=np=2.1.

、规律方法

与二项分布有关的期望、方差的求法

(D求随机变量，的期望与方差时，可首先分析€是否听从二项分布，假如，〜B(n,p)：则用

公式求解,可大大削减计算量.

(2)有些随机变量虽不听从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量听从二项分布，这

时，可以综合应用公式求出E(a&+b).

］变式训练

若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时,就说这次试验胜利,则在3次试验中至少有

1次胜利的概率是()

12580665100

A-729B,243C,729D*243

(1\(1\45

【解析】选C.一次试验中,至少有5点或6点出现的概率为xh--^=l--=-设X为

3次试验中胜利的次数,所以X〜B(3,京，故所求概率P(X2

1)=1-P(X=O)=1-^X(^X(^=^|.

,多变考点’

.考点.三…离散型随机变量的均值、.方差的实际问题多维探藐

命考什么：考查实际背景下求离散型随机变量的分布列、均值、方差

题怎么考：(1)干脆求分布列、均值、方差

精(2)通过均值、方差，作出决策

解新趋势:与统计、函数、不等式等学问交汇考查考生发觉问题、提出问题、分析问题、

读解决问题的实力

1.实际背景下离散型随机变量的分布列、均值、方差的问题的步骤

(1)阅读题目，读取信息,翻译成数学语言描述的数学问题

学

(2)设出随机变量,求出各个变量取值对应的概率,写出分布列，依据均值、方差定义求出

霸

均值、方差

好

(3)依据均值、方差的统计意义作出决策

方

2.交汇问题

法

依据离散型随机变量的分布列、均值、方差的性质及意义，结合统计、函数、不等式等

学问，解决实际问题

命题角度13实际问题中求均值、方差

【典例】小明早上从家里动身到学校上课，如图所示,有两条路途可走,且走哪条路途的可能性

1

是相同的，图中A、B、C、D处都有红绿灯，小明在每个红绿灯处遇到红灯的概率都是％且各个

红绿灯处遇到红灯的事务是相互独立的，每次遇到红灯都需等候1()秒.

(1)求小明没有遇到红灯的概率.

(2)记小明等候的总时间为Q求，的分布列并求数学期望E(g).

1(1\31/1\210

【解析】⑴记“小明没有遇到红灯”为事务A,则P(A)/X(1-3)+2XU_3)=27

(2)由题可知:g=0,10,20,3(),

P(4=0)=崇(4=10)=1或(1-3+土£(1-1)4

P(€=20)

3

3

PG=30)

所以;的分布列:

0102030

10411

P

279654

1041125

所以E(s)=0X—+10X-+20X7+30X

2796543

命题角度23实际问题中应用均值、方差作决策

【典例】现有两种投资方案，一年后投资盈亏的状况如下:

一、投资股市:

投资结果获利40%不赔不赚亏损20%

113

概率

288

二、购买基金:

投资结果获利20%不赔不赚亏损10%

1

概率PM

3

1

⑴当p=a时，求q的值.

(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,假如一年后他们中至

4

少有一人获利的概率大于F，求P的取值范围.

(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资,确定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中

11

选择一种，已知q=%，那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较大?

给出结果并说明理由.

【解析】⑴因为“购买基金”后,投资结果只有“获利20犷“不赔不赚”“亏损10V三种,

1

且三种投资结果相互独立,所以p+Q+q=l.

15

又因为p=Z，所以4=石.

1,JL4

(2)记事务A为“甲投资股市且盈利”，事务B为“乙购买基金且盈利”，事务C为“一年后甲、

乙两人中至少有一人投资获利”，

则C=ABUi4BUAB,且A,B相互独立.

1

由题干中表格可知,P(A)=5P(B)=p.

所以P(C)=P(A8)+P(4B)+P(AB)

11111

=2X(1-P)+2xP+2xp=2+?,

1143

因为P(C)=5+5P>E，所以p>z.

12

又因为p+Q+q=l,q20,所以pWQ,

32

所以

OJ

(3)假设内选择“投资股市”方案进行投资，且记X为内投资股市的获利金额(单位：万兀)，

所以随机变量X的分布列为：

X40-2

113

P

288

1135

贝ijE(X)=4X-+0X-+(-2)>：石=7

Zoo4

假设丙选择“购买基金”方案进行投资，旦记丫为丙购买基金的获利金额(单位:万元),

所以随机变量丫的分布列为：

Y20-1

111

P

236

1115

则E(Y)=2X-+0X-+(-l)XT=-

乙OUU

因为E(X)>E(Y),所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大

——O题组通关O——

'变式巩固•栋

1.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比20年前此界变得更绿色了.

卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植

树造林，下表是中国十个地区在某年植树造林的相关数据.(造林总面积为人工造林、飞播造

林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和)单位:公顷

造林方式

造林人工£播新封山退化林人工

地区

总面积造林造林育林修复更新

内蒙古61848431105274094136006903826950

河北58336134562533333135107656533643

河南14900297647134292241715376133

重庆2263331006006240063333

陕西297642184108336026386516067

甘肃325580260144574387998

新疆2639031181056264126647107962091

青海178414160511597342629

宁夏91531589602293882981335

北京1906410012400039991053

(1)请依据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面双与造林总面积的比值最大和最小

的地区.

(2)在这十个地区中，任选一个地区,求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概

率是多少？

⑶在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中,任选两个地区，记X为这两个

地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数,求X的分布列及数学期望.

【解析】(1)人工造林面积与总面积比值最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比值最

小的地区为青海省.

(2)设“在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过50%”为事

务A,在十个地区中，有7个地区(内蒙古、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京)人工造林面

7

积占总面积比值超过50%,则P(A)二正.

(3)新封山育林面积超过五万公顷的有7个地区：内蒙古、河北、重庆、陕西、甘肃、新疆、

青海,其中退化林修亚面积超过六万公顷的有3个地区：内蒙古、河北、重庆，

鬣2

C\C\4Cl1

P(X=l)-=y»P(X=2)二弓；.

所以随机变量X的分布列为

X012

241

p--—

777

2416

期望为E(X)=OX,+1X^+2X^7.

2.某次飞镖竞赛中，规定每人最多放射3镖.在M处每射中•镖得3分，在N处每射中•镇得2

分,假如前两次得分之和超过3分即停止放射;否则放射第三镖.某选手在M处的命中率q1为

0.25,在N处的命中率为q21该选手选择先在M处放射第一镖，以后都在N处放射.用X表示该

选手竞赛结束后所得的总分,其分布列为：

X02345

P0.03P.P2P3P.

(1)求随机变量X的数学期望E(X).

(2)试比较该选手选择上述方式放射飞镖得分超过3分与选择都在N处放射飞镖得分超过3分

的概率的大小.

【解析】(1)设“该选手在M处射中”为事务A,“在N处射中”为事务B,则事务A,B相互独

立,且P(A)=O.25,P(7l)=0.75,P(B)=q2,P(F)=l-q2.依据分布列知：当X=0

时，P(ABB)=P(X)P(S)P(B)=0.75(1一勺2)2=().03,所以1-2=().2,q2=0.8.

当x=2时，P1=P(/BB+ABB)=P(ABB)+P(ABB)

=P(/)P(B)P(8)+P(/)P(B)P(B)

=0.75q?(l_q2)x2=0.24,当X=3时,P尸P(ABB)

=P(A)P——(B)P——(B)=O25/(41-C|2\)2=0.01,

当X=4时，P3=P(ABB)=P(4)P(B)P(B)=0.75q『=o.48,

当X=5时，P)=P(ABB+AB)=P(ABB)+P(AB)

=P(A)P(S)P⑻+P(A)P(B)=0.25(l-q2)q2+0.25q2=0.24,所以随机变量X的分布列为：

X02345

P0.030.240.010.480.24

所以随机变量X的数学期望E(X)=0X0.03+2X0.24+3X0.01+4X0.48+5X0.24=3.63.

(2)该选手选择上述方式放射飞镖得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

该选手选择都在N处放射飞镖得分超过3分的概率为

P(BBB+BFB+BB)=P(SBB)+P(BFB)+P(BB)=2(1-q2)Q21Q2=0.896.所以该选手选择都在N处

放射匕镖得分超过3