2025年概率论与统计学核心要点综合解析

概率记录知识点汇总

1.分类加法计数原理

完毕一件事有〃类不一样的方案，在第一类方案中有叫种不一样的措施，在第二类方案中

有牝种不一样的措施，……，在第〃类方案中有如，种不一样的措施，则完毕这件事情，共

有N=mi+m2H------Fm。种不一样的措施.

2.分步乘法计数原理

完毕一件事情需要提成〃个不一样的环节，完毕第一步有如种不一样的措施，完毕第二步

有牝种不一样的措施，……，完毕第〃步有〃，〃种不一样的措施，那么完毕这件事情共有N

=miXm2X・・・Xm0种不一样的措施.

3.两个原理的区别

分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都波及完毕一件事情的不一样措施的种数.它们的

区别在于：分类加法计数原理与分类有关，多种措施互相独立，用其中的任一种措施都可以

完毕这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个环节互相依存，只有各个环节都完毕了，

这件事才算完毕.

4.排列与排列数公式

⑴排列与排列数

⑵排列数公式

n!

2)・・・(。-巾+1)=(。_附！・

⑶排列数的性质

①A；f!；②0!=1.

5.组合与组合数公式

(1)组合与组合数

⑵组合数公式

f„_Ay__〃！

。"一4股_ml一〃？！(〃一")!・

(3)组合数的性质

①C2=i；②C片CL；③cr+c;「=c^i.

6.排列与组合问题的识别措施

识别措施

若互换某两个元素的位置对成果产生影响，则是排列

排列

问题，即排列问题与选用元素次序有关

若互换某两个元素的位置对成果没有影响，则是组合

组合

问题，即组合问题与选用元素次序无关

7.二项式定理

⑴定理：

(。+㈤〃=C%〃+力+…++…+C"(〃£N*).

(2)通项:

nkk

第士+1项为：Tk+i=C^,a~b.

(3)二项式系数：

二项展开式中各项的二项式系数为：CJ(A:=O,1,2,…，〃).

8.二项式系数的性质

对称性一与首末等距的两个二项式系数相等，即

/当时,二项式系数是递增的

性增减性H当噂时，二项式系数是递减的

乙___________________________________________

与最大值

质r当几为偶数时,的二项式系数最大

当几为奇数时,的二项式系数相等且最大

\：；・・：

二项式一C?+C+…+C+.+C=2”

系数的和

kcj+«+«+.•­=C1+C升C*…=22

9.概率与频率

(1)在相似的条件5下反复〃次试验，观测某一事件A与否出现，称〃次试验中事件A出现

的次数〃八为事件A出现的频数，称事件A出现的比例加A)=会为事件A出现的频率.

⑵对于给定的随机事件4在相似条件下，伴随试验次数的增长，事件A发生的频率会在某

个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的也许性大小，并

把这个常数称为随机事件4的概率，记作？8).

10.事件的关系与运算

定义符号表达

包括假如事件A发生，则事件5一定发生，这时称事件

关系B包括事件A(或称事件A包括于事件B)(或AU8)

相等

若834且A3比那么称事件4与事件8相等A=B

关系

并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件R发生，AUB

(和事件)则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)(或A+B)

交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，

(积事件)则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)(或AB)

互斥

若AAB为不也许事件，则称事件A与事件B互斥AC\B=0

事件

AC\B=0；

对立若AflB为不也许事件，AUB为必然事件，那么称

P(AUB)=P(A)+P(B)

事件事件A与事件B互为对立事件

=1

11.理解事件中常见词语的含义：

(DA,中至少有一种发生的事件为AUB；

(2)4,3都发生的事件为,4B；

(3)4,3都不发生的事件为彳石；

(4)A,6恰有一种发生的事件为A后uNb；

(5)A,8至多一种发生的事件为彳5.

12.概率的几种基本性质

(1)概率的取值范围：0WR伊)W1.

⑵必然事件的概率：P(E)=L

(3)不也许事件的概率：P(F)=0.

(4)概率的加法公式：假如事件A与事件8互斥，则P(AU3)=P(M+尸(Q.

⑸对立事件的概率

若事件A与事件8互为对立事件，则P(A)=1-P(8).

13.互斥事件与对立事件的区别与联络

互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不也许同步发生的两个事件，而对立

事件除规定这两个事件不一样步发生外，还规定两者之一必须有一种发生，因此，对立事件

是互斥事件的特殊状况，而互斥事件未必是对立事件.

14.基本领件的特点

⑴任意两个基本领件是互斥的.

⑵任何事件(除不也许事件)都可以表到达基本领件的和.

15.古典概型

(1)定义：具有如下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

①试验中所有也许出现的基本领件只有有限个.

②每个基本领件出现的也许性相等.

力包括的基本领件的个数

(2)古典概型的概率公式：P(A)=

基本领件的总数

16.几何概型

(1)定义：假如每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称

这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

构成事件A的区域长度(面积或体积)

(2)几何概型的概率公式：P(A)=

试验的所构成的区域长度(面积或体积).

17.条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件A和3,在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概

率，用符号P(8|A)来表达，其公式为嘤.

⑵条件概率具有的性质：

①OWP(5|A)W1；

②假如8和。是两个互斥事件，则P(SUa4)=P(B|A)+P(C|A).

18.互相独立事件

(1)对于事件A、B，若A的发生与8的发生互不影响，则称从8是互相独立事件.

(2)若4与“互相独立，则尸1|A)=P(B),

P(AB)=P(B\A)P(A)=P(A\P(B).

(3)若A与B互相独立，则A与W,工与兄不与下也都互相独立.

(4)若P(AB)=P(A)P(B)t则4与B互相独立.

19.离散型随机变量

伴随试验成果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X,匕6,小…表达.所有取值

可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.

20.离散型随机变量的分布列及其性质

(1)一般地，若离散型随机变量X也许取的不一样值为X|,X2，…，Xi，…，X”，X取每一种

值即(i=l,2，…，〃)的概率P(X=M)=P〃则表

XX\X2•••Xi•••X„

PPiPl•••Pi•••P"

称为离散型随机变量X的概率分布列.

(2)离散型随机变量的分布列的性质:

①p,20(，=1,2,…，n)；②？p,=l.

I-I

21.常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布：

若随机变量X服从两点分布，则其分布列为

X()1

ri-pp

其中P=P(X=I)称为成功概率.

(2)超几何分布

在具有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有牙件次品，则事件{X=A}发生的概率

为P(X=k)=—Z7,A=0,l,2,…，in,其中m=m\n{M,n}且nWN,M&N,n,M,

LNt

NGN,称分布列为超几何分布列.

X01•••m

pc-CW•••

csC-C短c%

(3)二项分布

①独立反复试验是指在相似条件下可反复进行的，各次之间互相独立的一种试验，在这种试

验中每一次试验只有两种成果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都

是同样的.

②在〃次独立反复试验中，用X表达事件A发生的次数，设每次试验中事件4发生的概率为

p,贝IJP(X=A)=C£pk(l-p)"［伙=0,1,2,…，n),此时称随机变量X服从二项分布，记为

X〜8(〃，p),并称〃为成功概率.

22.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

♦♦・♦♦♦

XX\X2XiXn

••••••

pPiP2PiP“

vl＞均值：称万(X)=xipi+xm+……+x〃P”为随机变量X的均值或数学期望，它反

应了离散型随机变量取值的平均水平.

＜2＞方差：称&(X)=£8—E(X))2p,为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值

£(X)的平均偏离程度，其算术平方根4函为随机变量X的原则差.

＜3＞均值与方差的性质

(1)E(GX+A)=

(小力为常数).

(2)D(aX+/>)=

<4>两点分布与二项分布的均值、方差

XX服从两点分布X〜p)

£(X)p(p为成功概率)叩

D(X)P(l—P)np(\-p)

23.正态曲线的特点

⑴曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

⑵曲线是单峰的，它有关直线对称；

(3)曲线在x=fi处到达峰值最菽；

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

⑸当。一定期，曲线伴随〃的变化而沿x轴平移；

⑹当〃一定期，曲线的形状由。确定.。越小，曲线越“瘦高”，表达总体的分布越集中；

。越大，曲线越“矮胖”，表达总体的分布越分散.

⑺止态分布的三个常用数据(不需记忆)

①P(p-(T<X^i+ff)=0.6826；

②-2a<+2(r)=0.9544；

③尸(〃一3oVX近〃+3。)=0.9974.

24.简朴随机抽样

⑴定义：一般地，设一种总体具有N个个体，从中逐一不放回地抽取〃个个体作为样本

(〃WN),且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样措施为简朴随机抽

样.

⑵常用措施：抽签法和随机数表法.

25.系统抽样

(1)环节：①先将总体的N个个体编号；

②根据样本容量〃，当手是整数时，取分段间隔女=辞；

③在第1段用简朴随机抽样确定第一种个体编号AlWk)；

④按照一定的规则抽取样本.

(2)合用范围：合用于总体中的个体数较多时.

26.分层抽样

⑴定义：在抽样时，将总体提成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一

定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样措施是一种分层抽样.

⑵合用范围：合用于总体由差异比较明显的几种部分构成时.

27.三种抽样措施的比较

类别各自特点互相联络合用范围共同点

简朴随机从总体中总体中的个体

最基本的抽样措施

抽样逐一抽取数较少

抽样过程

将总体平均提成几部在起始部分抽样

系统总体中的个体中每个个

分，按事先确定的规则时，采用简朴随机

抽样数较多体被抽到

分别在各部分中抽取抽样

的也许性

将总体提成几层，按各各层抽样时采用简总体由差异明

分层相等

层个体朴随机抽样或系统显的几部分构

抽样

数之比抽取抽样成

28.作频率分布直方图的环节

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).

(2)决定组距与组数.

(3)将数据分组.

(4)列频率分布表.

(5)画频率分布直方图.

29.频率分布折线图和总体密度曲线

⑴频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线

图.

⑵总体密度曲线：伴随样本容量的增长，作图时所分的组数增长，组距减小，对应的频率折

线图会越来越靠近于一条光滑曲线，记录中称这条光滑曲线为总体密度曲线.

3().茎叶图

记录中尚有一种被用来表达数据的图叫做茎叶图，茎是指_的一列数，叶是从茎的旁边生长

出来的数.

31.样本的数字特性

(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.

⑵中位数：把〃个数据按大小次序排列，处在最中间位置的一种数据叫做这组数据的中位

数.

⑶平均数：把s+s：…十°”称为由,做，…，为这〃个数的平均数.

(4)原则差与方差：设一组数据修，X2,…，X”的平均数为7,则这组数据

22

原则差为s=X)+(X2—X)H------I-(X„—X)2]

222

方差为s2=%(xi-X)+(X2—X)+—X)]

32.变量间的有关关系

⑴常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是有关关系；与函数关系不一

样，有关关系是一种非确定性关系.

⑵从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种有关关系称为正有

关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的有关关系为负有关.

33.两个变量的线性有关

⑴从散点图上看，假如这些点从整体上看大体分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两

个变量之间具有线性有关关系，这条直线叫回归直线.