2025年高中概率统计核心考点梳理与解题策略大全

概率与记录知识点与题型

3.1.1-3.1.2随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：

(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条，牛S的必然事件：

(2)不也许事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不也许事件；

(3)确定事件：必然事件和不也许事件统称为相对于条件S确实定事件；

(4)随机事件：在条件S下也许发生也也许不发生的事件•，叫相对于条件S的随机事件；

(5)频数与频率：在相似的条件S下反复n次试验，观测某一事件A与否出现，称n次试验中事件A出

nA

现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=〃为事件A出现的概率：

对于给定的随机事件A,假如伴随试验次数的增长，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常

数上，把这个常数记作P(A),称为事件A的概率。

(6)频率与概率的区别与联络：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值〃，

它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且伴随试验次数的不停增多，这种摆动幅度

越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反应了随机事件发生的也许

性的大小。频率在大量反复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

3.1.3概率的基本性质

1、基本概念：

(1)事件的包括、并事件、交事件、相等事件

(2)若AHB为不也许事件，即AnB=d),那么称事件A与事件B互斥；

(3)若ADB为不也许事件，AUB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；

(4)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；若事件A与B为对立事件，则AUB

为必然事件,因此P(AUB)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)

2、概率的基本性质：

1)必然事件概率为1,不也许事件概率为0,因此OWP(A)W1；

2)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；

3)若事件A与B为对立事件，则AUB为必然事件，因此P(AUB)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1-

P(B)；

4）互斥事件与对立事件的区别与联络，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同步发生，其

详细包括三种不一样的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；

（3）事件A与事件B同步不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一种发生，其包括两种

情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

3.2.1-3.2.2古典概型及随机数的产生

1、（1）古典概型的使用条件：试验成果的有限性和所有成果的等也许性。

（2）古典概型的解题环节；

①求出总的基本领件数；

A包含的基本事件数

②求出事件A所包括的基本领件数，然后运用公式P（A）=总的基本事件个数

3.3.1-3.3.2几何概型及均匀随机数的产生

1、某本概念：

（1）几何概率模型：假如每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则

称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）几何概型的概率公式：

构成事件A的区域长度（面积或体积）

P⑴=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）;

（1）几何概型的特点：1）试验中所有也许出现的成果（基本领件）有无限多种；2）每个基本领件出

现的也许性相等.

一、随机变量.

1.随机试验的构造应当是不确定的.试验假如满足下述条件：

①试验可以在相似的情形下反复进行；②试验的所有也许成果是明确可知的，并且不止一种；③每次试验

总是恰好出现这些成果中的一种，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一种成果.它就被称为

种随机试验.

2.离散型随机变量：假如对于随机变量也许取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离

散型随机变量.若€是一种随机变量，a,b是常数.则喈+b也是一种随机变量.•般地，若€是随机

变量，/。）是持续函数或单调函数，则/«）也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量

设离散型随机变量g也许取的值为：王,壬，…，8，…

&双每一种值再《=1,2,…)的概率P(4=Xi)=Pj，则表称为随机变量&的概率分布，简称&的分布列.

♦・♦•••

x2u

PPlPl•••Pi•••

有性质①p)>0,/=1,2,•••；②〃i+〃2+…+2+~=1・

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做持续型随机变量.例如:Jw［0,5］即J可以

取。〜5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3.⑴二项分布：假如在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立反复试验中这个事件恰好发生

k次的概率是：P《=k)=C：pkqnT［其中&=oj,…,〃

于是得到随机变量8的概率分布如下：我们称这样的随机变量1服从二项分布，记作J〜B(n-p),其

中n,P为参数,并记C：pkqn-k=b(k;n.p).

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立反复试验.关键是看某一事件与否是进行n次独立反复，且每次试验只有

两种成果，假如不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验成

果，此时可以把它看作独立反复试验，运用二项分布求其分布列.

4.几何分布：“€=2"表达在第k次独立反复试验时，事件第一次发生，假如把k次试验时事件A发生

记为A2事A不发生记为Ak，P(Ak)=q,那么P6=k)=P('X；...KA3根据互相独立事件的概率乘法分

式：py=k)=p(A1)p仄2)…p(Aj)P(Ak)=广力(4=123,…)于是得到随机变量W的概率分布列.

4123•••k•••

•••K•••

pqQPq2Pq*p

我们称€服从几何分布，并记虱k,p)=qkTp,其中4=1-攵=1,2,3…

5.⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M(M<N)件次品，今抽取n(l<n<N)件，则其中的次品

「k「n-k

数C是一离散型随机变量，分布列为P©=k)=A<》任(OSkSMOWn-kSN-M).(分子是从M件次品

CN

中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，假如规定机V，•时C；=0,则k的范围可以写为k=0,

1,…，n.)

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品阂成，今抽取n件(lWnWa+b),则次品

「krn-k

数€的分布列为k=O,l,-,n..

G+b

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品构成，不放回抽取n件时，其中次品数C服从超几何分布.若放回式抽

取，则其中次品数〃的分布列可如下求得：把〃+人个产品编号，则抽取n次共有(〃+/»个也许成果，等也

许：0]=k)含C>kbn-k个成果，故Pm=k)=C：a\b…=c：(3)k(i一_J)fk=0,|,2,…,n，即7

(a+b)na+ba+b

仅小一匕).[我们先为k个次品选定位置，共C：种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有

a+b

b种选法]可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，p(^=k)«p(n=k),因此二项分布可作为超几何

分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

二、数学期望与方差.

1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量，的概率分布为

••••••

4X2X,

••••••

PPl〃2Pi

则称垮=为4+与〃2+…+与〃“+…为&的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反应了

离散型随机变量取值的平均水平.

2.(1)随机变量=的数学期望：Er]=E(a^+b)=aE4+b

①当。=0时，E(b)=b,即常数的数学期望就是这个常数自身.

②当。=1时，反4+初=七4+5，即随机变量€与常数之和的期望等于C的期望与这个常数的和.

③当人=0时，凤喈)=。口，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘枳.

€01

⑵单点分布：Eq=cxl=c其分布列为：尸(4=])=c.Pqp

⑶两点分布：EJ=0xq+lxp=p,其分布列为：(p+q=1)

⑷二项分布：£?=>>'—Lp/i=〃p其分布列为g〜伏工〃).(P为发生看的概率)

J%!(/?-幻！

⑸几何分布：EJ=上其分布列为4〜式生p).(P为发生J的概率)

P

3.方差、原则差的定义：当已知随机变量€的分布列为P(4=x«)=p"=12…)时，贝ij称

。自=3-砌/+(.-拶)W+…+(x小塔儿+…为€的方差.显然磨20,故.K=配,超为上的根方差或原

则差.随机变量€的方差与原见差都反应了随机变量€取值的稳定与波动，集中与离散的程度阳

小，稳定性越高，波动越小.

4.方差的性质.

⑴随机变量〃=吒+〃的方差（喈+A）=/O久（a、b均为常数）

⑵单点分布：。4=0其分布列为P（g=l）=〃€01

⑶两点分布：DJ=pq其分布列为：（p+q=1）Pqp

⑷二项分布：=npq

（5）几何分布：D&=&

5.期望与方差的关系.

⑴假如售和七〃都存在，则凤4士〃）=£4±£〃

⑵设4和〃是互相独立的两个随机变量，则E（g）=E4•E小D居+力=D4+

⑶期望与方差的转化：然=£铲-（腐尸⑷E3-E4）=E（9-E（增）（由于塔为一常数）=E&-E《=0.

三、正态分布.

1.密度曲线与密度函数：对于持续型随机变量U位于x轴上方，€落在任一区间［4〃）内的概率等于它

与x轴.直线尤="与直线x所围成的曲边梯形的面积,

（如图阴影部分）的曲线叫€的密度曲线，以其作为

图像的函数/（尤）叫做€的密度函数，由于』（』田）1、

是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

」，一

.Ia---------

2.⑴正态分布与正态曲线：假如随机变量€的概率密度为:f(x)=-=^-e2/（xcR",。为常数,

J24b

且b>0）,称€服从参数为〃Q的正态分布，用4〜表达./（X）的体现式可简记为它

的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若6〜N（〃。/）,则&的期望与方差分别为：EJ=".DJ=b、

⑶正态曲线的性质.

①曲线在X轴上方，与X轴不相交.

②曲线有关直线工=〃对称.

③当x=〃时曲线处在最高点，当x向左、向右远禽时，曲线K停地减少，展现出“中间高、两边低”的

钟形曲线.

④当xV〃时，曲线上升；当时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐

近线，向x轴无限的靠近.

⑤当〃一定期，曲线的形状由。确定，。越大，曲线越“矮胖”.表达总体的分布越分散；C越小，曲线

越“瘦高”，表达总体的分布越集中.

3.⑴原则正态分布：假如随机变量€的概率函数为Mx)=YXY+8),则称服从原则正态

分布.即4〜N(O,1)有(p(x)=P^<x),奴工)=1一以—x)求出，而P(aV&Wb)的计算则是

P(aY<Vb)=(p(b)-(p(a).

注意：当原则正态分布的中(x)的X取。时，有①(x)=0.5当中(工)的X取不小于0的数时，有中(人》0.5.例

如中(竺二£)=0.0793Y0.5则"N必然不不小于0,如图.fv

°°zlS

⑵正态分布与原则正态分布间的关系：若J〜N(〃。2)则€的分布函数通J\

常用”(外表达，且有P©Wx)=F(x)=#(0)

标准正态分布曲线

S«=0.5Sa=0.5+S

习题

1.6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是()

A±1

B.-C.

1226

D.

3

2.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概

率是()

22八1,7

A.—Br.—C.-D.—

4515315

3.甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对•的概率分别是八，/%,那么至少有1人解对的概率

是()

A.PI+〃2B.p1-p2C.1--p2D.i-(l-P1).(l-p2)

4.从数字1,2,3,4,5这五个数中，随机抽取2个不一样的数，则这2个数的和为偶数的概率

是()

5.有2n个数字，其中二分之一是奇数，二分之一是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和

为偶数的概率是（）

、1n1「"T〃+1

A、一B、—C、------D、-----

22n2/j-l2/?+1

6.有10名学生，其中4名男生，6名女生,从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名

女生的概率是（）

7.已知P箱中有红球1个，白球9个，Q箱中有白球7个，（P、Q箱中所有的球除颜色

外完全相似）.现随意从P箱中取出3个球放入Q箱，将Q箱中的球充足搅匀后，再

从Q箱中随意取出3个球放入P箱，则红球从P箱移到Q箱，再从Q箱返回IP箱中的

概率等于（）

C92/C103乘以C92/C103

8.已知集合，\={12,14,16,18,20},B={11,13,15,17,19},在A中任取一种元素

用2,3,4,5）表达，在B中任取一种元素用2,3,4,5）表达，则

所取两数满足的概率为（）

3.3八11

A、一B、一C、一Dr、一

4525

9.在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一种三角形，假如随

机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（）直径有5个

10.已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品所有被抽

出的概率不不不小于0.6,则至少应抽出产品（）

A.7个B.8个C.9个D.10个

11.甲、乙独立地处理同一数学问题，甲处理这个问题的概率是0.8,乙处理这个问题的

概率是0.6,那么其中至少有1人处理这个问题的概率是（）

A、0.48B、0.52C、0.8D、0.92

12.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长

的概率是___________

13.掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是一

14.某班委会由4名男生与3名女生构成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概

率是______________

15.我国西部一种地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：

年降水最/mm[100,150)[150,200)[200,250)[250,300：

概率0.210.160.130.12

则年降水量在[200,300]（m,m）范围内的概率是一

S

16、向面积为S的AABC内任投一点P,则APBC的面积不不小于一的概率是_________。

2

17、有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一种三

角形的概率为

18、在等腰Rt^ABC中，在斜边AB上任取一点M,则AM的长不不小于AC的长的概率为

19.甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为（）.7与（）.8.

（1）假如每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；

（2）假如每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率.

20.加工某种零件需要通过四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为

9876口々*十色-匚亍~1

一、一、一、一，且各道工序互不影响

10987

（1）求该种零件的合格率

（2）从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率

（3）假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好持续2次抽到合格品的概率

（用最简分数表到达果）

21.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为£、H,£和。的

分布列如下：

£012n0i2

P613P532

10lo10ToioTo

则比较两名工人的技术水平的高下为

思绪启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品

数的波动状况，即方差值的大小.

22.某商场经销某商品，根据以往资料记录，顾客采用的付款期数4的分布列为

412345

P0.40.20.20.10.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或

5期付款，其利润为30（）元."表达经销一件该商品的利润.

（I）求事件A：“购置该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率产（加；

（H）求〃的分布列及期望

参照答案:

1—5、BDDBC6—11、CBBBCD

12.-13.—14.-15.0.2516、-17、—18、—

51874102

19：解：设甲投中的事件记为A,乙投中的事件记为B,

（1）所求事件的概率为：

P=P(A•^)+P(A•B)+P(A・B)

=0.7X0.2+0.3X0.8+0.