2025年概率论基础与随机事件概率解析攻略

随机事件及其概率

一、随机事件

1、必然事件

在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.

2、不也许事件

在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不也许事件.

3、随机事件

在一定条件下，也许发生，也也许不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母

A，B,。来表达随机事件.

4、确定事件

必然事件和不也许事件统称为相对于随机事件确实定事件.

5、试验

为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观测或模拟，这种观测或模

拟的过程就叫作试验.

【注】（1）在一定条件下，某种现象也许发生，也也许不发生，事先并不能判断

将出现哪种成果，这种现象就叫作随机现象.应当注意的是，随机现象绝不是杂

乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思、：①这种现象的成果不确定，发生

之前不能预言；②这种现象的成果带有偶尔性.虽然随机现象的成果不确定，带

有某种偶尔性，不过这种现象的多种也许成果在数量上具有一定的稳定性和规律

性，我们称这种规律性为记录规律性.记录和概率就是从量的侧面去研究和揭示

随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.

(2)必然事件与不也许事件反应的是在一定条件下确实定性现象，而随机事件

反应的则是在一定条件下的随机现象.

(3)随机试验满足的条件：可以在相似条件下反复进行；所有成果都是明确可

知的，但不止一种；每一次试验的成果是也许成果中的一种，但不确定是哪一种.

随机事件也可以简称为事件，但有时为了论述的简洁性，也也许包括不也许事件

和必然事件.

二、基本领件空间

1、基本领件

在试验中不能再分的最简朴的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这

样的事件称为基本领件.

2、基本领件空间

所有基本领件构成的集合称为基本领件空间，常用大写字母。来表达，Q中的

每一种元素都是一种基本领件，并且O中包括了所有的基本领件.

【注】基本领件是试验中所有也许发生的成果的最小单位，它不能再分，其他的

事件都可以用这些基本领件来表达；在写一种试验的基本领件空间时，应注意每

个基本领件与否与次序有关系；基本领件空间包括了所有的基本领件，在写时应

注意不反复、不遗漏.

三、频率与概率

1、频数与频率

在相似条件S下进行了〃次试验，观测某一事件A与否出现，则称在〃次试验中

事件A出现的次数%为事件A出现的频数；事件A出现的比例£(A)=丛为事件

A出现的频率.

2、概率

对于给定的随机事件4，假如伴随试验次数〃的增长，事件A发生的频率力（A）稳

定在某个常数上，则把这个常数称为事件A的概率，简称为A的概率，记作RA）.

3、频率与概率的关系

（1）频率虽然在一定程度上可以反应事件发生的也许性的大小，但频率并不是

一种完全确定的数.伴随试验次数的不一样，产生的频率也也许不一样，因此频

率无法从主线上刻画事件发生的也许性的大小，但人们从大量的反复试验中发

现：伴随试验次数的无限增长，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在

无限次反复试验下，频率具有某种稳定性.

（2）概率是一种常数，它是频率的科学抽象.当试验次数无限多时，所得到的

频率就会近似地等于概率.此外，概率大，并不表达事件一定会发生，只能阐明

事件发生的也许性大，但在一次试验中却不一定会发生.

四、事件的关系与运算

1、包括关系

一般地，对于事件人与事件〃，假如事件人发生时，事件〃一定发生，则我们称

事件8包括事件A（或称事件A包括于事件B）,记作334（或A7B）.

2、相等关系

一般地，对于事件A与事件8,假如事件A发生时，事件8一定发生，并且假如

事件8发生时，事件4一定发生，即若B=4且A=则我们称事件A与事件

B相等，记作A=

3、并事件

假如某事件发生当且仅当事件4或事件B发生，则我们称该事件为事件A与事件

8的并事件（或和事件），记作（或A+B）.

4、交事件

假如某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生，则我们称该事件为事件A

与事件B的交事件（或积事件），记作（或44）.

5、互斥事件

假如事件A与事件B的交事件为不也许事件（即Ac8=0）,则我们称事

件A与事件8互斥，其含义是：事件4与事件8在任何一次试验中都不会同步发

生.

6、对立事件

假如事件4与事件B的交事件4cA为不也许事件（即4c8=0）,而事件A与

事件B的并事件Ai为必然事件（即A<JB=Q）,则我们称事件A与事件B互

为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一种发生.

【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算.例如，事件A包括事件B

类比集合A包括集合B；事件A与事件B相等类二匕集合A与集合B相等;事件A

与事件B的并事件类比集合A与集合B的并集；事件A与事件B的交事件类比

集合人与集合9的交集……

五、互斥事件与对立事件

互斥事件与对立事件是此后考察的重点，因此有关互斥事件与对立事件，我们很

有必要再作深入的阐明.

1、互斥事件与对立事件的关系

互斥事件与对立事件都反应的是两个事件之间的关系.互斥事件是不也许同步

发生的两个事件，而对立事件除了规定这两个事件不一样步发生以外，还规定这

两个事件必须有一种发生.因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定

是对立事件.例如，掷一枚骰子，事件：”出现的点数是1”与事件：“出现的点

数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：”出现的点数是奇数”与事

件：”出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是市立事件.

2、互斥事件的概率加法公式

(1)两个互斥事件的概率之和

假如事件4与事件B互斥，那么P(AuB)=P(A)+P(4)；

(2)有限多种互斥事件的概率之和

一般地，假如事件4，4,…，A”两两互斥，那么事件…uA”发生”

(指事件A，A2,…，A”中至少有一种发生)的概率等于这〃个事件分别发生

的概率之和,即P(4D45・・D4)=P(A)+P(4)+・・・+P(4),

【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式.在运用互斥事件的概率加

法公式时，一定要首先确定各事件与否彼此互斥(假如这个条件不满足，则公式

不合用)，然后求出各事件分别发生的概率，再求和.

3、对立事件的概率加法公式

对于对立的两个事件A与B而言，由于在一次试验中，事件A与事件8不会同步

发生，因此事件A与事件8互斥，并且AuB=Q,即事件A或事件8必有一种

发生，因此对立事件A与8的并事件发生的概率等于事件A发生的概率与

事件8发生的概率之和，且和为1,即

尸g)=P(AuB)=P(A)+P(B)=l,或尸(A)=l-P(8).

【注】上述这个公式为我们求事件A的概率P(A)提供了一种措施，当我们直接

求P(A)有困难时，可以转化为先求其对立事件8的概率尸(8),再运用公式

P(A)=1-P(B)即可求出所规定的事件A的概率P(A).

4、求复杂事件的概率的措施

求复杂事件的概率一般有两种措施：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的

和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的

概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解.假如采用措施一，一定要

精确地将所求事件拆提成若干个两两互斥的事件，不能有反复和遗漏；假如采用

措施二，一定要找准所求事件的对立事件，并精确求出对立事件的概率.

六、概率的基本性质

1、任何事件的概率都在。〜