2025届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第八章概率与统计考点测试67变量间的相关关系与统计案例含解析新人教B版

考点测试67变量间的相关关系与统计案例

高考在本考点的常考题型为选择题、填空题与解答题，分值为5分，12

高考概览

分，中、低等难度

1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图相识变量间的相关

关系

2.了解最小二乘法的思想，能依据给出的线性回来方程系数公式建立线

考纲研读性回来方程

3.了解独立性检验的基本思想、方法及其简洁应用

4.了解来分析的基本思想、方法及其简洁应用

第1步狂刷小题・基础练

一、基础小题

1.已知回来直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回来直线的方程是

A.y=1.23x+4B.y=1.23x+5

C.y=1.23x+0.08D.y=0.08x4-1.23

答案C

解析选项D明显错误.因为回来方程必过样本中心点，把点(4,5)代入选项A,B,C检

验，满意的只有选项C.故选C.

2.某公司一种型号的产品近期销售状况如下表：

月份323456

销售额〃万元15.116.317.917.218.4

依据上表可得到回来直线方程据此估计，该公司7月份这种型号产品的销

售额约为()

A.19.5万元B.19.25万元

C.19.15万元D.19.05万元

答案D

_1_1

解析由表可知x=£X(2+3+4+5+6)=4,y=rX(15.1+16.3+17+17.2+18.4)

□□

=16.8,则样本中心点（4,16.8）在线性回来直线上,故16.8=0.75X44-a,得3=13.8.故当

x=7时，y=0.75X7+13.8=19.05.故选D.

3.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为

200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群

体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示

倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）

100%

80%

比40%

20%

0%

城钝户籍农村户籍男性女性

A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关

B.是否倾向选择生育二胎与性别有关

C.倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同

D.倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数

答案C

解析由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎

的人群中，农村户籍人数为0.2X100=20,城镇户籍人数为0.6X100=60,农村户籍人数少

于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人群中，男性人数为0.8X120=96人，女性人数为

0.6X80=48人，男性人数与女性人数不相同，故C错误，故选C.

4.在一组样本数据（小，/），（如先）,…，（茄，为）（〃22,汨，如…，荀不全相等）

的散点图中，若全部样本点（无，修）（/=1,2,…，力都在直线y=L+l上，则这组样本数

据的样本相关系数为（）

A.-1B.0

C.1D.1

答案D

解析由题设，知这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.故选D.

5.甲、乙、丙、丁匹位同学各自对儿〃两变量的线性相关性做试验，并用回来分析方

法分别求得相关系数r与残差平方和勿，如下表：

甲|乙|丙|丁

0.820.780.690.85

m106115124103

则试验结果体现4〃两变量有更强的线性相关性的是（）

A.甲B.乙

C.丙D.丁

答案D

解析r越大，m越小，线性相关性越强，丁同学的试验结果体现儿8两变量有更强的

线性相关性.故选D.

6.在探讨吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”

的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（）

A.100个吸烟者中至少有99人患肺癌

B.1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌

C.在100个吸烟者中肯定有患肺癌的人

D.在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有

答案D

解析统计的结果只是说明事务发生可能性的大小，详细到一个个体不肯定发生.故选

D.

7.设某高校的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，依据一组

样本数据（为，/）（了=1,2,…，〃），用最小二乘法建立的回来方程为y=0.85x—85.71,则

下列结论中不正确的是（）

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回来直线过样本点的中心（：，7）

C.若该高校某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg

I）.若该高校某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg

答案D

解析由于线性回来方程中x的系数为0.85,因此y与x具有正的线性相关关系，故A

正确.又线性回来方程必过样本点的中心（7,7）,因此B正确.由线性回来方程中系数的

意义知，x每增加1cm,其体重约增加0.85kg,故C正确.当某女生的身高为170cm时，

其体重估计值是58.79kg,而不是详细值，因此D不正确.

8.以模型尸ce“去拟合一组数据时，为了求出回来方程，设z=lny,其变换后得到线

性回来方程z=0.3x+4,则c=.

答案e4

解析因为y=ce",所以两边取对数，可得Iny=ln（cex'）=Inc+lne"=lnc+kx,

令z=lny,可得z=lnc+Zx.因为z=0.3x+4,所以Inc=4,所以c=e*.

二、高考小题

9.（2024•山东高考）为了探讨某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的

关系，从该班随机抽取10名学生，依据测量数据的散点图可以看出y与X之间有线性相关关

・・・10）0・

系.设其回来直线方程为已知2＞，=225,£y=1600,6=4.该班某学生的脚长为

1=1J=1

24,据此估计其身高为（）

A.160B.163

C.166D.170

答案C

10_11010_110

解析••工必=225,；・x=历纤,=22.5.;?匕=1600,.二y=诃纣,=160.又44,

：.a=~y-b7=160—4X22.5=70.・••回来直线方程为j=4x+70.将x=24代入上式得y=

4X24十70—166.故选C.

三、模拟小题

10.（2024•南阳市一中模拟）为考察力，8两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，

分别得到如下等高条形图.依据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）

麴物1实脸结果,药物8实验结果

A.药物少的预防效果优丁药物力的预防效果

B.药物力的预防效果优于药物”的预防效果

C.药物48对该疾病均有显著的预防效果

D.药物48对该疾病均没有预防效果

答案B

解析由题图可得服用药物力的患病人数少于服用药物8的患病人数，而服用药物力的

未患病人数多于服用药物8的未患病人数，所以药物力的预防效果优于药物8的预防效果.故

选B.

11.（2024•广东深中、华附、省实、广雅四校联考）如图是一组数据（才,力的散点图，

经最小二乘估计公式计算，y与x之间的线性回来方程为夕="+1,则。=.

答案0.8

解析由题图知；="+l；：""=2

0.9+1.9+3.2+4.4

=2.6,

y—4

将⑵2.6）代入y=Z?x+l中，解得。=0.8.

第2,步精做大题・能力练

一、高考大题

1.（2024•全国卷H）下图是某地区2000年至2024年环境基础设施投资额y（单位：亿

元）的折线图.为了预料该地区2024年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量（的两

个线性回来模型.依据2000年至2024年的数据（时间变量^的值依次为1,2,…，17）建立模

型①：y=-30.4+13.5t；依据2010年至2024年的数据（时间变量£的值依次为1,2,…，

7）建立模型②：尸99+17.51.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值;

（2）你认为用哪个模型得到的预料值更牢靠？井说明理由.

解（1）利用模型①，该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为

7=-30.4+13.5X19=226.1（亿元）.

利用模型②，该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为y=99+17.5X9=

256.5（亿元）.

⑵利用模型②得到的预料值更牢靠.

理由如下：

(i)从折线图可以看出，2000年至2024年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-

30.4+13.5f上下，这说明利用2000年至2024年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环

境基础设施投资额的改变趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010

年至2024年的数据对应的点位于一条直线的旁边，这说明从2010年起先环境基础设施投资

额的改变规律呈线性增长趋势，利用2010年至2024年的数据建立的线性模型y=99+17.5£

可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的改变趋势，因此利用模型②得到的预料

值更牢靠.

(ii)从计算结果看，相对于2024年的环境基础设施投资额22()亿元，由模型①得到的预

料值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预料值的增幅比较合理，说明利用模

型②得到的预料值更牢靠.

2.(2024•全国卷川)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产

任务的两种新的牛•产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两

组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，其次组工人用其次种生产方式.依据工人完

成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

第一种生产方式第二种生产方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2IIOO90

(1)依据茎叶图推断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数处并将完成生产任务所需时间超过m

和不超过勿的工人数填入下面的列联表：

超过m不超过m

第一种生产方式

其次种生产方式

(3)依据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

%o____________Aad-be___________

附：a+b7+cb+d1

〃(凡2儿)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

解(1)其次种生产方式的效率更高.理由如下：

①由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间超

过80分钟，用其次种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间不超过79分

钟.因此其次种生产方式的效率更高.

②由萃叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分

钟，用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此其次种生产

方式的效率更高.

③由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用

其次种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此其次种生产方式的效率

更高.

④由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,

关于茎8大致呈对称分布；用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的

最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区

间相同，故可以认为用其次种生产方式完成生产任务所普的时间比用第一种生产方式完成生

产任务所需的时间更少，因此其次种生产方式的效率更高.

(以上给出了4种理由，考生答出其中随意一种或其他合理理由均可得分.)

*7Q_|_O1

(2)由茎叶图知=——=80.列联表如下：

m乙

超过次不超过m

第i种生产方式155

其次种生产方式515

2

由于片的观测值仁。＞所以有舞的把握认为两种

(3)吟Z焉UAZUWA奈/U咨ZU=16.635,9

生产方式的效率有差异.

3.(2024•全国卷II)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获

时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg),其频率分布直方图如下：

III养殖法新养殖法

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记月表示事务“旧养殖法的箱产量低于5。kg,

新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计力的概率；

(2)填写下面列联表，并依据列联表推断是否有99$的把握认为箱产量与养殖方法有关;

箱产量(50kg箱产量250kg

旧养殖法

新养殖法

(3)依据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到C.01).

附：

〃（片2k）0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

nad—be

a-\-bc+da+c〃+4-

解(1)记6表示事务“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事务“新养殖法的箱产

量不低于50kg”.

由题意知P(A)s=〃(0pg.

旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

(0.012+0.014+().()24+().034+0.040)X5=0.62,

故尸(⑤的估计值为0.62.

新养殖法的箱产曷不低于50kg的频率为

(0.068+0.046+0.010+0.008)X5=0.66,

故尸(。的估计值为0.66.

因此，事务A的概率的估计值为0.62X0.66=0.4092.

(2)依据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量<50kg箱产量250kg

旧养殖法6238

新养殖法3466

2_200X62X66—34X381

K=100X100X96X104弋15,705,

由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

(0.004+().020+0.044)X5=().34<0.5,

箱产量低于55kg的直方图面积为

(0.004+0.020+0.044+0.068)X5=0,68>0.5,

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

nR—nQ4

50+-T——^52.35(kg).

U.Ubo

二、模拟大题

4.(2024•太原一模)为便利市民出行，提倡低碳出行.某市公交公司推出利用支付宝和

微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采纳随机实惠激励市民

扫码支付乘车.该公司某线路公交车队统廿了活动推广期笫一周内运用扫码支付的状况，其

中爪单位：天）表示活动推出的天次，以单位：十人次）表示当天运用扫码支付的人次，整理

后得到如图所示的统计表1和散点图.

（1）由散点图分析后，可用作为该线路公交车在活动推广期运用扫码支付的人次

y关于活动推出天次x的回来方程，依据表2的数据，求比回来方程，并预报第8天运用扫码

支付的人次（精确到整数）；

表2：

7c1

Xy7/E=1XiZ,

4523.51402069112

_17

表中z=lny,z=丁£z,.

（2）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付状况进行统计，结果如表3.

表3：

支付方式现金乘车卡扫码

频率10%60%30%

实惠方式无实惠按7折支付随机实惠（见下面统计结果）

统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为1享受7折支付的频率为"享受9

折支付的频率为1.已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事务发生的概率，记

随机变量J为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：兀），求《的分布列和

期望.

参考公式：对于一组数据（%,%）,（也，⑸，…，3,”%）,其回来直线的斜率和截距的

r

-JUiV-nuv_-_

最小二乘估计分别为B=---------.O=V—pU.

E1Ui~nu~

参考数据：「3=200.33,r5=244.69,e57=298.87.

解（1）由题意，得kiny=In

.:—7xz112—7X4X3.5八

•*匕=3，7-=-140-7X42=0,5

LXi-lx

i-i

a=z—bx=3.5-0.5X4=1.5,

・••z关于x的线性回来方程为z=0.5x+1.5,

y关于x的回来方程为y=c°.5f,当x=8时，y=c55=244.69,

・••第8天运用扫码支付的人次约为245.

(2)由题意,得f的全部取值为0.5,0.7,0.9,1.

K4=().5)=^X30%=0.10,

O

P(S=0.7)=60%+|x30%=0.75,

P(6=0.9)=7X30%=0.05,

6

P(^=l)=10%=().10,

・•・<的分布列为

0.50.70.91

P0.100.750.050.10

E{f）=0.5X0.104-0.7X0.75+0.9X0.05+1X0.10=0.72.

5.（2024•晋江模拟）中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍旧是消费者接触

商品和品牌的重要渠道.某机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人，对他们

的主要购物方式进行问卷调查.现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如

下图表：

要购物方式

网络平台购物实体店购物总计

年龄阶

40岁以下75

40岁或40岁以上55

总计

(1)依据已知条件完成上述列联表，并据此资料，能否在犯错误的概率不超过0.1%的前

提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？

(2)用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，然后再从这8名消

费者中抽取5名进行座谈.设抽到的消费者中40岁以下的人数为人求X的分布列和数