2025年河北省高考对口招生考试数学试题答案详解

第1页/共1页2025年河北省普通高等学校对口招生文化考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义求解．【详解】集合，，则，故选：A．2.直线与轴的交点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将代入直线方程中即可得解.【详解】直线，令，则，解得，所以与轴交点坐标为，故选：.3.已知复数，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算求解即可；详解】复数，，所以，故选：D4.不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意解一元二次不等式即可得解.【详解】不等式，解得或，解集为或，用数轴表示为，故选：.5.已知，则（）A. B. C. D.

【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式求解即可；【详解】因为，则，故选：C6.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据真数大于零及二次根式的性质列出不等式组即可得解.【详解】函数，则，解得，所以定义域为，故选：.7.如图，函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的图像与性质判断．【详解】∵函数在上单调递增，过点，且，∴函数在上单调递减，且过点，且，故ABC不符，D符合，故选：D．8.已知向量，，则（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根据题意结合平面向量内积的坐标表示即可得解.【详解】向量，，则，故选：.9已知，，则（）A.5 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根据题意结合对数的定义求出的值即可得解.【详解】，，所以，故选：.10.已知数列均为等差数列，，，则（）A.9 B.11 C.12 D.13【答案】A【解析】【分析】利用等差中项的性质求解．【详解】数列均为等差数列，则，，两式相加得，即，解得．故选：A．11.如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，则该几何体的直观图为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图作出该几何体的直观图即可判断.【详解】由题意，作出该几何体的直观图如下图，则ABD不符，C符合，故选：C.12.已知是一次函数，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出，进而可得的值．【详解】由题意，设，∵，∴，即，∴且，解得，∴，∴．故选：A．13.已知数列是首项为1的等比数列，，则的前6项和为（）A.15 B.31 C.63 D.127【答案】C【解析】【分析】利用等比数列通项公式求出公比，然后利用等比数列的前项和公式求解．【详解】设数列的公比为，首项，∵，∴，解得，∴的前6项和为，故选：C．14.在下列四个正方体中，M，N，P，Q分别是其所在棱的中点，则直线PQ与MN共面的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意结合共面直线与异面直线的定义即可得解.【详解】选项中，如图所示，连接，因为，所以四点共面，所以与共面，故正确；选项中，与为异面直线，故选：.15.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，则该椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的性质，结合已知条件求出椭圆方程中的的值即可．【详解】∵椭圆的焦距为，∴，即，∵离心率为，∴，可得，∴，∵椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，∴椭圆的标准方程为．故选：B．16.已知随机变量的分布列如下：ξ357Paba则ξ的期望为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根据题意结合分布列的性质及期望公式即可得解.【详解】由分布列可知，，期望，故选：.17.过圆内一点，且被圆截得的弦长最短的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据过圆内一点的所有直线中，与该点和圆心连线垂直的直线被圆截得的弦长最短即可得解.【详解】令圆，则圆心，设所求直线为，则，，所以，则直线，化为一般式方程为，故选：.18.《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》《五曹算经》是我国古代数学的重要著作，将这5部著作排成一排，则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为（）A.6 B.12 C.24 D.36【答案】C【解析】【分析】利用捆绑法来计算满足条件的排法种数．【详解】确定《九章算术》与《孙子算经》的排列顺序，有种方法；从剩下3部著作中选2部放在《九章算术》与《孙子算经》之间进行排列，有种方法；将《九章算术》、中间2部著作、《孙子算经》看作一个整体与剩下1部著作进行排列，有种方法，则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为种．故选：C．19.已知函数，则函数（）A.在上单调递减 B.在上单调递减C.在上单调递增 D.在上单调递增【答案】A【解析】【分析】根据角的范围，结合正弦函数的单调性判断各选项．【详解】令，．当时，，此时单调递减，则在上单调递减，故A正确；当时，，当时，单调递减，即当时，在单调递减；当时，单调递增，当时，在单调递增，故B错误；当时，，当时，单调递减，即当时，在单调递减；当时，单调递增，当时，在单调递增，故C错误；当时，，当时，单调递增，即当时，在单调递增；当时，单调递减，当时，在单调递减，故D错误，故选：A．20.已知奇函数在上单调递减，，若实数满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的性质求出，根据题意结合奇函数的性质列出不等式即可得解.【详解】函数为奇函数，，则，因为函数在上单调递减，则，所以，解得，所以的取值范围是，故选：.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）21.已知函数，则______.【答案】2【解析】【分析】由内向外代入求值即可．【详解】函数，则故．故答案为：2．22.计算______.【答案】0【解析】【分析】根据组合数的计算，特殊的三角函数值及指数幂的运算法则即可得解.【详解】原式，故答案为：.23.已知，则______.【答案】【解析】【分析】先根据已知条件求出的值，进而得到的值，最后利用两角和的正切公式计算出结果．【详解】∵，∴，∴，∴.故答案为：.24.生肖文化是我国传统文化的重要组成部分.现有十二生肖吉祥物各一个，分别为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，则甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的概率为______.【答案】【解析】【分析】由分步计数原理及古典概型概率公式计算即可.【详解】由题意，甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，总的基本事件数为，由分步计数原理，甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的基本事件数为，故概率为.故答案为：.25.某圆锥的侧面展开图是一个半圆，其体积的值与侧面积的值之比为，则该圆锥的高为______．【答案】4【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图性质建立圆锥底面半径、母线长与高之间的关系，再结合体积与侧面积的比值求解．【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴半圆的弧长等于圆锥底面的周长，即，可得，∴，圆锥的体积为，圆锥的侧面积为，∵圆锥体积的值与侧面积的值之比为，∴，化简可得，解得，∴圆锥的高．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共45分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤）26.已知集合，，若且，求实数a的取值范围.【答案】.【解析】【分析】根据题意结合元素与集合的关系列出不等式即可得解.【详解】集合，，则，解得，集合，，所以满足，即，解得，综上所述，，所以实数a的取值范围为.27.记的内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）求.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（）根据题意结合正弦定理得出即可得解.（）根据余弦定理求出，代入正弦定理公式即可得解.【小问1详解】的内角的对边分别为，由正弦定理可知，，由题意可知，所以，因为，则当时，此时（舍）；当时，，综上所述，.【小问2详解】因为，，，由余弦定理可知，，整理可得，，解得或（舍），由正弦定理可知，，解得.28.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面.（1）求证：平面；（2）若点分别为的中点，点在棱上，且，求证：平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由条件可得，，由直线与平面垂直的判定定理证得结论；（2）设与交于点，由条件可证得，所以，由直线与平面平行的判定定理证得结论．【小问1详解】因为底面是菱形，所以．因为平面，平面，所以．又，平面所以平面．【小问2详解】设与交于点，连接，设与交于点，因为点分别为的中点，即为的中位线，所以为的中点，从而，因为，所以，则，所以，又因为平面，平面，所以平面．29.某企业从一批产品中随机选取部分产品检测质量指标值，并将其作为样本，已知质量指标值范围为，将所得数据分成6组：，，…，，，并绘制出如下频率分步直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）已知样本质量指标值在内产品频数为20，求样本容量；（3）该企业计划从这一批产品中随机选取3件进一步检测，视样本频率为概率，求其中恰有2件产品的质量指标值不低于60的概率．【答案】（1）0.008（2）100（3）0.415872【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求解；（2）根据频数，频率与样本容量的关系求解；（3）根据独立重复试验的概率公式求解．【小问1详解】的频率为；的频率为；的频率为；的频率为；的频率为；的频率为，∵频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，∴，解得．【小问2详解】设样本容量为，∵内产品频数为20，频率为0.2，∴，解得．【小问3详解】∵质量指标值不低于60的频率为，∴从这批产品中随机选取1件，质量指标值不低于60的概率为，∴从这批产品中随机选取3件，恰有2件产品的质量指标值不低于60的概率为．30.已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在双曲线上，点是双曲线的一个焦点．（1）求双曲线的标准方程；（2）求点到双曲线的渐近线的距离；（3）过点作与双曲线的渐近线平行的直线，交双曲线于点，求直线的斜率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据双曲线的性质，利用已知的点和焦点信息确定双曲线方程中的参数即可；（2）先求出双曲线渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算点到渐近线的距离；（3）先求出过点且与渐近线平行的直线方程