拓展拔高柯西不等式、权方和不等式

拓展拔高1柯西不等式、权方和不等式【高考考情】柯西不等式是高考命题的重要考点与热点之一.基于柯西不等式的应用,在高考命题中往往以求解最值、证明不等式及综合应用等为主,成为高考考查的基本形式与命题方向.权方和不等式作为柯西不等式的一个特例,在一些不等式的证明或最值(或取值范围)的求解等问题中,有着非常重要的作用,是解决问题的一种非常重要的不等式.类型一柯西不等式1.源于教材【习题】(必修第二册P37习题6.3T16)用向量方法证明:对于任意的a,b,c,d∈R,恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).2.公式形式(1)二维形式的柯西不等式:以上源于教材的不等式,就是柯西不等式的二维形式:若a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.【拓展】二维形式的柯西不等式的变式:①a2+b2·c2+d2≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R,当且仅当②a2+b2·c2+d2≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R,当且仅当③(a+b)(c+d)≥(ac+bd)2(a,b,c,d≥0,当且仅当ad=bc时,等号成立).(2)一般形式的柯西不等式:柯西不等式的一般形式为:若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得【例1】(1)函数f(x)=25-x+x-4的最大值及取得最大值时xA.5,215 B.3,215 C.13,6113 D.【解析】选A.由柯西不等式可知,(25-x+x-4)2≤(22+12)[(5-x)2+(x-4)2]=5,当且仅当2x-4=5-x,即x故函数f(x)=25-x+x-4的最大值及取得最大值时x的值分别为(2)已知x>0,y>0,x24+y2=1,则22x+2y【解析】由柯西不等式得(x24+y2)(12+12)≥(x2×1+y×1)2=(x2+y)2,所以1×2≥(x2当且仅当x2=y,即x=2,y=22所以x2+y≤2,即22x+2y的最大值是答案:2【思维升华】掌握柯西不等式及其变式的结构,常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法.【对点训练】1.(一题多法)已知x,y∈R,3x2+2y2≤6,则2x+y的最大值为________;最小值为________.

【解析】法一:由柯西不等式得(2x+y)2≤[(3x)2+(2y)2][(23)2+(12)=(3x2+2y2)(43+12当且仅当3x·12=2y·2即x=41111于是2x+y的最大值为11,最小值为-11.法二:由柯西不等式得|2x+y|≤(3x)2+当且仅当3x·12=2y·2即x=41111于是2x+y的最大值为11,最小值为-11.答案:11-112.实数x,y满足2x+1+2y+3=4,则x+【解析】因为[(2x+1)2+(2y+3)2](12+12)≥(2x所以(2x+2y+4)×2≥42,则x+y≥2,当且仅当2x+1=2y+3,即x=32,答案:2类型二权方和不等式【结论】二维形式:已知正数x,y,a,b,则有a2x+b2y≥(a+b【说明】二元权方和不等式对于解决一些涉及分式或相关代数式的“知和求和”型的最值(或取值范围)问题有奇效,其实质就是“常数1”的代换与应用.而对于三元及以上的更具一般性的多元权方和不等式,实质上是一样的.【例2】(1)已知a+b+c=1,且a,b,c>0,则2a+b+2b+cA.1 B.3 C.6 D.9【解析】选D.因为a+b+c=1,所以2a+b+2b+c+2a+c=2当且仅当a=b=c=13时等号成立(2)已知正数x,y,z满足x+y+z=1,则x2y+2z+y2z【解析】x2y+2z+y2z+2当且仅当xy+2z=y即x=y=z=13时等号成立答案:1(3)若∀x,y>0,都有x+y+2xy≤a(2x+3y)成立,则实数a的最小值为________.

【解析】因为∀x,y>0,都有x+y+2xy≤a(2x+3y)成立,分离参数可化为a≥x+y+2xy2x利用权方和不等式(x+y)x2x+y3y=12+13=5即4x=9y时等号成立,所以a≥56即实数a的最小值为56答案:5【思维升华】(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1,出现定值是解题的关键.(2)关于齐次分式,将分子变为平方式,再用权方和不等式.(3)关于带根号的式子,将分子变为32次,分母变为12【对点训练】1.若x>0,y>0,12x+y+3x+y=2,则【解析】12x+y+3x+y=12x+y即2≥13+436x+5y