江苏省苏州市第五中学高中数学三角函数与解三角形多选题专题复习含答案

江苏省苏州市第五中学高中数学三角函数与解三角形多选题专题复习含答案一、三角函数与解三角形多选题1．在中，角所对的边分别为，下列命题正确的是（）A．若，的最大内角是最小内角的倍B．若，则一定为直角三角形C．若，则外接圆半径为D．若，则一定是等边三角形【答案】ABD【分析】对于A选项，求得，由此确定选项正确.对于B选项，求得，由此确定选项正确.对于C选项，利用正弦定理求得外接圆半径，由此确定选项错误.对于D选项，证得，得到，确定选项正确.【详解】对于A选项，角最小，角最大.由余弦定理得，，，.，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，，由正弦定理得，，，由于，所以，故B选项正确.对于C选项，，，，设三角形外接圆半径为，则，故C选项错误.对于D选项，，故，同理可得，要使，则需，所以，所以，所以D选项正确.故选：ABD【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径，要注意公式是，而不是.2．已知θ，且sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），则关于tanθ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（）A．﹣3 B． C． D．【答案】CD【分析】先由已知条件判断，，得到，对照四个选项得到正确答案.【详解】∵sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），∴两边平方得：1+2，∴，∵，∴可得，，∴，又sinθ+cosθ＝a，所以cosθ＞﹣sinθ，所以所以，所以tanθ的值可能是，．故选：CD【点睛】关键点点睛：求出的取值范围是本题解题关键．3．在中，a，b，c分别为，，的对边，下列叙述正确的是（）A．若，则为等腰三角形B．若，则为等腰三角形C．若，则为钝角三角形D．若，则【答案】ACD【分析】多项选择题，一个一个选项验证：对于A：利用正弦定理判断，在三角形中只能A=B,即可判断；对于B：∵由正弦定理得，可以判断∴为等腰三角形或直角三角形；对于C：利用三角函数化简得，利用判断必有一个小于0，即可判断；对于D：利用正弦定理判断得求出角.【详解】对于A：∵由正弦定理得：，而，∴，∵A+B+C=π，∴只能A=B,即为等腰三角形，故A正确；对于B：∵由正弦定理得：，∴若可化为,即，∴或∴为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C：∵A+B+C=π，∴，∴.∵而∴必有一个小于0，∴为钝角三角形.故C正确；对于D：∵，∴由正弦定理得：,即∴∵∴.故D正确.故选：ACD【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择．4．已知函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的说法中正确的是（）A．函数最靠近原点的零点为B．函数的图像在轴上的截距为C．函数是偶函数D．函数在上单调递增【答案】ABC【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项.【详解】根据函数的部分图像知，，设的最小正周期为，则，∴，．∵，且，∴，故．令，得，，即，，因此函数最靠近原点的零点为，故A正确；由，因此函数的图像在轴上的截距为，故B正确；由，因此函数是偶函数，故C正确；令，，得，，此时函数单调递增，于是函数在上单调递增，在上单调递减，故D不正确．故选：ABC．【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间.5．设、是函数的图象与直线的交点，若、两点距离的最小值为，是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（）A．该函数图象的一个对称中心是B．该函数图象的对称轴方程是，C．在上单调递增D．【答案】ABD【分析】根据函数的基本性质求出函数的解析式，可判断D选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C选项的正误.【详解】因为、是函数的图象与直线的交点，若、两点距离的最小值为，则函数的最小正周期为，，所以，，将点的坐标代入函数的解析式，可得，则.，，则，，，D选项正确；对于A选项，，A选项正确；对于B选项，由，解得，所以，函数的图象的对称轴方程是，，B选项正确；对于C选项，当时，，所以，函数在区间上不单调，C选项错误.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成或形式，再求或的单调区间，只需把看作一个整体代入或的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．6．已知函数，则以下说法中正确的是（）A．的最小正周期为 B．在上单调递减C．是的一个对称中心 D．的最大值为【答案】ABC【分析】利用三角恒等变换思想化简，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D选项的正误.【详解】，所以，.对于A选项，函数的最小正周期为，A选项正确；对于B选项，当时，，此时，函数在上单调递减，B选项正确；对于C选项，，所以，是的一个对称中心，C选项正确；对于D选项，，D选项错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．7．设函数，已知在有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（）A．在有且仅有2个零点B．在单调递增C．的取值范围是D．将的图象先右移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数【答案】BC【分析】首先利用图象直接判断A选项；再利用函数在有且仅有5个零点，求得的范围，并利用整体代入的方法判断B选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D.【详解】A.如图，上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是在上的3个零点；B.时，若函数在有且仅有5个零点，则，得，当时，，此时函数单调递增，故BC正确；D.函数的图象先右移个单位后得到，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到，故D不正确；故选：BC【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出的取值范围，首先根据函数在区间有5个零点，首先求的范围，再分析的图象，求得的范围.8．已知函数，则（）A．的最小正周期是B．的图像可由函数的图像向左平移个单位而得到C．是的一条对称轴D．的一个对称中心是【答案】AB【分析】首先化简函数，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方法判断选项.【详解】，A.函数的最小正周期，故A正确；B.根据图象的平移变换规律，可知函数的图像向左平移个单位而得到，故B正确；C.当时，，不是函数的对称轴，故C不正确；D.当时，，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是，故D不正确.故选：AB【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间.9．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的最大值为C．函数的图象关于点对称D．函数的图象关于直线对称【答案】BD【分析】首先要熟悉的图象和性质，将在轴下方的图象沿轴翻折(轴上方的图象不变)，可以得到函数的图象，并判断选项.【详解】由题意，将在轴下方的图象沿轴翻折(轴上方的图象不变)，可以得到函数的图象，故函数的最小正周期为，故A错误；函数的最大值为，故B正确；函数的图象是由在轴下方的图象沿轴翻折(轴上方的图象不变)，所以不是中心对称图形，故C错误；由知D正确，故选：BD.【点睛】思路点睛：要判断函数的性质，需先了解函数的性质，并且知道函数在轴下方的图象沿轴翻折(轴上方的图象不变)，可以得到函数的图象，函数的周期变为原来的一半，的对称轴和对称中心都是函数的对称轴.10．在中，下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则为钝角三角形D．存在满足【答案】ABC【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD