2025年上海市松江二中高一上学期期中数学试卷及答案解析

松江二中2025学年第一学期期中考试高一数学试卷考生注意：1．试卷满分150分，考试时间120分钟；2．本表分设试券和签题纸，试卷包括三部分；3．本考试分设试卷和答题纸，每卷10分．各卷共5题，每卷20分．在试卷上作答一律不得分．4．作答必须涂写在答题纸上，在试卷上作者一样不写．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.设全集，集合，则___________．2.将写成分数指数幂的形式为___________．3.函数的定义域是__________.4.若关于的方程的解集为，则______．5.若方程的两根为、，则___________．6.已知“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围为___________．7.函数在上的最大值与最小值的差为1，则________．8.已知函数，的值域为，则的取值范围是___________．9.若不等式的解集不是空集，则的取值范围是______．10.不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图象，然后求解，请类比求解以下问题:设,，若对任意，都有，则的最小值是_____.11.已知函数.若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是__________.12.设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法：①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数；②若S只有2个元素，则必有3个元素；③若S只有2个元素，则可能有4个元素；④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素．其中所有正确说法的序号是______________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（）A B. C. D.15.已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（）A.2 B.4 C.6 D.816.设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.6三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤17.设集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．18.已知集合，集合.（1）若集合，且满足，求实数值；（2）若，求实数的取值范围19.当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人＋”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元，每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元.（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种.方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由.20.已知函数（1）若将图象向下平移（）个单位长度，所得函数图象经过点，求的值；（2）若，解关于的方程（3）若，且，解关于的不等式21.已知集合，且中至少有三个元素.如果，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，其中，（例如：），对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“优美子集”.（1）若集合，，判断，是否具有性质，并说明理由；（2）若集合具有性质，判断集合是否集合的“优美子集”，并说明理由；（3）对于集合的非空子集，证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“优美子集”.参考答案及解析：松江二中2025学年第一学期期中考试高一数学试卷考生注意：1．试卷满分150分，考试时间120分钟；2．本表分设试券和签题纸，试卷包括三部分；3．本考试分设试卷和答题纸，每卷10分．各卷共5题，每卷20分．在试卷上作答一律不得分．4．作答必须涂写在答题纸上，在试卷上作者一样不写．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.设全集，集合，则___________．【答案】【解析】【分析】利用补集的概念运算即可.【详解】由可得，所以，则.故答案为：2.将写成分数指数幂的形式为___________．【答案】【解析】【分析】根据分数与根式的化简，以及分数指数幂的运算性质，即可求解.【详解】由分数指数幂的运算公式，可得.故答案为：.3.函数的定义域是__________.【答案】【解析】【分析】由函数的定义域列出不等式，然后解分式不等式即可求得函数定义域.详解】，∴，∴，∴函数的定义域为.故答案为：.4.若关于的方程的解集为，则______．【答案】1【解析】【分析】对方程进行变形，得，根据解集为空集进一步推导关于m的等式即可求解．【详解】对方程变形，可得整式方程，，所以，由于解集为，故，解得．故答案为：1．5.若方程的两根为、，则___________．【答案】【解析】【分析】利用韦达定理结合对数恒等式可求得结果.【详解】因为方程的两根为、，由韦达定理可得，故.故答案为：.6.已知“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】分别求解不等式，根据充分而不必要性求解.【详解】因为，解得，又，解得，设，因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集，得，解得，等号不同时成立，的取值范围为.故答案为：7.函数在上的最大值与最小值的差为1，则________．【答案】或【解析】【分析】根据对数函数的单调性和值域求解即可.【详解】当时在上单调递增，因此，最大值为，最小值为.由题知，，即，得（满足）.当时在上单调递减，因此，最大值为，最小值为.由题知，，即，得（满足）.综上所述，或.故答案为：或8.已知函数，的值域为，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】当时，，求得值域为，当时，，分和，两种情况讨论，结合指数函数的单调性，即可求解.【详解】当时，，当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为，当时，，①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为，要使得函数的值域为，则，解得；②当时，函数在为单调递减，可得的值域为，此时函数的值域不可能为，舍去，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.9.若不等式的解集不是空集，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式求出最小值即可.【详解】依题意，，当且仅当时取等号，因此，由不等式的解集不是空集，得，所以的取值范围是.故答案为：10.不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图象，然后求解，请类比求解以下问题:设,，若对任意，都有，则的最小值是_____.【答案】2【解析】【分析】数形结合，探索满足的关系，再求的最小值.【详解】类比图象法解不等式，画出和的图象.因为对任意，都有，所以两个函数图象应如下图所示：由图象得：.所以.故答案为：211.已知函数.若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】不妨设，，代入得到，根据关于原点对称，求出，代入，解出，构造函数，利用在是单调递减函数，得到，从而得到的值域为，即可求得答案.【详解】不妨设，，，在上，，关于原点对称，，又，在上，，，设，在是单调递减函数，，的值域为，若存关于原点对称，则.故答案为：.12.设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法：①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数；②若S只有2个元素，则必有3个元素；③若S只有2个元素，则可能有4个元素；④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素．其中所有正确说法的序号是______________．【答案】①②【解析】【分析】对于①由条件2知正确；对于④：设，由条件1推出中元素，再由条件2推出的元素必在中，分析这些元素能得出不同的元素至少有4个，与有3个元素矛盾.对于②③：，由条件1得，若中除0外只有一个元素，由求得；若中还有另两个元素，，由条件2得出中更多的元素，类似④的推断过程，分析这些元素至少有3个不同，与中只有两个元素矛盾；【详解】对于①：由条件2知，，，且，所以若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数，故①正确；对于④：若有3个元素，不妨设，其中，则，所以，而与为两个互不相等的正数，与为两个互不相等的负数，故集合中至少有4个元素，与有3个元素矛盾，故④错误.对于②③：若有2个元素，由①知集合中的2个元素必为相反数，故可设.由条件1得，由于集合中至少有2个元素，故至少还有另外一个元素.当集合只有2个元素时，即，由条件1得，则或，故.当集合有多于2个元素时，不妨设，则，，由于，所以，又，故集合至少有3个元素，与S中只有两个元素矛盾.综上，，故②正确，③错误.故答案为：①②.【点睛】对于数学中新定义题目要仔细阅读并理解新定义的内涵，并根据新定义对知识进行迁移应用，此题中涉及集合元素个数问题，要充要利用集合元素的互异性通过列举法列出特例元素，以排除重复元素.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用不等式的基本性质，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.【详解】由时，由，即，可得，即成立，反之，例如时，满足，此时，所以“”是“”成立的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，以及充分条件、必要条件的判定，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.14.幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的定义域、对称性、单调性等知识确定正确答案.【详解】A选项，在上单调递减，不符合题意；B选项，的定义域是，图象不关于原点对称，不符合题意；C选项，是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意；D选项，是奇函数，图象关于原点对称，且在上是增函数，符合题意.故选：D15.已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】确定的所有子集，结合并集运算即可求解.【详解】的子集有：，要满足为的真子集，且的最大，由8个子集可知：两个元素的子集最多一个，若两个元素的子集有两个，任意两个的并集都是，不符合题意，单元素子集最多两个，若单元素子集有3个，，并集为，不符合题意，再包含一个空集，举例：符合题意.即的最大值是，故选：B16.设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】解题的关键在于理解的定义，然后利用基本不等式求出的最小值，再结合的定义求出的最小值.【详解】因为为正实数，所以，当且仅当时等号成立，从而中至少有一个不小于2，不妨设，则，所以.假设的最小值为2，，，所以，所以，与矛盾，假设不成立，A错误；假设的最小值为3，则，或，，同理，可得，显然不成立，B错误；假设的最小值为4，同理，易得，若取，则，即，假设成立，C正确，D错误.故选：.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤17.设集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先解不等式求出集合、，再根据并集定义计算可得；（2）依题意是的真子集，即可得到不等式组，解得即可.【小问1详解】由，即，解得，所以，当时，由，即，解得，所以，所以.【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，又恒成立，即，所以（等号不同时取到），解得，所以实数的取值范围为.18.已知集合，集合.（1）若集合，且满足，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可得，再结合韦达定理及完全平方公式求解即可；（2）由题意可得，再由，可得，分、为单元素集和，分别求解即可.【小问1详解】因为，所以，解得，由韦达定理可得，所以，又因为，所以，解得或，又因为，所以；【小问2详解】因为，所以且，又因为，所以，当时，，解得；当为单元素集时，则有，解得，此时，满足；当时，即方程的两个根为，所以，解得；综上，，所以实数的取值范围为.19.当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人＋”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元，每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元.（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种.方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由.【答案】（1）（2）方案二更合理，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出函数关系式即可；（2）分别计算出方案一与方案二的总盈利，然后比较，即可得到结果.【小问1详解】由题意，.【小问2详解】方案一：总盈利额，当时，，若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元；方案二：年均盈利额（万元），当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元.两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理.20.已知函数（1）若将的图象向下平移（）个单位长度，所得函数图象经过点，求的值；（2）若，解关于的方程（3）若，且，解关于的不等式【答案】（1）（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）确定平移后解析式，代入求解即可；（2）由指对数的运算性质将原方程化为关于的一元二次方程，结合定义域求解即可；（3）由对数的运算性质及对数函数的单调性得到且．再通过讨论和求解即可.【小问1详解】将的图象向下平移（）个单位长度所得图象对应的函数为，将点代入上式，得解得【小问2详解】当时，，所以原方程为，由，得，又，所以，所以，即，所以，考虑到，解得，所以．【小问3详解】由，得，所以且，所以且．当时，，由得，由，得，所以；当时，，，由得，由，得，所以．综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．21.已知集合，且中至少有三个元素.如果，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集