2025年上海市延安中学高一上学期期中数学试卷及答案解析

延安中学2025~2026学年高一上学期期中考试2025.11一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分）1.用符号或填空：________2.已知集合，若，则______．3.若实数，且，，则_________．4.某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有________人.5.已知关于x的不等式的解集为，则______．6.已知，，且，则的最大值为______．7.已知集合，，则______．8.若实数a，b满足a＋b<0，则不等式的解集为________．9.若不等式对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为____________．10.已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是_________.11.已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若，则，则所有这样的集合的个数为____．12.已知实数满足且，则最大值是______．二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）13.下列命题中正确的是（）A若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则14.用反证法证明命题“，若可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（）A.中至多有两个能被5整除 B.都能被5整除C.不都能被5整除 D.都不能被5整除15.香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（）A.1 B.2 C.3 D.416.对三个正实数、、，下列说法正确的是A.存在（、、）的一组值，使得、、均小于2B.存在（、、）的一组值，使得、、中恰有两个小于2C.对（、、）任意值，、、都不小于2D.对（、、）任意值，、、中至多有两个不小于2三、解答题（本大题共5题，满分46分）17.已知，．（1）求的值；（2）用m，n表示．18.设集合，集合.（1）若，求；（2）设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.19.已知幂函数在上单调递增.（1）求实数值；（2）若，求实数的取值范围.20.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．（1）写出年利润万元关于年产量x万件函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？21.问题:正实数满足，求的最小值.其中一种解法是:，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题:（1）若正实数满足，求的最小值（2）若实数，正实数满足，求证:（3）求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值.延安中学2025~2026学年高一上学期期中考试2025.11一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分）1.用符号或填空：________【答案】【解析】【分析】由元素与集合的关系即可判断.【详解】因为为无理数，为有理数集，所以，故答案为：2.已知集合，若，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的含义即可得到答案.【详解】根据补集的定义知.故答案为：.3.若实数，且，，则_________．【答案】##【解析】【分析】根据指数幂的运算法则即可得到答案.【详解】，即，即，则.故答案为：.4.某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有________人.【答案】【解析】【分析】先求出参加数学与化学竞赛的人数和，再加上两种竞赛都不参加的人数，这样就比全班总人数多算了一次数学与化学都参加的人数，因此减去总人数，就得出结果.【详解】因为参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，全班有人，因此两种竞赛都参加的有（人）故答案为.【点睛】本题考查了容斥原理公式：既是类又是类的元素=属于类元素个数+属于类的元素个数+非非元素的个数-元素总个数.是基础题.5.已知关于x的不等式的解集为，则______．【答案】-5【解析】【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程根与系数的关系计算作答.【详解】因关于x的不等式的解集为，则是方程的二根，则有，解得，所以.故答案为：-56.已知，，且，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】因为，，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为.故答案为：7.已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】令即可得到，再根据交集含义即可得到答案.【详解】当时，，则.故答案为：.8.若实数a，b满足a＋b<0，则不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】原不等式等价于(x＋a)(b－x)<0，即(x－b)(x＋a)>0，即可得解.【详解】原不等式等价于(x＋a)(b－x)<0，即(x－b)(x＋a)>0.因为a＋b<0，所以b<－a.所以原不等式的解集为．9.若不等式对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】由分子恒大于零，问题转化为“对一切x∈R恒成立”，再根据系数分类讨论即可.【详解】，∴要使不等式对一切x∈R恒成立，只需恒成立．当时，恒成立.当时，由，解得.综上，.故答案：.10.已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】由题意可得小于等于的最大值即可.【详解】因为存在，使得不等式成立，所以在上有解，所以小于等于的最大值，令，，则，所以，即的取值范围是.故答案为：11.已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若，则，则所有这样的集合的个数为____．【答案】【解析】【分析】根据集合有整数解，结合韦达定理可求出集合，再由题目信息中集合满足的两个条件，得到集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，即可求解.【详解】因为的整数解只能是36的约数，当方程的解为，36时，；当方程的解为，18时，；当方程的解为，12时，；当方程的解为，9时，；当方程的解为，6时，；当方程的解为1，时，；当方程的解为2，时，；当方程的解为，时，；当方程的解为，时，；故集合由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，即集合中互为相反数两个元素同属于集合或同不属于集合，得这样的集合共有个，故答案为：.12.已知实数满足且，则最大值是______．【答案】【解析】【分析】根据绝对值的性质分析可知，可解出的范围，再将转化为关于的式子，再结合基本不等式，即可得解.【详解】由可知，，不等式两边时乘以，得，解得.令，即.所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值是.二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）13.下列命题中正确的是（）A若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】A【解析】【分析】对选项A和B，结合各个选项的条件，利用作差法，即可求解；对于选项C和D，通过取特殊，即可求解.【详解】对于A，由，又，，则，得到，即，故A正确；对于B，因为，又，，则，故，即B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，当时，，故D错误.故选：A.14.用反证法证明命题“，若可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（）A.中至多有两个能被5整除 B.都能被5整除C.不都能被5整除 D.都不能被5整除【答案】D【解析】【分析】根据命题的结论的否定进行判断即可.【详解】“至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”，故选：D.15.香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据新定义结合对数运算求解即可【详解】由题意可知，故选：C.16.对三个正实数、、，下列说法正确的是A.存在（、、）的一组值，使得、、均小于2B.存在（、、）的一组值，使得、、中恰有两个小于2C.对（、、）任意值，、、都不小于2D.对（、、）任意值，、、中至多有两个不小于2【答案】B【解析】【分析】假设，，可根据正实数的条件确定，根据不等关系可得，利用函数思想可求得，即恒成立，从而排除；通过特殊值可验证出正确，错误.【详解】若、、均小于，则，但由基本不等式可得、、不能均小于，则错误当，，时，，存在的一组值，使得、、中恰有两个小于，则正确当，时，，存在的一组值，使得、、中有小于的值，则错误当时，存在的一组值，使得、、均不小于，则错误本题正确选项：【点睛】本题考查含逻辑联结词的命题真假性的判断，通常可采用特殊值的方式来进行排除；难点是本题中对于存在命题的排除，需借用函数恒成立的思想来进行求解，通过证明任意性来得到结论.三、解答题（本大题共5题，满分46分）17.已知，．（1）求的值；（2）用m，n表示．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，再根据对数的运算法则求出，最后根据指数、对数的关系计算可得；（2）利用换底公式及对数的运算性质计算可得.【小问1详解】因为，所以，又，所以，所以；【小问2详解】因为，，所以.18.设集合，集合.（1）若，求；（2）设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化简集合，即得解；（2）化简集合，得到集合是集合的真子集，解不等式组即得解.【详解】（1）.因为，所以，因此；（2），，因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，因此有，解得.【点睛】本题主要考查集合的关系和运算，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，考查必要不充分条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知幂函数在上单调递增.（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可得出范围；（2）由于在区间，上都是减函数，且，分三种情况讨论，即可得出．【详解】解：（1）因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递增，所以，即，所以.（2）由于在区间都是减函数，且分三种情况讨论：①当，即时，原不等式成立；②当且时，有，即，解集为空集；③当且时，有，即，∴综上所述：的取值范围是.【点睛】本题考查了幂函数的定义性质、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．（1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元【解析】【分析】（1）根据已知，分以及，分别求解，即可得出函数解析式；（2）分为以及两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案.【小问1详解】因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：当时，，当时，，∴．【小问2详解】当时，，当时，取得最大值9；当时，，此时，当即时，取得最大值.综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.21.问题:正实数满足，求的最小值.其中一种解法是:，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题:（1）若正实数满足，