四川省成都市成华区某校2025-2026学年高一上学期阶段性考试（一）数学试题含解析

学年度（上）阶段性考试（一）高级数学注意事项：本试卷满分分，考试时间分钟.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，则集合的真子集个数为（）A.7B.8C.15D.16【答案】A【解析】【分析】根据集合子集个数的计算公式即可得.【详解】集合有3个元素，故集合的真子集个数为.故选：A.2.已知命题，则是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题为全称量词命题，则是：.故选：B3.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C第1页/共15页【解析】【分析】根据相同函数的概念逐项判断即可.【详解】对于A，，A错误；对于B，的定义域为R，的定义域为，B错误；对于C，和定义域和对应关系都相同，C正确；对于D，由，解得，故的定义域为，由，解得或，的定义域为，定义域不一致，D错误.故选：C4.已知函数，则（）A.8B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求，再求得解.【详解】因为，所以.故选：B.5.已知，，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质一一判断即可.【详解】对于A：因为，，所以，故A正确；对于B：因为，，则，所以，故B正确；对于C：当时，因为，所以，当时，第2页/共15页当时，，因为，所以，所以，综上可得，故C正确；对于D：当时，因，所以，所以，当时，当时，，因为，所以，所以，所以，综上可得，故D错误；故选：D6.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据抽象函数和具体函数定义域求法，列不等式求解可得.【详解】因为函数的定义域为，所以，解得，根据解析式有意义可知，即，综上，.所以函数的定义域为.故选：A．7.要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池第3页/共15页的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（）A.2100元B.1980元C.1870元D.1760元【答案】B【解析】式求最小值，注意取值条件.【详解】设水池底部长宽分别为米，则，所以水池总造价为，当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元.故选：B8.，，若，则以下结论错误的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再由交集的结果，可知方程有两个实数根，，且，结合韦达定理计算可得.【详解】由得，解得，所以，因为，，所以方程有两个实数根，，且，所以，故D正确；又，所以，故A正确，B错误；，故C正确.故选：B36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.第4页/共15页9.若，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误.【详解】对于A，，，，，，故A正确；对于B，，，，，，故B正确；对于C，当时，，故C错误；对于D，若，则，，故D错误.故选：AB.10.关于x的不等式的解集可能是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】先因式分解，得出方程可能存在的根，再对a进行分类讨论，最后得到不等式的可能解集.【详解】因为，所以，当a＞0时，，不等式解集为；当a＝0时，，不等式解集为；当a＜0时，，若，解集为；第5页/共15页若，解集为R；若，解集为．故选：BCD已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A.B.的最大值为C.的最小值为4D.的最小值为【答案】ABC【解析】和为关于的方程的两根且理得到，即可得到，从而判断A；再利用基本不等式判断B、C、D.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以和为关于的方程的两根且，所以，所以，所以，故A正确；又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为，故B正确；，第6页/共15页当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确；因为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，故D错误.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分请把答案填涂在答题卡的相应位置上.12.有ABC三个城市，至少去过其中一个城市的有18ABC三个城市的分别有98人，人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有________人．【答案】2【解析】【分析】若同时去过有人，根据已知及容斥原理列方程求解即可.【详解】若同时去过的有人，则，可得.故答案为：213.已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为________．【答案】【解析】的解集为得到，且的性质即可求解.【详解】由题意得的两个根为，，且，第7页/共15页，，则，，则，即，即，解得，则不等式的解集为.故答案为：.14.当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据已知不等式有解得出有解，再应用基本不等式得出参数范围即可.【详解】当时，关于x的不等式有解，所以有解，所以，，当且仅当时取最小值6，则的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合.（1）若集合，且，求实数a的值；（2）若集合，且，求实数a的值.【答案】（1）1；（2）.第8页/共15页【解析】1）根据集合相等的概念，分别讨论解出实数的值即可；（2）按和进行分类讨论并由集合间的包含关系，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】因为，所以或，解得.【小问2详解】因为，所以，①当时，成立；②当时，，所以或2，解得或1，综上，实数的值为.16.已知集合，集合.（1）若，求实数m的取值范围;（2）若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围【答案】（1）（2）【解析】1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围；（2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围．【小问1详解】由，得①若，即时，，符合题意；②若，即时，需或，解得．综上，实数的取值范围为．【小问2详解】第9页/共15页p是q的充分不必要条件，∴，∴是的真子集．则不同时取等号，解得．实数的取值范围为．17.2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见..的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为.（1）当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（2）写出利润万元关于购进产品数量（万件）的函数解析式？（利润销售收入-成本）（3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？【答案】（1）200（2）（3）当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）【解析】1）根据题意和已知条件代入求解即可；（2）对进行分类讨论写出的解析式；（3）对分类讨论写出各段函数的最大值进行比较.【小问1详解】第10页/共15页（万元）.所以当购进产品数量为10万件时，利润是200万元.【小问2详解】当时，，当时，不妨设降价元，购进产品全部售出，则，得到，所以，当时，，所以【小问3详解】由（2）知，当时，，当450当时，，当500当时，，当且仅当，即，当910因为，所以当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）.18.已知是二次函数，满足且满足条件.（1）求的解析式；（2）若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；第11页/共15页（3）解关于x的不等式：.【答案】（1）（2）（3）答案见解析【解析】1）由题意设，由得，再由列式解得，即可得；（2）依题意对于恒成立，对二次项系数为零与否分类讨论，分别求出参数的取值范围最后取并集即可；（3）将代入按与和的大小关系分类讨论求解含参不等式即可.【小问1详解】设，由得，，故，因为，所以，即，所以，，所以.【小问2详解】对一切实数x恒成立，即恒成立①当时，恒成立；②当时，，解得，综上的取值范围为.第12页/共15页【小问3详解】，即，即，①当时，此时，解集为；②当时，不等式可化为，解集为；③当时，此时，解集为或；④当时，不等式化为，解集为；⑤当时，此时，解集为或.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或..19.设集合，其中，正整数．若对任意，与至少有一个属于，则称具有性质．（1）分别判断集合与是否具有性质，并说明理由；（2）当时，若具有性质，且，求集合；（3）记，若具有性质，求的值.【答案】（1）集合具有性质，集合不具有性质，理由见解析．（2）第13页/共15页（3）【解析】1）利用给定定义证明即可.（2）利用给定条件结合集合的互异性求解即可.（3）由及可得，，，，