函数的单调性极值北师大选修一教例教案（2025-2026学年）

函数的单调性极值北师大选修一教例教案（2025—2026学年）一、教学分析1.教材分析：本节课内容选自北师大选修一，针对高中阶段的学生。根据教学大纲和课程标准，本节课旨在帮助学生理解和掌握函数的单调性和极值的相关概念，为后续学习函数的图像和性质打下基础。本节课的核心概念包括函数的单调性、极值点、最大值和最小值等。这些概念与函数的定义、导数等知识紧密相关，是后续学习函数性质的重要基石。2.学情分析：高中学生对函数的基本概念已有一定了解，但可能对函数的单调性和极值的概念理解不够深入。学生在生活经验中可能对“增减性”和“极值”有一定的直观感受，但在数学表达上可能存在困难。此外，学生可能对函数的导数概念理解不透彻，导致在分析函数单调性和极值时出现混淆。因此，教学设计需注重从直观到抽象的过渡，帮助学生建立正确的数学模型。3.教学目标与策略：本节课的教学目标是让学生理解并掌握函数的单调性和极值的概念，能够运用这些概念分析具体函数的性质。教学策略包括：通过实例引入，帮助学生建立直观印象；通过小组讨论和合作学习，提高学生的分析能力和解决问题的能力；通过练习和测试，巩固学生对知识的理解和应用能力。教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动探索，培养学生的数学思维。二、教学目标1.知识目标：能够说出函数单调性的定义，并列举出单调递增和递减的函数实例。解释函数极值的定义，并能够识别函数的极大值和极小值点。理解导数在判断函数单调性和极值中的应用，能够计算并解释导数的符号。2.能力目标：通过分析具体函数，设计并运用导数判断函数的单调性和极值。能够论证函数在特定区间内的单调性和极值，展示逻辑推理能力。在解决实际问题时，评价函数的单调性和极值对问题解决的影响。3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学问题的探究兴趣，激发对函数性质深入研究的欲望。增强学生的数学应用意识，认识到数学在解决实际问题中的重要性。培养学生的团队合作精神，通过小组讨论和合作学习共同解决问题。三、教学重难点教学重点在于理解函数单调性和极值的定义，掌握利用导数判断函数单调性和极值的方法。教学难点在于学生可能对导数概念的理解不足，导致在分析函数单调性和极值时难以建立正确的数学模型，需要通过实例分析和练习来帮助学生突破这一难点。四、教学准备教学准备：为有效开展“函数的单调性极值”教学，教师需准备包括多媒体课件、函数图像图表、导数概念图解等教具，以及相关的音频视频资料。学生需预习教材内容，准备画笔、计算器等学习用具。此外，将教室座位重新排列为小组讨论形式，并设计黑板板书框架，以便于课堂演示和互动。五、教学过程导入时间：5分钟教师活动：1.创设情境：展示一组生活中的图像，如气温变化图、股价走势图等，引导学生观察并提问：“这些图像反映了什么规律？如何用数学语言描述这种规律？”2.引出主题：引导学生思考函数与图像的关系，引出“函数的单调性和极值”这一主题。学生活动：1.观察图像：仔细观察展示的图像，尝试找出其中的规律。2.思考问题：思考如何用数学语言描述图像中的规律。3.回答问题：积极参与讨论，尝试回答教师提出的问题。新授时间：35分钟任务一：函数单调性的定义与判断目标：理解函数单调性的定义，能够判断函数的单调性。活动方案：1.教师讲解：讲解函数单调性的定义，并通过实例说明。2.学生练习：学生独立完成判断函数单调性的练习题。3.小组讨论：小组讨论判断函数单调性的方法。4.展示与讲解：小组代表展示解题过程，其他同学评价。教师活动：1.讲解定义：详细讲解函数单调性的定义，并通过图像和表格进行说明。2.提问与引导：针对学生的练习情况，提出问题并引导学生思考。3.组织讨论：鼓励学生积极参与讨论，并给予适当的指导。4.评价与反馈：评价学生的展示，给予积极的反馈。学生活动：1.理解定义：认真听讲，理解函数单调性的定义。2.独立练习：独立完成判断函数单调性的练习题。3.参与讨论：积极参与小组讨论，分享自己的思路和方法。4.展示与讲解：清晰展示解题过程，并能够解释自己的思路。即时评价标准：能够正确理解函数单调性的定义。能够准确判断函数的单调性。能够运用所学知识解决实际问题。任务二：函数极值的定义与判断目标：理解函数极值的定义，能够判断函数的极值点。活动方案：1.教师讲解：讲解函数极值的定义，并通过实例说明。2.学生练习：学生独立完成判断函数极值点的练习题。3.小组讨论：小组讨论判断函数极值点的方法。4.展示与讲解：小组代表展示解题过程，其他同学评价。教师活动：1.讲解定义：详细讲解函数极值的定义，并通过图像和表格进行说明。2.提问与引导：针对学生的练习情况，提出问题并引导学生思考。3.组织讨论：鼓励学生积极参与讨论，并给予适当的指导。4.评价与反馈：评价学生的展示，给予积极的反馈。学生活动：1.理解定义：认真听讲，理解函数极值的定义。2.独立练习：独立完成判断函数极值点的练习题。3.参与讨论：积极参与小组讨论，分享自己的思路和方法。4.展示与讲解：清晰展示解题过程，并能够解释自己的思路。即时评价标准：能够正确理解函数极值的定义。能够准确判断函数的极值点。能够运用所学知识解决实际问题。任务三：利用导数判断函数的单调性和极值目标：理解导数在判断函数单调性和极值中的应用。活动方案：1.教师讲解：讲解导数在判断函数单调性和极值中的应用，并通过实例说明。2.学生练习：学生独立完成利用导数判断函数单调性和极值的练习题。3.小组讨论：小组讨论利用导数判断函数单调性和极值的方法。4.展示与讲解：小组代表展示解题过程，其他同学评价。教师活动：1.讲解应用：详细讲解导数在判断函数单调性和极值中的应用，并通过图像和表格进行说明。2.提问与引导：针对学生的练习情况，提出问题并引导学生思考。3.组织讨论：鼓励学生积极参与讨论，并给予适当的指导。4.评价与反馈：评价学生的展示，给予积极的反馈。学生活动：1.理解应用：认真听讲，理解导数在判断函数单调性和极值中的应用。2.独立练习：独立完成利用导数判断函数单调性和极值的练习题。3.参与讨论：积极参与小组讨论，分享自己的思路和方法。4.展示与讲解：清晰展示解题过程，并能够解释自己的思路。即时评价标准：能够理解导数在判断函数单调性和极值中的应用。能够准确运用导数判断函数的单调性和极值。能够运用所学知识解决实际问题。任务四：分析函数图像与单调性、极值的关系目标：理解函数图像与单调性、极值的关系。活动方案：1.教师讲解：讲解函数图像与单调性、极值的关系，并通过实例说明。2.学生练习：学生独立完成分析函数图像与单调性、极值的关系的练习题。3.小组讨论：小组讨论分析函数图像与单调性、极值的关系的方法。4.展示与讲解：小组代表展示解题过程，其他同学评价。教师活动：1.讲解关系：详细讲解函数图像与单调性、极值的关系，并通过图像和表格进行说明。2.提问与引导：针对学生的练习情况，提出问题并引导学生思考。3.组织讨论：鼓励学生积极参与讨论，并给予适当的指导。4.评价与反馈：评价学生的展示，给予积极的反馈。学生活动：1.理解关系：认真听讲，理解函数图像与单调性、极值的关系。2.独立练习：独立完成分析函数图像与单调性、极值的关系的练习题。3.参与讨论：积极参与小组讨论，分享自己的思路和方法。4.展示与讲解：清晰展示解题过程，并能够解释自己的思路。即时评价标准：能够理解函数图像与单调性、极值的关系。能够准确分析函数图像与单调性、极值的关系。能够运用所学知识解决实际问题。任务五：应用函数的单调性和极值解决实际问题目标：理解函数的单调性和极值在实际问题中的应用。活动方案：1.教师讲解：讲解函数的单调性和极值在实际问题中的应用，并通过实例说明。2.学生练习：学生独立完成应用函数的单调性和极值解决实际问题的练习题。3.小组讨论：小组讨论应用函数的单调性和极值解决实际问题的方法。4.展示与讲解：小组代表展示解题过程，其他同学评价。教师活动：1.讲解应用：详细讲解函数的单调性和极值在实际问题中的应用，并通过实例进行说明。2.提问与引导：针对学生的练习情况，提出问题并引导学生思考。3.组织讨论：鼓励学生积极参与讨论，并给予适当的指导。4.评价与反馈：评价学生的展示，给予积极的反馈。学生活动：1.理解应用：认真听讲，理解函数的单调性和极值在实际问题中的应用。2.独立练习：独立完成应用函数的单调性和极值解决实际问题的练习题。3.参与讨论：积极参与小组讨论，分享自己的思路和方法。4.展示与讲解：清晰展示解题过程，并能够解释自己的思路。即时评价标准：能够理解函数的单调性和极值在实际问题中的应用。能够准确应用函数的单调性和极值解决实际问题。能够运用所学知识解决实际问题。巩固时间：5分钟教师活动：1.总结回顾：引导学生回顾本节课所学内容，强调重点和难点。2.提问与解答：针对学生的提问，进行解答和指导。学生活动：1.回顾总结：认真回顾本节课所学内容，总结重点和难点。2.提问与回答：积极参与提问和回答，巩固所学知识。小结时间：2分钟教师活动：1.总结：对本节课的教学内容进行总结，强调重点和难点。2.展望：引导学生思考下一节课的内容，激发学生的学习兴趣。学生活动：1.总结：认真总结本节课所学内容，思考重点和难点。2.展望：思考下一节课的内容，为后续学习做好准备。当堂检测时间：3分钟教师活动：1.出题：根据本节课的教学内容，出一份当堂检测题。2.讲解：对当堂检测题进行讲解，帮助学生理解。学生活动：1.答题：认真完成当堂检测题。2.思考：思考解题思路，巩固所学知识。六、作业设计基础性作业：内容：完成教材中的相关练习题，包括判断函数单调性和极值点的题目，以及利用导数判断函数单调性和极值点的题目。完成形式：书面练习，要求学生独立完成，并在课后提交。提交时限：下节课前。能力培养目标：巩固学生对函数单调性和极值概念的理解，提高学生运用基本概念解决实际问题的能力。拓展性作业：内容：分析并比较不同类型函数的单调性和极值性质，如线性函数、二次函数、指数函数等，并撰写简要的分析报告。完成形式：研究报告，要求学生结合具体实例进行分析，并在报告中展示自己的分析过程和结论。提交时限：两周后。能力培养目标：提升学生的分析能力和比较能力，培养学生在不同情境下应用数学知识的能力。探究性/创造性作业：内容：设计一个数学小项目，如制作一个关于函数单调性和极值的学习软件或动画，要求学生能够结合所学知识，创新性地解决问题。完成形式：小项目展示，要求学生展示自己的项目设计、开发过程和成果。提交时限：一个月后。能力培养目标：激发学生的创新思维和实践能力，培养学生的自主学习能力和团队协作精神。七、本节知识清单及拓展1.函数单调性的定义：函数在某一区间内，若对于任意两个数\(x_1,x_2\)（\(x_1<x_2\)），都有\(f(x_1)\leqf(x_2)\)或\(f(x_1)\geqf(x_2)\)，则称函数在该区间上单调递增或单调递减。2.函数极值的定义：函数在某一区间内，若存在\(x_0\)，使得对于任意\(x\)（\(x\neqx_0\)），都有\(f(x_0)\leqf(x)\)或\(f(x_0)\geqf(x)\)，则称\(f(x_0)\)为函数在该区间内的极大值或极小值。3.利用导数判断函数单调性：通过计算函数的导数，若\(f'(x)>0\)在某区间内恒成立，则\(f(x)\)在该区间内单调递增；若\(f'(x)<0\)在某区间内恒成立，则\(f(x)\)在该区间内单调递减。4.极值点的判断：函数的极值点通常出现在导数为零或不存在的点。5.导数与极值的关系：导数可以用来确定函数的极值点，通过分析导数的符号变化来判断极值的类型。6.函数单调性和极值在实际问题中的应用：在物理学、经济学、工程学等领域，函数的单调性和极值用于分析和预测系统行为。7.函数图像与单调性、极值的关系：通过函数图像可以直观地看到函数的单调性和极值点的位置。8.如何通过图像判断函数的单调性和极值：观察图像的上升或下降趋势，以及局部最高点和最低点。9.多元函数的单调性和极值：多元函数的单调性和极值分析涉及偏导数的计算和应用。10.极限与单调性、极值的关系：在分析单调性和极值时，有时需要考虑函数的极限行为。11.单调性和极值在数学竞赛中的应用：在数学竞赛中，正确运用单调性和极值知识是解决问题的关键。12.单调性和极值教学中的误区：避免将单调性和极值视为孤立的概念，应与函数的图像、导数等知识有机结合。13.单调性和极值在高等数学中的基础作用：在高等数学中，单调性和极值是理解函数性质和求解问题的基石。14.如何培养学生的单调性和极值分析能力：通过实例分析、小组讨论和练习，帮助学生建立数学模型和逻辑推理能力。15.单调性和极值与其他数学概念的关联：如导数、微分、积分等，理解这些概念之间的相互关系。16.单调性和极值在数学建模中的应用：在解决实际问题时，运用单调性和极值分析可以帮助找到最优解。17.如何设计有效的单调性和极值教学活动：结合学生兴趣和实际应用，设计互动性强、挑战性的教学活动。18.单调性和极值教学中的评估方法：通过课堂表现、作业和测试，评估学生对单调性和极值知识的掌握程度。19.单调性和极值在跨学科教学中的应用：如在物理、经济、环境科学等领域的跨学科问题中应用单调性和极值分析。20.单调性和极值在终身学习中的重要性：掌握这一数学工具