第1课时角平分线的性质定理及其逆定理课件湘教版数学八年级上学期

第5章直角三角形5.4角平分线的性质第1课时

角平分线的性质定理及其逆定理1.探究并理解角平分线的性质定理.2.探究并理解角平分线性质定理的逆定理.3.能初步运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的推理与证明.1.角平分线的定义OBCA12从角的顶点出发引出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.如图，射线OC是∠AOB的平分线.2.右图中能表示点P到直线l的距离的是

.线段PC的长3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是

.AAPPl1l2l1l2图1图2图1PlABCDPABCD探究：

在∠AOB

的平分线

OC

上任取一点

P，作

PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点

D、E.

比较线段

PD，PE

的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？猜想：PD=PE

你能证明它吗?CP∟EAOB∟DPD=PE△PDO≌△PEO分析：∠PDO=∠PEO=90°,∠DOP=∠EOP,OP=OP,AOBPDEC证明：因为PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，所以∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中,∠PDO=∠PEO,∠DOP=∠EOP,OP=OP,所以△PDO≌△PEO(角角边).因此PD=PE.CP∟EAOB∟D应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；(3)垂直距离.定理的作用：证明线段相等.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.AOBPDEC要点归纳因为∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，所以

PD=PE.(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等).几何语言：注意：证明距离相等时的三个理由，必须写全，不能遗漏.OCB1A2PDE角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等逆命题:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.说一说：角平分线性质定理的的逆命题是什么?是真命题吗？AOBPDECOEBADP分析：只要画射线OP，证明OP平分∠AOB即可.C∟∟已知：如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，若PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.逆命题:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.证明：过点O，P作射线OC.因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中，

OP=OP,PD=PE,所以Rt△PDO≌Rt△PEO(斜边、直角边)，从而∠AOC=∠BOC.OEBADPC∟∟角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：定理的作用：判断点是否在角平分线上.（1）位置关系：点在角的内部.（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.AOBPDEC要点归纳几何语言：因为PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB所以∠1=∠2.即点P∠AOB的平分线OC上.三个理由，必须写全OCB1A2PDE例1

如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证:(1)点B在∠ADC的平分线上;(2)BD平分∠ABC.分析：点B在∠ADC的平分线上根据条件只需证明AB=BC已知∠1=∠2BD平分∠ABC.∠ABD=∠CBDRt△BAD≌Rt△BCD证明：(1)在△ABC中，因为∠1=∠2，所以BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，所以点B在∠ADC的平分线上(2)在Rt△BAD和Rt△BCD中，BA=BC,BD=BD, 所以Rt△BAD≌Rt△BCD(斜边、直角边).因此∠ABD=∠CBD，从而BD平分∠ABC.1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(

)A．PC＝PD

B．∠CPO＝∠DOP

C．∠CPO＝∠DPO

D．OC＝ODB2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于(

)A．4

B．3

C．2

D．1C3.已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB，BC的距离相等，那么点M(

)

A．在AC边的高上B．在AC边的中线上

C．在∠ABC的平分线上D．在AC边的垂直平分线上C4.如图，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM与PN的大小关系是(

)A．PM>PN

B．PM＝PNC．PM<PN

D．无法确定B5.如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点0，且AO平分∠BAC.求证:OB=OC.证明:因为AO平分∠BAC,CE⊥AB，BD⊥AC所以OE=OD.在△OBE和△OCD中∠EOB=∠DOC,OE=OD，

∠B