高三数学（理）一轮复习习题听课-第二单元函数导数及其应用

第二单元函数、导数及其应用第4讲函数概念及其表示课前双击巩固1.函数与映射的概念函数映射两集合A,B设A,B是两个

设A,B是两个

对应关系f:A→B按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的一个数x,在集合B中都有的数f(x)与之对应

按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的一个元素x,在集合B中都有的元素y与之对应

名称称为从集合A到集合B的一个函数

称对应为从集合A到集合B的一个映射

记法y=f(x),x∈A对应f:A→B2.函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的.

3.函数的表示法函数的常用表示方法:、、.

4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.

常用结论1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx的定义域均为R.(5)y=tanx的定义域为x|(6)函数f(x)=xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为4ac-b24a,+∞(3)y=kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.题组一常识题1.[教材改编]以下属于函数的有.(填序号)

①y=±x;②y2=x1;③y=x-2+1-x;④y=x22(x2.[教材改编]已知函数f(x)=lnx-2,x>0,x+a,x≤0,3.[教材改编]函数f(x)=8-xx4.[教材改编]已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有种.

题组二常错题◆索引:对函数概念理解不透彻;对分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻.5.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是.(填序号)

①f:x→y=12x;②f:x→y=13x;③f:x→y=23x;④f:x→6.设函数f(x)=(x+1)2,x<1,4-x7.已知f(x)=x1,则f(x)=.

8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有个.

课堂考点探究探究点一函数的定义域考向1求给定函数解析式的定义域1(1)[2017·洛阳调研]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=elnx的定义域和值域相同的是 ()A.y=x B.y=lnxC.y=1x D.y=10(2)[2017·揭阳二模]函数f(x)=x+1+lg(63x)的定义域为 (A.(∞,2) B.(2,+∞)C.[1,2) D.[1,2][总结反思]已知解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可.考向2求抽象函数的定义域2(1)若函数y=f(x)的定义域为[1,1),则函数y=f(x23)的定义域为.

(2)已知f(2x)的定义域是[1,2],则f(log2x)的定义域为.

[总结反思](1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域;(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.考向3已知定义域求参数范围3(1)设f(x)的定义域为[0,1],要使函数f(xa)+f(x+a)有定义,则a的取值范围为 ()A.-∞,-B.-C.1D.-∞,-12(2)已知函数y=mx2-6mx+9m+8[总结反思]根据函数的定义域,将问题转化为含参数的不等式(组),进而求解参数范围.强化演练1.【考向2】已知函数y=f(x)的定义域是[2,3],则y=f(2x1)的定义域是 ()A.0,52 B.[1C.-12,2 D.[2.【考向2】若函数y=f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=f(2x)xA.[0,1)B.[0,1]C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)3.【考向1】[2017·江西重点中学盟校联考]函数y=ln1+1x+1-x2的定义域为4.【考向3】函数f(x)=1ax2+x+a的定义域为5.【考向3】记函数f(x)=2-x+3x+1的定义域为A,g(x)=lg[(xa1)(2ax)](a<1)的定义域为B.若B⊆A,探究点二函数的解析式4(1)已知f3x-1=lnx,则f(x)=(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=5,f(x+1)f(x)=x1,则f(x)=.

(3)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=3x·f1x+1,则f(x)=[总结反思]求函数解析式的常用方法:(1)待定系数法:已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)构造法:已知关于f(x)与f1x(或f(x))的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)(4)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.式题(1)已知f(x+1)=x+2x,则f(x)=.

(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1x),则当1≤x<0时,f(x)=.

(3)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)=lg(x+1),则f(x)=.

探究点三分段函数考向1分段函数的函数求值问题5(1)[2017·河南新乡二模]已知函数f(x)=1-2x,x≤0,x12,(2)[2017·抚州七校联考]设函数f(x)=1+log6x,x≥4,f(x2[总结反思]求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系,对于复合函数的求值问题,应由里到外地依次求值.考向2分段函数的自变量求值问题6[2017·湘潭一中、长沙一中等六校联考]已知f(x)=2x-2,x≥0,-x2+3,x<0,A.2 B.1或2C.±1或2 D.1或2[总结反思]与分段函数有关的自变量的求值问题,求解关键是分类讨论思想的应用.考向3分段函数与方程、不等式问题7(1)已知函数f(x)=log13x,x>0,2x,x≤0,若A.(1,0)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(1,0)∪3D.-(2)[2017·渭南二模]设f(x)=log4x-1,x>0,2x-x[总结反思]涉及与分段函数有关的不等式与方程问题,主要表现为解不等式(或方程).若自变量取值不确定,则要分类讨论求解;若自变量取值确定,则只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.强化演练1.【考向1】[2017·桂林中学三模]已知函数f(x)=13x,x≥3,f(x+1),x<A.227 B.C.227 D.2.【考向1】已知a>0且a≠1,函数f(x)=log13x,x>0,ax+b,x≤0满足f(0)=2,f(1A.3 B.2C.3 D.23.【考向2】[2017·石家庄二中三模]已知函数f(x)=-log2(3-x),x<2,2xA.2 B.1C.1或12 D.4.【考向3】已知函数f(x)=2-2x,x≤-1,2x+2,xA.(∞,2)∪(0,+∞)B.(1,0)C.(2,0)D.(∞,1]∪[0,+∞)5.【考向3】设函数f(x)=3x-1,x<1,2x,x≥1,则满足f[f(aA.23,1 B.[0C.23,+∞ D.[第5讲函数的单调性与最值课前双击巩固1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图像描述自左向右看图像是

自左向右看图像是

2.单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫作函数y=f(x)的单调区间.

3.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(1)对于任意x∈I,都有;

(2)存在x0∈I,使得

结论M为最大值M为最小值常用结论1.复合函数的单调性函数y=f(u),u=φ(x),在函数y=f[φ(x)]的定义域上,如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相同,则y=f[φ(x)]单调递增;如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相反,则y=f[φ(x)]单调递减.2.单调性定义的等价形式设任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2.(1)若有(x1x2)[f(x1)f(x2)]>0或f(x1)-f(x2)x1-x2>0(2)若有(x1x2)[f(x1)f(x2)]<0或f(x1)-f(x2)x1-x2<03.函数单调性的常用结论(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同,若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反.(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=f(x),y=1f((4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=f(x题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=(2a1)x3是R上的减函数,则a的取值范围是.

2.[教材改编]函数f(x)=(x2)2+5(x∈[3,3])的单调递增区间是;单调递减区间是.

3.[教材改编]函数f(x)=3x+1(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于4.函数f(x)=|xa|+1在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.

题组二常错题◆索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.5.函数f(x)=ln(4+3xx2)的单调递减区间是.

6.已知函数f(x)=(a-2)x,x≥2,12x-1,x<27.函数y=f(x)是定义在[2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是.

8.(1)若函数f(x)=x2+2(a1)x+2在区间(∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是.

(2)若函数f(x)=x2+2(a1)x+2的单调递减区间为(∞,4],则a的值为.

课堂考点探究探究点一函数单调性的判断与证明1判断函数f(x)=axx2-1(a>0),x∈(1,1)的单调性[总结反思](1)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差f(x1)f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断f(x1)f(x2)的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(2)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.式题[2017·南阳一中月考]下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是 ()A.y=x2+1B.y=|x1|C.y=x3D.y=2x探究点二求函数的单调区间2(1)[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=ln(x22x8)的单调递增区间是 ()A.(∞,2) B.(∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)(2)设函数f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g([总结反思]求函数单调区间的常见方法:(1)定义法;(2)图像法;(3)导数法.求复合函数单调区间的一般解题步骤为:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”.式题(1)函数y=142x2-3A.(1,+∞) B.-∞,C.12,+∞(2)函数f(x)=(a1)x+2在R上单调递增,则函数g(x)=a|x2|的单调递减区间是.

探究点三函数单调性的应用考向1利用函数的单调性比较大小3(1)[2017·吉林实验中学二模]设a=log52,b=3257,c=log73,则a,b,c的大小关系是 (A.b>a>c B.a>c>bC.b>c>a D.a>b>c(2)[2017·达州二诊]已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意x∈(0,+∞),f[f(x)lnx]=e+1,设a=f1213,b=f1312,c=f(log2π),则a,b,c的大小关系是[总结反思]比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.考向2利用函数的单调性解决不等式问题4(1)已知函数fx的定义域为R,对任意x1<x2,都有fx1fx2<x1x2,且f-3=4,则不等式flog12|3x-1|>logA.2B.-∞,C.0,1D.-∞,0∪(2)[2017·云南师大附中月考]已知函数f(x)=ex+x3,若f(x2)<f(3x2),则实数x的取值范围是.

[总结反思]解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义,具体步骤是:(1)将函数不等式转化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函数f(x)的单调性;(3)据函数f(x)的单调性去掉法则“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解.考向3利用函数的单调性求最值问题5设函数f(x)=2017x+1+20162017x+1+2016sinx,x∈π2,π2的最大值为M,[总结反思]若函数在区间[a,b]上单调,则必在区间的端点处取得最值;若函数在区间[a,b]上不单调,则最小值为函数在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值.考向4利用函数的单调性求参数6[2017·南充三模]已知f(x)=(3-a)x,x∈(-∞,1],ax,x∈(1A.(0,3) B.(1,3)C.(1,+∞) D.3[总结反思](1)根据函数的单调性,将题设条件转化为含参数的不等式(组),即可求出参数的值或范围;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.强化演练1.【考向1】已知函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(0,+∞),恒有(x1x2)·[f(x1)f(x2)]<0成立.若a=f(log47),b=f(log23),c=f(0.20.6),则a,b,c的大小关系是 ()A.c<b<a B.b<a<cC.b<c<a D.a<b<c2.【考向2】已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x24)<2,则实数x的取值范围是.

3.【考向3】[2017·青岛一模]已知函数f(x)=log13x,x>14.【考向4】若函数f(x)=2|xa|(a∈R)满足f(1+x)=f(1x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于.

5.【考向4】[2017·武汉调研]若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)上单调递增,则实数a的取值范围为.

第6讲函数的奇偶性与周期性课前双击巩固1.函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有,那么函数f(x)是偶函数

都有,那么函数f(x)是奇函数

图像特征关于对称

关于对称

2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫作f(x)的最小正周期.

常用结论1.奇(偶)函数定义的等价形式(1)f(x)=f(x)⇔f(x)f(x)=0⇔f(-x)f(x)=1(2)f(x)=f(x)⇔f(x)+f(x)=0⇔f(-x)f(x)=12.对f(x)的定义域内任一自变量的值x,最小正周期为T(1)若f(x+a)=f(x),则T=2|a|;(2)若f(x+a)=1f(x),则(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|ab|.3.函数图像的对称关系(1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(bx),则f(x)的图像关于直线x=a+b(2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(bx),则f(x)的图像关于点a+b题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=x21,f(x)=x3,f(x)=x2+cosx,f(x)=1x+|x|中,偶函数的个数是2.[教材改编]若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[b,a]上是函数;若偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[b,a]上是函数.

3.[教材改编]已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x1,则f(2)=.

4.[教材改编]已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=log4(x2+3),则f(2017)=.

题组二常错题◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;找不到周期函数的周期从而求不出结果;性质应用不熟练,找不到解题方法;利用奇偶性求解析式时忽略定义域.5.函数f(x)=lg(1-x2)|6.具有性质f1x=f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.有下列函数:①f(x)=x1x;②f(x)=x+1x;③f(x)=x,0<7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=fx+32,且f(1)=2,则f(2017)8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+4x3,则函数f(x)的解析式为f(x)=.

课堂考点探究探究点一函数奇偶性的判断1(1)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数(2)下列函数奇偶性的判断,正确的是 ()①f(x)=2-x2+x2-2;②f③f(x)=xA.①是奇函数,②是奇函数,③是偶函数B.①是偶函数,②是奇函数,③是偶函数C.①既是奇函数又是偶函数,②是奇函数,③是奇函数D.①既是奇函数又是偶函数,②是偶函数,③是偶函数[总结反思]判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(x)=0(奇函数)或f(x)f(x)=0(偶函数)是否成立.式题(1)[2017·衡水中学三调]已知函数f(x)=x2x-1,g(x)=x2,则下列结论正确的是A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数B.h(x)=f(x)+g(x)是奇函数C.h(x)=f(x)g(x)是奇函数D.h(x)=f(x)g(x)是偶函数(2)下列函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是 ()A.f(x)=x+sin2x B.f(x)=x2cosxC.f(x)=3x13x D.f(x)=x2+tan探究点二函数的周期性2(1)已知函数f(x)满足fx34=fx+34,当x∈0,32时,f(x)=ln(x2x+1),则函数f(x)在区间(0,6]上的零点个数是 ()A.3 B.4C.5 D.6(2)[2017·芜湖二模]已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)=23,且对任意的x都有f(x+2)=1-f(x),则f(2018)A.23 B.2+3C.23 D.2+3[总结反思](1)只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合考查.(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.式题已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,当x∈(1,4]时,f(x)=3x1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=.

探究点三函数性质的综合应用考向1奇偶性的应用3(1)[2017·福建四地六校联考]设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(2)=()A.12 B.C.2 D.2(2)[2017·许昌二模]已知函数f(x)=2|x|+1+x3+22|x|A.0 B.2C.4 D.8[总结反思]利用函数的奇偶性可以解决以下问题:(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得出方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图像:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值和为零可求一些特殊结构的函数值.考向2奇偶性与单调性4(1)已知f(x)是奇函数,并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λx)只有一个零点,则实数λ的值是 ()A.14 B.C.78 D.(2)设偶函数f(x)满足f(x)=2x4(x≥0),则满足f(a2)>0的实数a的取值范围为 ()A.(2,+∞)B.(4,+∞)C.(0,4)D.(∞,0)∪(4,+∞)[总结反思](1)利用偶函数在关于坐标原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于坐标原点对称的区间上单调性相同,可以把函数不等式化为一般的不等式;(2)注意偶函数性质f(x)=f(|x|)的应用.考向3奇偶性与周期性5(1)[2017·广州花都区二模]已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=1,则f(2016)+f(2017)= ()A.2 B.1C.0 D.1(2)若偶函数y=f(x),x∈R满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x2,则方程f(x)=sin|x|在[10,10]内的根的个数为.

[总结反思]利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值,把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质.考向4奇偶性﹑周期性与单调性6(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x),且f(x)=f(x+6),当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,则f(x)在下列哪个区间上单调递减 ()A.[3,7] B.[4,5]C.[5,8] D.[6,10](2)[2017·哈尔滨六中二模]定义在R上的奇函数f(x)满足fx+32=f(x),当x∈0,12时,f(x)=log12(1x),则f(x)在区间1,32内是 ()A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0[总结反思]解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.强化演练1.【考向1】[2018·济南外国语学校月考]已知函数y=f(x),满足y=f(x)和y=f(x+2)是偶函数,且f(1)=π3,设F(x)=f(x)+f(x),则F(3)= (A.π3 B.C.π D.42.【考向2】[2017·大连二模]已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(lnx)<f(2),则x的取值范围是 ()A.(0,e2) B.(e2,+∞)C.(e2,+∞) D.(e2,e2)3.【考向4】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)=f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则()A.f(25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(25)C.f(11)<f(80)<f(25)D.f(25)<f(80)<f(11)4.【考向3】设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1x),则f-52=5.【考向3】[2017·武汉模拟]设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时,f(x)=2x1.则f12+f(1)+f32+f(2)+f52第7讲二次函数与幂函数课前双击巩固1.二次函数的图像和性质解析式y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)图像定义域RR值域

单调性在上单调递减,在

-b在上单调递增,在

-b顶点坐标

奇偶性当时为偶函数

对称轴方程x=b2.幂函数(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较函数y=xy=x2y=x3y=xy=x1图像性质定义域RRR

值域R

R

奇偶性函数

函数

函数

函数

函数

单调性在R上单调递增在上单调递减;在上单调递增

在R上单调递增在

上单调递增在和上单调递减

公共点

常用结论1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:f(x)=a(xm)2+n(a≠0).(3)零点式:f(x)=a(xx1)(xx2)(a≠0).2.一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”.题组一常识题1.[教材改编]若函数f(x)=4x2kx8在5,20上是单调函数,则实数k的取值范围是2.[教材改编]已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,2),则函数f(x)=.

3.[教材改编]已知f(x)=x22x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是.

4.[教材改编]若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线x=1对称,则b=.

题组二常错题◆索引:图像特征把握不准出错;二次函数的单调性理解不到位;幂函数的图像掌握不到位.5.如图271,若a<0,b>0,则函数y=ax2+bx的大致图像是(填序号).

图2716.设二次函数f(x)=x2x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m1)(填“>”“<”或“=”)0.

7.若函数y=mx2+x+5在[2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是.

8.已知当x∈0,1时,函数y=xp的图像在直线y=x的上方,则p的取值范围是课堂考点探究探究点一幂函数的图像和性质1(1)若幂函数y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图像大致是 ()图272(2)[2017·南阳一中月考]已知函数f(x)=(m2m1)x4m9-m5-1是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1x2)[f(x1)f(x2)]>0.若a,b∈R且a+b>0,ab<0,则f(a)+fA.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断[总结反思]幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同,解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.式题幂函数的图像经过点2,14,则它的单调递增区间是 ()A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(∞,+∞)D.(∞,0)探究点二二次函数的解析式2(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(1)=0,则f(x)=.

(2)已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2x)=f(2+x),则f(x)=.

[总结反思]求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图像与x轴两交点的坐标,宜选用零点式.式题(1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1,则f(x)=.

(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(∞,4],则该函数的解析式为f(x)=.

探究点三二次函数的图像与性质考向1二次函数的单调性问题3(1)[2017·安徽江淮十校三模]函数f(x)=x2bx+c满足f(x+1)=f(1x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是 ()A.f(bx)≤f(cx)B.f(bx)≥f(cx)C.f(bx)>f(cx)D.与x有关,不确定(2)设二次函数f(x)=ax22ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是()A.(∞,0]B.[2,+∞)C.(∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2][总结反思](1)对于二次函数的单调性,关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解;(2)利用二次函数的单调性比较大小,一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较.考向2二次函数的最值问题4已知函数f(x)=ax22x(a>0),求函数f(x)在区间[0,2]上的最小值.[总结反思](1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分类讨论求解.考向3二次函数中的恒成立问题5(1)[2017·仙桃中学月考]已知二次函数f(x)满足f(x+1)f(x)=2x,且f(0)=1,若不等式f(x)>2x+m在区间[1,1]上恒成立,则实数m的取值范围为.

(2)函数f(x)=a2x+3ax2(a>1),若在区间[1,1]上f(x)≤8恒成立,则a的最大值为.

[总结反思]二次函数中恒成立问题的解题关键是根据二次函数的对称性、单调性等得出关于参数的不等式,进而求得参数范围.强化演练1.【考向1】函数f(x)=2x2mx+3,当x∈[2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(∞,2]时,f(x)是减函数,则f(1)的值为 ()A.3 B.13C.7 D.52.【考向2】若函数f(x)=x22x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则a的取值集合为 ()A.[3,3] B.[1,3]C.{3,3} D.{1,3,3}3.【考向2】[2017·皖北联考]若函数f(x)=x2axa在区间[0,2]上的最大值为1,则实数a的值为.

4.【考向3】已知函数y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x1)2,若当x∈2,12时,n≤f(x)≤m恒成立,则mn的最小值为.

5.【考向3】已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x3在[1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为.

第8讲指数与指数函数课前双击巩固1.根式n次方根概念如果xn=a,那么x叫作a的,其中n>1,n∈N*

性质当n是时,a的n次方根为x=

n当n是时,正数a的n次方根为x=±na负数的偶次方根

0的任何次方根都是0,记作n0=根式概念式子na叫作,其中n叫作,a叫作性质当n为奇数时,nan当n为偶数时,nan2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:amn=nam(a>0,m,n∈N*且②正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=1nam(a>0,m,③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.

(2)有理数指数幂的性质①aras=(a>0,r,s∈Q);

②(ar)s=(a>0,r,s∈Q);

③(ab)r=(a>0,b>0,r∈Q).

3.指数函数的图像与性质y=ax(a>0且a≠1)a>10<a<1图像定义域R值域

性质过定点

当x>0时,;当x<0时,

当x>0时,;当x<0时,

在R上是

在R上是

常用结论1.指数函数y=ax+b(a>0且a≠1)的图像恒过定点(0,1+b).2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像以x轴为渐近线.题组一常识题1.[教材改编]若x+x1=3,则x2x2=.

2.[教材改编]已知2x1<23x,则x的取值范围是.

3.[教材改编]函数y=ax1+2(a>0且a≠1)的图像恒过定点.

4.[教材改编]下列所给函数中值域为(0,+∞)的是.(填序号)

①y=5x,②y=131-x,③y=1题组二常错题◆索引:忽略n的范围导致式子nan(a∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;5.计算3(1+2)36.若函数f(x)=(a23)·ax为指数函数,则a=.

7.若函数f(x)=ax在[1,1]上的最大值为2,则a=.

8.设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)满足f(1x)=f(1+x),则f(2x)与f(3x)的大小关系是.

课堂考点探究探究点一指数幂的化简与求值1(1)[2017·兰州铁一中月考]已知a1a=3(a>0),则a2+a+a2+a1的值为 ()A.1311 B.1113C.13+11 D.11+13(2)计算0.02713+2560.7541727-[总结反思]指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.式题(1)计算:19-3×27-23+(2)已知a,b是方程x26x+4=0的两根,且a>b>0,则a-ba探究点二指数函数的图像及应用2(1)函数y=1e|x|的图像大致是 ()图281(2)[2017·天津河西区二模]已知f(x)=|2x1|,当a<b<c时,有f(a)>f(c)>f(b),则必有 ()A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b>0,c>0C.2a<2c D.1<2a+2c<2[总结反思](1)研究指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),1,1a.(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解.式题(1)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax(a>0且a≠1)与y=(1a)x的图像可能是()图282(2)已知函数y=12a-4x的图像与指数函数y=ax的图像关于y轴对称,则实数A.1 B.2C.4 D.8探究点三指数函数的性质及应用考向1比较指数式的大小3(1)[2017·遂宁三诊]已知a=243,b=425,c=2513,A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若1<a<0,则3a,a13,a3的大小关系是(用“>”连接[总结反思]指数式的大小比较,靠的就是指数函数的单调性,当所比较的指数式的底数小于0时,要先根据指数式的运算法则把底数化为正数,再根据指数函数的性质比较其大小.考向2解简单的指数方程或不等式4(1)已知函数f(x)=2x-1,x>1,1,x(2)方程4x+|12x|=11的解为.

[总结反思](1)af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x).考向3指数函数性质的综合问题5(1)函数f(x)=a+bex+1(a,b∈R)是奇函数,且图像经过点ln3,12,则函数f(x)的值域为 (A.(1,1) B.(2,2)C.(3,3) D.(4,4)(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈-∞,1时恒成立,则实数a的取值范围是[总结反思]指数函数性质的重点是其单调性,解题中注意利用单调性实现问题的转化.强化演练1.【考向1】[2017·南昌一模]已知a=3525,b=2535,c=2A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<c<a2.【考向2】若存在正数x使2x(xa)<1成立,则a的取值范围是 ()A.(∞,+∞) B.(2,+∞)C.(0,+∞) D.(1,+∞)3.【考向2】已知实数a≠1,函数f(x)=4x,x≥0,2a-x,x<0,若f4.【考向2】若偶函数f(x)满足f(x)=2x4(x≥0),则不等式f(x2)>0的解集为.

5.【考向3】已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).若不等式1ax+1bxm≥0在x∈(∞,1]时恒成立,则实数第9讲对数与对数函数课前双击巩固1.对数概念如果ax=N(a>0且a≠1),那么x叫作以a为底N的,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数,logaN叫作对数式

性质底数的限制:a>0且a≠1对数式与指数式的互化:ax=N⇔

负数和零没有

loga1=

logaa=1对数恒等式:alog运算性质loga(M·N)=

a>0且a≠1,M>0,N>0logaMN=logaMn=(n∈R)

换底公式换底公式:logab=logcblogca(a>0且a≠1,c>0且推论:logambn=,loga2.对数函数的概念、图像与性质概念函数y=logax(a>0,a≠1)叫作函数

底数a>10<a<1图像定义域

值域

性质过定点,即x=1时,y=0

在区间(0,+∞)上是函数

在区间(0,+∞)上是函数

3.反函数指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数互为反函数,它们的图像关于直线对称.

常用结论1.指数与对数的等价关系:ax=N⇔x=logaN.2.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.3.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.题组一常识题1.[教材改编]化简logablogbclogca的结果是.

2.[教材改编]设a=212,b=313,c=log32,则a,b,3.[教材改编]若函数y=fx是函数y=2x的反函数,则f2=.

4.[教材改编]函数y=log12(x24x+5)的单调递增区间是题组二常错题◆索引:对数的性质及其运算掌握不到位;记混对数函数的定义域;对数函数的性质不能充分运用;忽略对底数的讨论致误.5.有下列结论:①lglg10=0;②lglne=0;③若lgx=1,则x=10;④若log22=x,则x=1;⑤若logmn·log3m=2,则n=9.其中正确结论的序号是6.函数f(x)=log2(2x)的定义域是.

7.设a=14,b=log985,c=log83,则a,b,c的大小关系是8.函数y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=.

课堂考点探究探究点一对数式的化简与求值1(1)已知2loga(M2N)=logaM+logaN,则MN的值为.

(2)已知2a=5b=10,则2a+2b

32=[总结反思](1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形.(2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.式题(1)求值:lg27+lg8-3lg10(2)设函数f(x)=3x+9x,则f(log32)=.

探究点二对数函数的图像及应用2(1)[2017·成都九校联考]函数y=lncosxπ2<x<π2的大致图像是()图291(2)已知函数f(x)=x2logmx在0,12上恒有f(x)<0成立,则实数m的取值范围为.

[总结反思](1)在研究对数函数图像时一定要注意其定义域,注意根据基本的对数函数图像作出经过平移、对称变换得到的函数的图像.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.式题(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的大致图像为 ()图292(2)函数f(x)=2x|log0.5x|1的零点个数为 ()A.1 B.2C.3 D.4探究点三对数函数的性质及应用考向1比较大小3(1)[2017·鹰潭二模]已知a=log0.34,b=log43,c=0.32,则a,b,c的大小关系是 ()A.c<a<b B.b<a<cC.a<c<b D.a<b<c(2)[2017·德州二模]设a=log36,b=log48,c=log510,则 ()A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c[总结反思]比较对数式的大小,一是将对数式转化为同底的形式,再根据对数函数的单调性进行比较,二是采用中间值0或1等进行比较,三是将对数式转化为指数式,再将指数式转化为对数式,通过巡回转化进行比较.考向2解简单对数不等式4(1)已知0<a<1,0<b<1,若alogb(x-3)<(2)设函数f(x)=log2x,x>0,log12(-x[总结反思]对于形如logaf(x)>b的不等式,一般转化为logaf(x)>logaab,再根据底数的范围转化为f(x)>ab或0<f(x)<ab.而对于形如logaf(x)>logbg(x)的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.考向3对数函数性质的综合问题5(1)若函数f(x)=log12(x2+4x+5)在区间(3m2,m+2)上单调递增,则实数m的取值范围为(A.43,3 C.43,2 (2)[2017·宜春中学、新余四中联考]已知函数f(x)=(a-1)x+4-2a,x<1,1+A.(1,2] B.(∞,2]C.(0,2] D.[2,+∞)[总结反思]利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.强化演练1.【考向1】已知a=log23+log23,b=log29log23,c=log32,则a,b,c的大小关系是()A.a=b<c B.a=b>cC.a<b<c D.a>b>c2.【考向1】若实数a,b,c满足loga2<logb2<logc2,则下列关系中不可能成立的是 ()A.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.a<c<b3.【考向2】已知f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若f(lgx)>f(2),则x的取值范围是()A.1B.0,1100∪(1C.1D.(0,1)∪(100,+∞)4.【考向3】若函数f(x)=loga(ax3)在[1,3]上单调递增,则a的取值范围是 ()A.(1,+∞) B.(0,1)C.0,13 D.(35.【考向3】函数f(x)=log2x·log2(2x)的最小值为第10讲函数的图像课前双击巩固1.描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线,具体为:首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点).最后:描点,连线.2.图像变换变换类型变换前变换方法变换后平移变换y=f(x)的图像a>0,右移a个单位;a<0,左移|a|个单位y=的图像

b>0,上移b个单位;b<0,下移|b|个单位y=的图像

对称变换y=f(x)的图像关于x轴对称y=的图像

关于y轴对称y=的图像

关于原点对称y=的图像

y=ax(a>0且a≠1)的图像关于直线y=x对称y=

的图像伸缩变换y=f(x)的图像a>1,横坐标缩短为原来的1a,纵坐标不变0<a<1,横坐标伸长为原来的1a倍,y=的图像

a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变;0<a<1,纵坐标缩短为原来的a,横坐标不变y=的图像

翻折变换y=f(x)的图像x轴下方部分翻折到上方,x轴及上方部分不变的图像

y轴右侧部分翻折到左侧,原y轴左侧部分去掉、右侧不变的图像

题组一常识题1.[教材改编]函数y=logax与函数y=log1ax的图像关于直线2.[教材改编]函数y=ax与y=1ax的图像关于直线3.[教材改编]函数y=log2x与函数y=2x的图像关于直线对称.

4.[教材改编]函数y=|1-x2|的大致图像是图2101题组二常错题◆索引:函数图像的几种变换记混;分段函数的图像问题.5.将函数f(x)=(2x+1)2的图像向左平移一个单位后,得到的图像的函数解析式为.

6.把函数f(x)=lnx的图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图像的函数解析式是.

7.设f(x)=2x,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称,h(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单位得到,则h(x)=.

8.函数y=elnx+x-1的图像是课堂考点探究探究点一作函数的图像1分别画出下列函数的图像:(1)y=|lg(x1)|;(2)y=2x+11;(3)y=x2|x|2.

[总结反思]为了正确地作出函数的图像,除了掌握“列表、描点、连线”的方法之外,还要做到以下两点:(1)熟练掌握几种基本函数的图像,以及形如y=x+1x的函数图像(2)掌握常用的图像变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,利用这些方法来帮助我们简化作图过程.式题分别画出下列函数的图像:(1)y=|x24x+3|;(2)y=2x+1x+1;(3)y=10|

探究点二识图与辨图考向1特殊点法2[2017·揭阳二模]函数f(x)=x212x的大致图像是 (图2102[总结反思]使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项,主要注意两点:一是选取的点要具备特殊性和代表性,能排除一些选项;二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案.考向2性质检验法3[2017·太原五中一模]函数y=1ln|ex-e图2103[总结反思]利用性质识别函数图像是辨图中的主要方法,采用的性质主要是定义域、值域,函数整体的奇偶性,函数局部的单调性等.当然,对于一些更为复杂的函数图像的判断,还可能同特殊点法结合起来使用.考向3图像变换法4设函数f(x)=2x,则如图2104所示的函数图像对应的函数解析式是 ()图2104A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|C.y=f(|x|) D.y=f(|x|)[总结反思]通过图像变换识别函数图像要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图像(如指数函数、对数函数等函数的图像);二是了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换.强化演练1.【考向1】[2017·汉中二模]函数y=x1xsinx的图像大致是 ()图21052.【考向1】[2017·宁夏大学附中一模]函数y=x22x-2图21063.【考向2】函数y=lnex-e-x图21074.【考向3】[2017·山东平阴第一中学一模]已知函数f(x)=logax(0<a<1),则函数y=f(|x|+1)的图像大致为 ()图2108探究点三函数图像的应用考向1研究函数的性质5[2017·太原五中一模]函数f(x)的部分图像如图2109所示,则f(x)的解析式可以是()图2109A.f(x)=x+sinxB.f(x)=cosC.f(x)=xxD.f(x)=xcosx[总结反思]一般根据图像观察函数性质有以下几方面:一是观察函数图像是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图像是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图像上升与下降的情况,确定单调性.考向2求参数的取值范围6(1)[2017·重庆二诊]设函数f(x)=log2-x2,x≤-1,-13x2+43x+23(2)[2017·温州二模]已知函数y=|x2-1|x-1的图像与函数y=kx[总结反思]当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图像的变化确定参数的取值范围.考向3求不等式的解集7不等式3sinπ2xlog12x<0的整数解的个数为 (A.2 B.3 C.4 D.5[总结反思]f(x),g(x)之间的不等关系表现在函数图像上即为图像的上下位置关系,通过画出函数图像可以直观地求解不等式.考向4确定方程根的个数8[2017·宣城二模]已知函数f(x)是R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=2x1,则方程f(x)=log7|x2|的解的个数是 ()A.8 B.7 C.6 D.5[总结反思]根据方程合理构造函数.若构造的是一个函数,则方程根的个数就是函数图像与x轴交点的个数;若构造的是两个函数,则方程根的个数就是这两个函数图像交点的个数.强化演练1.【考向1】已知函数f(x)=x|x|2x,则下列结论正确的是 ()A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(∞,1)C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(1,1)D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(∞,0)2.【考向4】已知f(x)=|lgx|,x>0,2|x|,x≤0,则函数y=2[图210103.【考向3】函数f(x)是定义在[4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图像如图21010所示,那么不等式f(x)cosx4.【考向2】直线y=1与曲线y=x2|x|+a有四个交点,则a的取值范围是.

第11讲函数与方程课前双击巩固1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.

(2)等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与有交点⇔函数y=f(x)有.

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间内有零点,即存在c∈(a,b),使得,这个也就是方程f(x)=0的根.

2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与x轴的交点

无交点零点个数

常用结论1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=lnx+2x6的零点的个数是.

2.[教材改编]如果函数f(x)=ex1+4x4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n=.

3.[教材改编]函数f(x)=x32x2+x的零点是.

4.[教材改编]若函数f(x)=x24x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是.

题组二常错题◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零).5.函数f(x)=x+1x的零点个数是6.函数y=x27x+6的零点是.

7.若二次函数f(x)=x22x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是.

8.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是.

课堂考点探究探究点一函数零点所在区间的判断1(1)[2017·渭南二模]函数f(x)=lnx2x-1的零点所在的区间是 (A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)(2)[2017·广州花都区二模]已知函数f(x)=logax+xb(a>0且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=.

[总结反思]判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理.对于含有参数的函数的零点区间问题,往往要结合图像进行分析,一般是转化为两函数图像的交点,分析其横坐标的情况进行求解.式题[2017·温州二模]在下列区间中,函数f(x)=ex+4x3的零点所在的区间可能为()A.-14,0C.14,12探究点二函数零点个数的讨论2(1)已知函数f(x)=|lnx|1,g(x)=x2+2x+3,用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)},则函数h(x)的零点个数为 ()A.1 B.2C.3 D.4(2)[2017·广元三诊]已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=sinπx+2|sinπx|,则方程f(x)|lgx|=0在区间[0,10]上根的个数是 ()A.17 B.18C.19 D.20[总结反思]函数零点个数的讨论,基本思路是数形结合,即把函数分拆为两个简单函数,两函数图像的交点个数即为函数的零点个数.对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论,也是根据方程构建两个函数,利用两函数图像的交点个数得出对应方程的根的个数.式题(1)[2017·长春十一中期中]函数f(x)=|x3|ln(x+1)在定义域内零点的个数为 ()A.0 B.1C.2 D.3(2)已知函数f(x)=x+1,x≤0,log2x,x>探究点三函数零点的应用3(1)[2017·天津八校联考]已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[0,2]时,f(x)=(x1)2,若g(x)=f(x)log5|x1|,则函数g(x)的所有零点之和为 ()A.8 B.6C.4 D.10(2)[2017·南充三模]设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(x2)=f(x+2),且当x∈[2,0]时,f(x)=12x1,若函数g(x)=f(x)loga(x+2)(a>1)在区间[2,6]内恰有三个零点,则实数a的取值范围是[总结反思]函数零点的应用主要体现在三类问题:一是函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;三是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题最终都是通过数形结合转化为两函数图像的交点进行解决.式题(1)[2017·河南豫南九校质检]若函数f(x)=|logax|2x(a>0且a≠1)的两个零点是m,n,则 ()A.mn=1 B.mn>1C.mn<1 D.以上都不对(2)若函数f(x)=|2x2|b有两个零点,则实数b的取值范围是.

第12讲函数模型及其应用课前双击巩固1.三种函数模型的性质的比较函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增减性单调

单调

单调

增长速度越来越快越来越慢相对平稳2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)反比例函数模型f(x)=kx+b(k,b为常数且k≠0指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)幂函数模型f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)常用结论1.函数f(x)=xa+bx(a>0,b>0,x>0)在区间(0,ab]内单调递减,在区间[ab,+∞)2.直线上升、对数缓慢、指数爆炸.题组一常识题1.[教材改编]函数模型y1=0.25x,y2=log2x+1,y3=1.002x,随着x的增大,增长速度的大小关系是.(填关于y1,y2,y3的不等式)

2.[教材改编]一辆汽车在某路段的行驶速率v(单位:km·h1)与时间t(单位:h)的关系如图2121所示,则直线t=t0(0≤t0≤5)左侧阴影部分的面积的实际意义是.

图21213.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S表示为x的函数是4.已知某物体的温度Q(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律为Q=m·2t+21t(t≥0,且m>0).若物体的温度总不低于2摄氏度,则m的取值范围是.

题组二常错题◆索引:审题不清致错;忽视限制条件致错;忽视应用题中函数的定义域的实际意义致错;分段函数模型的分界把握不到位致错.5.某商场在国庆促销期间规定商场内所有商品按标价的80%出售,同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案可以再获得相应金额的奖券.消费金额(元)的范围[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)…获得奖券的金额(元)3060100130…根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如,购买标价为400元的商品,则消费金额为320元,获得的优惠额为400×0.2+30=110(元).若顾客购买一件标价为1000元的商品,则所能获得的优惠额为.

6.某物体一天中的温度T是关于时间t的函数:T(t)=t33t+60,时间单位是小时,温度单位是℃,当t=0时表示中午12:00,其后t值为正,则上午8时该物体的温度是.

7.一枚炮弹被发射后,其升空高度h与时间t的函数关系为h=130t5t2,则该函数的定义域是.

8.已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地,则汽车离开A地的距离S(千米)关于时间t(小时)的函数表达式是.

课堂考点探究探究点一一次、二次函数模型1某创业团队拟生产A,B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图①),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图②).(注:利润与投资额的单位均为万元)图2122(1)分別将A,B两种产品的利润f(x),g(x)表示为关于投资额x的函数.(2)该团队已筹集到10万元资金,并打算全部投入A,B两种产品的生产,问:当B产品的投资额为多少万元时,生产A,B两种产品能获得最大利润?最大利润为多少?

[总结反思](1)函数建模的关键是找到一个影响求解目标的变量,以其为自变量表示其他需要的量,综合各种条件建立函数模型.(2)在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域,它是由实际问题决定的,不是由建立的函数解析式决定的.式题[2017·连云港模拟]如图2123,在∠ABC=60°,∠C=90°,BC=40米的直角三角形地块中划出一块矩形CDEF地块进行绿化.(1)若要使矩形地块的面积不小于3003平方米,求CF长度的取值范围;(2)当矩形地块面积最大时,现欲修建一条道路MN,把矩形地块分成面积为1∶3的两部分,且点M在边CF上,点N在边CD上,求MN的最小值.图2123

探究点二指数﹑对数函数模型2牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同.假定保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)间的关系为指数型函数y=k·ax(k≠0).若牛奶在0℃的冰箱中,保鲜时间约是192h,而在22℃的厨房中,保鲜时间约是42h.(1)写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式.(2)如果把牛奶分别储藏在10℃和5℃的两台冰箱中,哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长?为什么?参考数据:22732≈0.93

[总结反思]应用已知函数模型解题有两种题型:(1)直接依据题中的函数解析式解决相关问题;(2)若函数解析式中含有参数,将题中相应数据代入解析式,求得参数,从而确定函数解析式,并解决问题.式题(1)[2017·长沙雅礼中学二模]某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金的投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30) ()A.2017年 B.2018年C.2019年 D.2020年(2)地震震级计算中,里氏震级M的计算公式为M=lgAlgA0.其中A是测量仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅,则8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍.

探究点三分段函数模型3[2017·南京月考]某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x,当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10000x1450.每件商品售价为0.05万元,通过市场分析(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

[总结反思](1)实际问题的情况是复杂的,许多实际问题要使用分段函数模型求解.(2)解分段函数模型要注意定义域区间的分界点.(3)含有参数的实际应用题要注意分类讨论.式题[2018·湖北孝感八校联考]共享单车是城市慢行系统的一种创新模式,对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效,由于停取方便、租用价格低廉,各色共享单车受到人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20000元,每生产一辆新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的总收益(单位:元)满足分段函数h(x)=400x-12x2,0<x≤400,80(1)试将自行车厂的利润y(单位:元)表示为关于月产量x的函数.(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大?最大利润是多少?

第13讲变化率与导数、导数的运算课前双击巩固1.变化率与导数(1)平均变化率:概念对于函数y=f