高一数学（人教A版）教学课件 必修一 4-5-1 第 1 课时 函数的零点与方程的解

4.5.1函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解——(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)第1课时课时目标1．了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系．2．会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．CONTENTS目录123课前预知教材·自主落实基础课堂题点研究·迁移应用融通课时跟踪检测课前预知教材·自主落实基础(一)函数的零点(1)对于一般函数y＝f(x)，我们把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：f(x)＝0|微|点|助|解|(1)函数的零点是实数，而不是点，如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1,0)．(2)不是所有的函数都有零点，如函数y＝1，y＝x2＋1就没有零点．(3)若函数y＝f(x)有零点，则零点一定在函数的定义域内．(4)求零点可转化为求对应方程的解.不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解．(二)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条__________的曲线，且有___________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在

c∈(a，b)，使得_________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．连续不断f(a)f(b)<0f(c)＝0|微|点|助|解|(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0；(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件；(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点．基础落实训练1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若f(a)f(b)>0，则f(x)在[a，b]上无零点． (

)(2)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．

(

)(3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0. (

)×√×2．下列各图象表示的函数中，没有零点的是(

)√解析：结合函数零点的定义可知选项D没有零点．3．函数f(x)＝log2x的零点是(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：令f(x)＝log2x＝0，解得x＝1.√4．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为(

)A．(0,1) B．(－1,0)C．(2,3) D．(1,2)√课堂题点研究·迁移应用融通题型(一)求函数的零点[例1]

(1)求函数f(x)＝－x2－4x－4的零点；解：令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2.所以函数的零点为－2.|思|维|建|模|探究函数零点的两种求法代数法求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点几何法与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点针对训练解析：由x＋1＝0且x≤0，得x＝－1.由lnx＝0且x>0，得x＝1.所以函数f(x)的零点为x＝±1.√2．设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________．解析：令f(x)＝21－x－4＝0，解得x＝－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.－2题型(二)函数零点所在区间的判定√[例3]若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间(

)A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是增函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)内，所以方程ex＋x＝2的解在区间(0,1)内．

√|思|维|建|模|确定函数f(x)零点所在区间的常用方法解方程法当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上利用函数零点存在定理首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点数形结合法通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断针对训练3．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123f(x)3.42.6－3.7则函数f(x)一定存在零点的区间是(

)A．(－∞，1)

B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)√解析：若f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)上一定存在零点．因为f(2)>0，f(3)<0，所以f(x)在(2,3)上一定存在零点．4．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间(

)A．(5,6)

B．(3,4)C．(2,3)

D．(1,2)解析：f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.又因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)．√题型(三)函数零点个数的判断[例4]函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点个数为(

)A．0 B．1C．2 D．3√解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．由函数零点的定义知，f(x)在(0，＋∞)内的零点即是方程|x－2|－lnx＝0的根．令y1＝|x－2|，y2＝lnx(x>0)，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象.易知两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．3解析：作出g(x)与f(x)的图象，如图，由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，即h(x)有3个零点．|思|维|建|模|判断函数零点个数的4种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数．(4)转化成两个函数图象的交点个数问题．针对训练(2)f(x)＝lnx＋x2－3；解：法一因为函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln

x与y＝3－x2的图象交点的个数．在同一平面直角坐标系内，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点．从而方程lnx＋x2－3＝0只有一个根，即函数f(x)＝lnx＋x2－3只有1个零点．法二因为f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，所以f(1)f(2)<0.又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在[1,2]上是连续的，所以f(x)在(1,2)上必有零点．又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以只有1个零点．由图象可知两个函数图象只有1个交点，故函数f(x)只有1个零点．课时跟踪检测134567891011121314152A级——达标评价1．若函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(

)A．2 B．－2C．±2

D．3解析：因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0.解得b＝±2.√1567891011121314152342．(多选)下列图象表示的函数有两个零点的是(

)√√156789101112131415234解析：根据零点的定义，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标，选项A中与x轴没有交点，即函数没有零点；选项B中函数图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点；选项C、D中函数图象与x轴有两个交点，即函数有两个零点．156789101112131415342√156789101112131415342

1567891011121314153424．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：x－2－1012345678f(x)－136－2161913－1－8－242998则下列判断正确的是(

)A．函数f(x)在区间(－1,0)内有零点B．函数f(x)在区间(2,3)内有零点C．函数f(x)在区间(5,6)内有零点D．函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点√√√156789101112131415342解析：已知f(－1)f(0)<0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，又f(x)的图象连续不断，所以函数f(x)在(－1,0)，(2,3)，(5,6)三个区间内均有零点，但不能断定有几个零点，故A、B、C正确，D不正确．1567891011121314153425．已知函数f(x)在区间[a，b]上具有单调性，且图象是连续不断的，若f(a)f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(

)A．至少有一实数根 B．至多有一实数根C．没有实数根 D．必有唯一的实数根√156789101112131415342解析：由题意知函数f(x)为连续函数，∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又函数f(x)在区间[a，b]上具有单调性，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]上必有唯一的实数根．156789101112131415342√1567891011121314153421567891011121314153427．已知函数f(x)＝－2x＋m的零点为4，则实数m的值为______．解析：因为f(x)＝－2x＋m的零点为4，所以－2×4＋m＝0，m＝8.815678910111213141534211567891011121314153429．(8分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点.(1)f(x)＝－x2＋2x－1；解：令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1.所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.(2)f(x)＝x4－x2；解：令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1.故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.156789101112131415342(3)f(x)＝4x＋5；解：令4x＋5＝0，则4x＝－5，因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解．所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．(4)f(x)＝log3(x＋1)．解：令log3(x＋1)＝0，解得x＝0.所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.15678910111213141534210．(10分)已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；156789101112131415342(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．156789101112131415342156789101112131415342B级——重点培优11．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(

)A．a>b>c

B．a>c>bC．c>a>b

D．a<b<c√156789101112131415342解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a<b<c.156789101112131415342√156789101112131415342解析：由f(x)－2|x|＝0可得f(x)＝2|x|，则方程f(x)－2|x|＝0的解的个数等于函数y＝2|x|与函数y＝f(x)的图象交点的个数，作出函数y＝2|x|与函数y＝f(