高一数学（人教A版）教学课件 必修一 4-5-2 用二分法求方程的近似解

4.5.2用二分法求方程的近似解——(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)课时目标了解二分法的原理及其适用条件．掌握二分法的实施步骤.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．CONTENTS目录123课前预知教材·自主落实基础课堂题点研究·迁移应用融通课时跟踪检测课前预知教材·自主落实基础1．二分法的概念条件(1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上__________．(2)在区间端点的函数值满足_____________方法不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间_________，使所得区间的两个端点逐步_________，进而得到零点近似值连续不断f(a)f(b)<0一分为二逼近零点用二分法求函数零点近似值的步骤2．|微|点|助|解|(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理．(2)二分法的基本思想：逼近思想和算法思想．(3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的零点为变号零点时适用，对函数的零点为不变号零点时不适用．如函数f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．(4)二分法就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．基础落实训练1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．

(

)(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．

(

)(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．

(

)(4)只有求函数的零点时才用到二分法．

(

)××××√3．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(

)√课堂题点研究·迁移应用融通题型(一)二分法概念的理解[例1]关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是(

)A．“二分法”求方程的近似解一定能得到y＝f(x)在[a，b]内的所有零点B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解解析：由二分法求解函数零点的过程可知，

选项D正确．√√√|思|维|建|模|运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．针对训练1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(

)A．4,4

B．3,4C．5,4 D．4,3√解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.2．用“二分法”求f(x)＝x2－6的零点时，初始区间可取(

)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：因为f(0)＝02－6＝－6，f(1)＝12－6＝－5，f(2)＝22－6＝－2，f(3)＝32－6＝3，f(4)＝42－6＝10，所以f(2)f(3)＜0.故零点在区间(2,3)内．√题型(二)用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似解)[例3]用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．解：令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点．即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．[变式拓展]1．若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？解：在本例的基础上，取区间(0.6875,0.75)的中点x＝0.71875，因为f(0.71875)＜0，f(0.75)＞0且|0.71875－0.75|＝0.03125＜0.05，所以x＝0.75可作为方程的一个近似解．2．若本例中的方程“2x3＋3x－3＝0”换为“x2－2x＝1”其结论又如何呢？解：设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.4375<0，∴2.25<x0<2.5；如此继续下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.4375)>0⇒x0∈(2.375,2.4375)．∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2－2x＝1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.|思|维|建|模|利用二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，利用函数零点存在定理确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．题型(三)二分法的实际应用[例4]在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10km，大约有200根电线杆的线路.请设计一个能迅速查出故障所在的方案，并回答维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100m范围内)．解：如图，工人师傅首先从AB段的中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从BC段的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；…；|思|维|建|模|二分法的思想在生活中应用广泛，不仅可以用于线路、水管、煤气、管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.针对训练课时跟踪检测134567891011121314152A级——达标评价1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(

)A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]解析：∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，f(－2)·f(1)＜0，∴可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．√1567891011121314152342．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(

)A．x1 B．x2

C．x3 D．x4√156789101112131415234解析：能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件．1567891011121314153423．(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有(

)A．f(x)＝5x＋2 B．f(x)＝log5xC．f(x)＝x2＋2x＋1 D．f(x)＝3x－2√√√156789101112131415342

156789101112131415342√解析：A、B、C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求其根，只能用二分法求其零点．

1567891011121314153425．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(

)A．0.68 B．0.72C．0.7 D．0.6√156789101112131415342解析：已知f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．故选C.1567891011121314153426．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．解析：设函数f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(4)＝51>0，∴下一个有根区间是(2,3)．(2,3)1567891011121314153427．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01，取端点值为近似解)的近似值，那么应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．41567891011121314153428．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是__________．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.a2＝4b1567891011121314153429．(8分)证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1)．解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数f(x)在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1,2)．156789101112131415342下面用二分法求解：区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.51.328(1,1.5)1.250.128(1,1.25)1.125－0.444(1.125,1.25)1.1875－0.160因为f(1.1875)f(1.25)＜0，且|1.1875－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.25.15678910111213141534210．(8分)已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10km长的线路，每隔50m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？(精确到50m)156789101112131415342解：如图所示，可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段；再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；再到BD段中点E检查，…，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半．经过8次查找，可将故障范围缩小到50m之内，即可迅速找到故障所在．156789101112131415342B级——重点培优√156789101112131415342156789101112131415342√15678910111213141534215678910111213141