四川省达州市2026届高三第一次诊断性测试数学试题（含答案）

四川省达州市2026届高三第一次诊断性测试数学试题(本试卷满分150分，考试时间120分钟)注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合A={-1,0,1,2,3},B={x|0≤x-1≤2},则A∩B=A.{-1,0,1,2,3} B.{0,1,2,3}C.{1,2,3} D.{-1,0,1}2.复数z=2i1−A.1 B.2 C.3 3.已知双曲线x2a2−y2bA.2 B.3 C.2 D.4.向量a,b满足|b|=1,a·b=1,(a+2b)·(a-2b)=0,则|a-b|=A.12 B.1 C.32 5.将函数fx=sin2x−π3的图象向左平移π/4个单位后得到函数A.x=5π24 B.x=76.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=-f(x),当x＞1时,fx=exx−1,A.-e B.−1e C.−e7.已知P(AB)＞0,P(A)=0.8,P(B|A)=0.6,P(ABC)=0.24,则P(C|AB)=A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.78.已知圆O:x2+y2=4,若过点P(1，m)有且仅有两条直线被圆O所截得的弦长为A.−121C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图在正方体.ABCD−A1B1C1D1A、直线AP与直线B₁C异面B.平面APQ与平面A₁B₁C₁D₁的交线平行于平面ABCDC.三棱锥Q-PAB的体积为定值D.当P为DD₁中点时,AP⊥QB₁10.在△ABC中,三个内角A,B,C对边分别为a,b,c,a=3,BD=2A.2b=c B.2B=CC.AD=1已知点P(x，y)为曲线C:x2A.曲线C关于x轴对称 B.曲线C与x轴有且仅有一个交点C.O为坐标原点，|OP|≥1 D.以PA为直径且与y轴相切的圆有4个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12.2x−15的展开式中，13.正实数x,y满足.x2+4y2=1,则14.在△ABC中,三个内角A,B,C对边分别为a,b,c,a+b=22ab,C的角平分线交AB于点D，CD=2，记△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，且a(1)求Sn;(2)设bn=1Sn+n,数列{bₙ}的前n项和为Tn,若对任意16.(15分)某景区为了更好的开发旅游资源，试产了一系列的文创产品进行销售，对今年前：的销售额统计如下：月份x12345678销售额y万元348912121517(1)根据表中数据建立月份x与销售额y的经验回归方程.y(2)为了更好的规划文创产品，从这8个月中随机抽取2个月对销售情况进行求抽到的月份数据含有残差(观测值减去预测值称为残差)为负的概率.参考公式：参考数据：l=117.(15分)已知抛物线C:x2=2py（p＞0）在点Am(1)求抛物线C的方程；(2)点A关于y轴对称点为A'，抛物线C的焦点为F，过F且平行于l的直线与抛物线C交于B，D两点，直线A'B与A'D的斜率和是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由.18.(17分)如图1，半圆的圆心为O，直径AB=2，C为AB中点，将扇形BOC沿着OC翻折使B到B'，如图2所示，AB'=2,点D，E分别在AC(1)求证AO⊥B'E;(2)当∠AOD=π3时，求多面体(3)求平面OAB'与平面ODE夹角余弦的最大值.19.(17分)已知函数f(1)x∈[-(e+1),0]时,记函数φ(x)=xf(x),φ(x)单调递增区间的长度为L₁,递减区间的长度为L₂.比较L₁，L₂的大小(区间长度是指在实数轴上，区间两个端点之距离，与区间的开闭无关)；(2)当x∈1ee时,证明:f(x)＞(3)判断关于x的方程f(x)=g(x)的根的个数，并说明理由.达州市普通高中2026届第一次诊断性测试数学试题参考答案1.C2.B3.A4.D5.D6.C7.B8.B9.ABD 10.AC 11.ABD12.-40 13.22 15.解:(1)设数列{an}首项为a₁,公差d,根据题意得{a1+d=552∴∴∵16.解:1x=v=3+4+8+9+12+12+15+17∴b=â=∴月份x与销售额y的经验回归方程：y(2)根据(1)的方程和表中数据计算可得残差为负的月份有2月和6月.设从这8个月中随机抽取2个月，仅抽到1个月的数据残差为负为事件A，抽到2个月的数据残差都为负为事件B，则抽到2个月的数据含有残差为负为事件A+B.PA=PB=P17.解:1∴∴抛物线C的方程为：x(2)由(1)知F(0,1)、直线l的斜率为JH∴平行于l且过F的直线方程为：y=m2x+1,设.B(x₁,y₁),DkA'ℬ=y1−kA'D=A'B与A'D的斜率和是定值0.18.解:(1)∵O为圆心,C为半圆弧AB中点,∴AO⊥OC,∵O为圆心，直径AB=2,∴AO=OB'=1,又∵A∴∵OB'⊂平面OCB',OC⊂平面OCB',OC∩OB'=O∴AO⊥平面OCB'.又∵B'E⊂平面OCB',∴AO⊥B'E.(2)情况一、如图连接AE，则多面体OADEB'的体积等于三棱锥E-AOB'的体积和三棱锥E-OAD的体积之和.由(1)易得平面OAC⊥平面OB'C,∴点E到平面OAD的距离为OEsin∴V∴多面体OADEB'的体积为5情况二、如图连接DB'，则多面体OADEB'的体积等于三棱锥O-ADB'的体积和三棱锥D-OEB'的体积之和.∵OB'⊥OA,OB'⊥OC,OA⊂平面OAD,OC⊂平面OAD,OA∩OC=O,∴OB'⊥平面OAD.∴V由(1)易得平面OAC⊥平面OB'C,∴点D到平面OB'C的距离为ODsin∵∴V∴多面体OADEB'的体积为1+2说明：情况一、情况二答对一种即可(3)∵OA⊥OC,OB'⊥OCOA⊥OB',∴建立如图空间直角坐标系，设∠∴D(cosθ,sinθ,0),E(0,cosθ,sinθ),设平面ODE的一个法向量为n,设n=(x,y,z)∴{n·OD→=0即n=−sinθcosθ1设平面OAB'与平面ODE所成角为α，则cosα当sinθ=cosθ,即θ=∴平面OAB'与平面ODE所成角余弦的最大值为319.解:1∴二次函数对称轴为：x∵∴0＞−∴单调递增区间为−∴单调递减区间为−∴∴(2)要证f(x)＞g(x),即证ax即证ax记hh∵∴①当1a≤1e,即a≥e时,h(x)在xh(x)min=h(1)=2a＞0,f(x)＞g(x)成立,②当1e＜1a＜1,即1＜a＜e时,h(x)在x∈1e且h(1)＞0,∴f(x)＞g(x)成立③1a=1时,即a=1时,h(x)在hx④1＜1a＜e时，即1e＜a−1时,h(x)在∴{h1综上,f(x)＞g(x)成立.(3)由(2)记h(2)中③知a=1时,h(x)在x∈(0,