辽宁省七校协作体2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷（含答案）

辽宁省七校协作体2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题一、单选题1．集合的子集个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．82．已知函数定义域为，则“”是“是奇函数”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列函数中，与是同一函数的是（

）A． B．C． D．4．已知，则A． B． C． D．5．已知幂函数是偶函数，且在上单调递减，则（

）A． B． C．0 D．26．已知，且，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．47．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．8．已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（）A． B． C． D．二、多选题9．已知样本数据，（）（），则（

）A．若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为B．若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为C．若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为10．已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．11．已知偶函数满足：时，，则下列结论正确的有（

）．A．B．，C．的值域为D．的解集为三、填空题12．函数且的图象过定点，则．13．已知关于的不等式的解集为或，则的解集为14．当时，，则实数的取值范围是．四、解答题15．已知全集，集合，.(1)将下图中的阴影部分表示的集合.

(2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.16．某体育学校为储备人才，准备通过测试（按照测试成绩高分优先录取的原则）录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队.实际报名学生为1000人，测试满分为100分.测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计此次测试的平均成绩；(2)试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？17．已知函数．(1)当时，证明：为偶函数；(2)当时，直接写出的单调性，并解不等式；(3)当时，是否存在实数a，使得的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．18．已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为.(1)求函数解析式，并求出关于的不等式的解集；(2)求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值.19．对于二次函数，存在实数，使得成立，则称为关于参数的不动点.(1)当时，求关于参数2的不动点.(2)当时，函数在上存在唯一一个关于参数的不动点，求实数的取值范围.(3)对于任意的，总存在，使得函数有关于参数的两个相异的不动点，求实数的取值范围.

1．D先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数.【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为.故选：D.2．B根据奇函数的定义结合充分、必要条件分析判断即可.【详解】因为函数定义域为，若为奇函数，则，若，满足，但函数为偶函数，不是奇函数，所以是为奇函数的必要不充分条件，故选：B.3．B逐项验证函数的定义域和对应关系是否都相同即可.【详解】由题意，函数的定义域为.对于A，函数的定义域为，但，故A错误；对于B，函数的定义域为，但，故B正确；对于C，函数的定义域为，故C错误；对于D，函数的定义域为，故D错误；故选：B.4．B【详解】则．故选B．5．B【详解】函数在上单调递减，所以，即，解得，又因为，所以或或，当或时，，其定义域为，，此时为奇函数，不满足题意；当时，，其定义域为，，此时为偶函数，满足题意.所以.故选：B6．D利用将原式化为，进而结合基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4.故选：D.7．B分类讨论解不等式，判断不可能的解集.【详解】关于的不等式，若，不等式为，解得，此时解集为；若，方程，解得或，时，不等式解得或，此时解集为；时，，不等式解得，此时解集为；时，，不等式解集为，时，，不等式解得，此时解集为；所以不等式的解集不可能是.故选：B8．A根据函数的奇偶性以及对称性，即可求解.【详解】由于为偶函数，故，又是奇函数，故，所以，故选：A9．ACD根据极差的定义即可判断A；根据平均数的性质即可判断B；根据众数的定义即可判断C；根据方差的性质即可判断D.【详解】对于A，设样本数据中，最大值为，最小值为，则，由于在上单调递增，故样本数据中，最大值为，最小值为，故，则样本数据的极差为，故A正确：对于B，由平均数的性质可得，样本数据的平均值为，故B错误；对于C，根据众数的定义可得，样本数据的众数为，故C正确；对于D，根据方差的性质可知，样本数据的方差为，故D正确，故选：ACD．10．ACA选项，将指数式化为对数式，得到A正确；BC选项，由对数运算法则进行判断；D选项，由换底公式进行求解.【详解】A选项，因为，所以，A正确；B选项，因为，所以，B错误；C选项，，C正确；D选项，由A选项得，D错误.故选：AC11．BC利用赋值法可判断A选项，利用消元法可得函数解析式即可判断B选项，利用均值不等式可得值域即可判断C选项，解不等式，结合偶函数可判断D选项.【详解】A选项：取，则，所以，A选项错误；B选项：由当时，，则，解得，当时，，则，由函数为偶函数，所以当时，，B选项正确；C选项：当时，，又函数为偶函数，所以当，，即函数的值域为，C选项正确；D选项：当时。令，解得或，又因为函数为偶函数，则的解集为，D选项错误；故选：BC.12．3根据指数型函数定点问题，当指数求解即可．【详解】令，则，故的图象过定点，则，故．故答案为：3．13．先由原不等式的解集确定二次方程的根与的符号，再通过根与系数的关系得到、与的关系，代入目标不等式后化简求解.【详解】由的解集可知，，且方程的根为和.由根与系数的关系，，得；，得.将、代入，得.因，两边除以得，即.因式分解得，解得.故答案为：.14．本题首先可根据当时得出，然后通过函数与函数的单调性将转化为，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为当时，，所以当时，，，因为为增函数，函数为减函数，所以即，即，，解得，实数的取值范围是，故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）由，，结合图象可得阴影部分表示的集合为；（2）由“”是“”的必要不充分条件，则，因为，所以，即，所以，故实数的取值范围.16．(1)79(2)85分；能录取，但不能进入第一梯队．（1）根据样本频率分布直方图估计平均数.（2）根据样本频率分布直方图估计88分的学生所在的位置，进行判断.【详解】（1）此次测试的平均成绩为：.（2）由题意可知，录取率为，能进入第一梯队的概率为；设录取分数为，因为分数落在的概率为0.1，分数落在的概率为0.4，所以，令，解得，所以录取分数大概为85分，进入第一梯队的分数大概为90分，所以学生甲能被录取，但不能进入第一梯队．17．(1)证明见解析(2)在上递增，不等式解集为(3)存在，（1）当时，利用函数奇偶性定义可证明为偶函数；（2）当时，根据指数函数的单调性可得的单调性，将不等式化为，再利用函数的单调性求解即可；（3）当时，根据基本不等式求出函数的最小值，再根据的最小值为4，列方程求解即可，【详解】（1）当时，，的定义域为R，定义域关于原点对称，因为，所以是偶函数；（2）当时，，因为都是R上的单调递增函数，所以在上递增，不等式，即，所以，即不等式的解集为；（3）当时，，且，所以，当且仅当，即时等号成立，因为的最小值为4，所以，即存在，使得的最小值为4.18．(1)，或；(2)，取最小值时，取最大值时.（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式.（2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解.【详解】（1）函数定义域为，且在上单调，由函数在区间上的最大值与最小值之和为，得，即，解得，于是；，解，得或；解，即，得或，因此或，所以不等式的解集或.（2）由（1）知，，令，由，得，，当时，，此时；当时，，此时，所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时.19．(1)(2)或(3)（1）由不动点的定义解方程即可；（2）将在上有两个不同解转化为函数有唯一交点，结合后双勾函数的性质即可得解；.（3）由已知可得有两个不等的实根，即，将问题转化为对于任意的，总存在，使成立，进而转化为存在，，整理得存在，，令，，进而转化为求在上的最大值，进而解即可.【详解】（1）当时，，令，即，解得或，所以关于参数2的不动点为；（2）当时，，因为函数在上存在唯一一个关于参数的不动点，所以方程在上有唯一实数根，即方程在上