《等腰三角形(第一课时)》教案

《等腰三角形（第一课时）》教案教学目标教学目标：1.探索并证明等腰三角形的两个性质.2.能利用性质证明两个角相等或两条线段相等.3.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用.教学重点：探索并证明等腰三角形的性质.教学难点：探索并证明等腰三角形的性质.教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟7分钟5分钟5分钟3分钟2分钟复习导入探究新知新知应用课堂练习课堂小结布置作业复习：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.探究1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？问题：仔细观察自己剪出的三角形纸片，你能发现这个三角形有什么特征吗？追问：同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否都具有上述所概括的特征？事实上，△ABC中，AB=AC，是等腰三角形，这个结论不随纸片大小和形状而变化。探究2：前面我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质.这节课我们就从轴对称的角度来认识等腰三角形.问题1：观察探究1中剪出的等腰三角形，研究三角形的对称性、底角以及三角形内重要线段有什么特点。在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？总结等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.问题2：以上性质是利用实验操作的方法通过猜想得到的，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？(1)你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？(2)结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？(3)如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？教师指导证明等腰三角形的性质1.已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.方法1：作底边上的中线作底边的中线AD，则BD=CD.∵AB=AC，∴△BAD≅△CAD教师追问，你还有其他方法证明性质1吗？方法2：作∠A的平分线AD，则用SAS证全等方法3：作AD⊥BC于D，则用HL证全等．问题3：性质2可以分解为三个命题，你能分别证明吗？本节课证明“等腰三角形底边上的中线也是底边上的高和顶角的平分线”.问题4：在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？总结等腰三角形特征：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.例.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC中个各角的度数.解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角)。设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠A=∠BDC=2x于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.练习：1.(1)等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是.(2)等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是.(3)已知等腰三角形的两边长分别为3和7,则第三边的长为.(4)已知等腰三角形的一边长等于5,另一边长为6,则它的周长为.答案：(1)35°,35°(2)80°,20°或50°,50°(3)7(4)16或172.如图，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE，求证：AH=2BD.证明：∵AB=AC，AD是高，∴BC=2BD.∵AD，BE是高，∴∠ADC=90°，∠AEH=∠BEC=90°.∴∠HAE+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°.∴∠HAE=∠CBE.在△AHE和△BCE中，∠HAE=∠CBE，AE=BE，∠AEH=∠BEC，∴△AHE≌△BCE(ASA).∴AH=BC.又∵BC=2BD，∴AH=2BD.知识内容：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形以顶角平分线（底边上的中线或底边上的高）所在直线为对称轴。性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成：等边对等角）性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（简写成：三线合一）.数学方法：求三角形的角或线段长度时，可以考虑采用方程思想来解决问题；在学习中，学会从多个角度思考问题，尝试用多样化的方法解决问题，培养思维的灵活性.1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是()A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°2.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为_________．3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.知能演练提升一、能力提升1.下列说法正确的是()A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B.顶角相等的两个等腰三角形全等C.等腰三角形一边不可以是另一边的2倍D.等腰三角形的两个底角相等2.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=50°,则∠CAD的大小为()A.50° B.65° C.80° D.60°3.如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()A.AE=EC B.AE=BEC.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE4.如图,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,若∠C=65°,则∠DBC的度数是()A.25° B.20° C.30° D.15°5.如图,直线l1∥l2,以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线l1,l2于点B,C,连接AC,BC.若∠ABC=67°,则∠1的度数为.

★6.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线l与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°,则∠B的度数是.

7.如图,点D在△ABC的边AB上,且DC=DA=DB.求证:△ABC是直角三角形.二、创新应用★8.数学课上,张老师举了下面的例题:例1在等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2在等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°,70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一道题:变式在等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.

知能演练·提升一、能力提升1.D2.B3.C4.D∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=65°,∴∠A=180°-∠ABC-∠C=50°.∵MN垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=50°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°.5.46°6.70°或20°分两种情况,如图. 7.证明∵DC=DA,∴∠A=∠ACD.∵DC=DB,∴∠B=∠BCD.∵∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°,∴∠ACD+∠BCD=90°,即∠ACB=90°.∴△ABC是直角三角形.二、创新应用8.解(1)当∠A为顶角时,∠B=50°;当∠A为底角时,若∠B为顶角,则∠B=20°,若∠B为底角,则∠B=80°.综上可知,∠B=50°