第23章 图形的相似（高效培优单元测试·提升卷）（教师版）-华东师大版(2024)九上

第23章图形的相似（高效培优单元测试·提升卷）（考试时间：100分钟试卷满分：150分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（）A.3，8，15，40 B.5，6，5，6C. D.，，，【答案】C【解析】【分析】本题考查线段成比例判断．根据题意逐一对选项进行计算即可．【详解】解：∵其中两条线段的乘积等于另外两条线段乘积，则四条线段成比例，∴A选项：，故本选项正确；B选项：，故本选项正确；C选项：，故本选项不正确；D选项：，故本选项正确；故选：C．2．已知，则代数式的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．【详解】解：∵，∴设，（），∴，故选：．3．一个三角形用放大镜放大后不变的是（）A.各边长 B.周长 C.面积 D.各内角的度数【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是相似三角形的性质，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：由题意得：用放大镜看到的三角形与原三角形是相似的关系，用放大镜看到的三角形与原三角形相比较，周长、面积、每条边的长度均增大了，但每个内角的度数保持不变．故选：D．4．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、，、、，若，，，则的长为（）．A.7 B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线等分线线段定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例式求出的长，再根据线段的和差计算即可．【详解】解：∵，∴，即，解得∶，∴．故选B．5．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验.如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（）．A. B.4 C. D.5【答案】A【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解．【详解】解：设蜡烛火焰的高度是，由相似三角形的性质得，解得．即蜡烛火焰的高度是．故选：A6．如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（）A.平分 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可以根据两组对应边比相等且相应的夹角相等或两组对角相等来证明两个三角形相似．【详解】解：A、由平分可得，结合，可以证明，故此选项不符合题意；B、由，结合，可以证明，故此选项不符合题意；C、由，结合，不可以证明，故此选项符合题意；D、由，结合，可以证明，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．7．如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，要使矩形正好与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得．【详解】根据题意可知，矩形与矩形相似，，设,，则，，即，，，原矩形长与宽的比为，故选：C．8．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中相似的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的定义和判定，勾股定理

；根据相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，或者对应边成比例，那么这两个三角形相似．结合题目，计算出的三边长度，并求出三边之比．最后分别计算选项A、B、C、D中阴影部分三角形的三边之比，判断它们是否与相似即可．【详解】解：由勾股定理得：，，，，A、三边之比为，图中的三角形阴影部分与不相似；B、三边之比为，图中的三角形阴影部分与相似；C、三边之比为，图中的三角形阴影部分与不相似；D、三边之比为，图中的三角形阴影部分与不相似．故选：9．如图，AD是△ABC的一条中线，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，交AB，AC于点E，F．若BC＝6，则EG的长为（）A.2 B.3 C.3.5 D.4【答案】A【解析】【分析】根据AD是中线，得到，由G为△ABC的重心，可以得到，有EF∥BC，可以证明△AEG∽△ABD，得到，由此求解即可.【详解】解：∵AD是中线，∴，∵G为△ABC重心，∴，∵EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，∴，∴，故选A.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，重心的性质，三角形的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解。10．如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（）A. B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得都是定值，点F在射线上运动，从而得到当时，最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得和的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案．【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H，直线，，，，，，，，，，，，，，，，，，，和都是定值，点F在射线上运动，当时，最短（如图2所示），延长，相交于点N，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，设，则，，，，，，，，解得，，，，，，，，，，解得，当最短时，则的长度为4．故选：B．【点睛】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段最短时的几何图形是解题的关键．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）11．如图，已知，，如果，那么的长为______．【答案】5【解析】【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据即可求得的长．【详解】解：，，，又，解得：，故答案为：5．12.如图，在中，，垂足为D，，则的长为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键掌握识别基本图形．先由勾股定理求解，再证明求出，最后由线段和差求解即可．【详解】解：∵，，∴在中，，，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴，故答案为：．13.已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若，，则b的值是______．【答案】【解析】【分析】此题考查了比例中项的定义，利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即或或，那么线段b叫做线段a、c的比例中项.根据比例中项的定义即可求解.【详解】解：∵线段b是线段a和线段c的比例中项，，，∴，∴，∵，∴，故答案为：．14．如图，，且，，则△ABC与△ADB的相似比为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先求出的长，根据相似三角形对应边成比例即可求出的长，再求出与的比即可．【详解】解：，，，，，即，，，与的相似比为，故答案为：．15．如图，△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，AE：BE=1：2，AD，CE交于点F，则AD：FD=___________【答案】【解析】【分析】过点D作，交AB于点G，由得，再结合得，即可求出结果．【详解】解：如图，过点D作，交AB于点G，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案是：．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟练运用平行线分线段成比例的性质，构造平行线进行求解．16．如图，在正方形中，点E，F分别在边和上，，交于点作交于点H．则下面结论①；②；③；④当时，平分．正确的是__________；【答案】①②③④【解析】【分析】根据正方形的性质，等边对等角，求出判断①，证明判断②，根据角的和差关系，求出判断③，求出，判断④．详解】解：∵正方形，∴，∵，∴，∴，∴，故①正确；∴，∵，∴，∵，∴，∴，故②正确；∵，，∴，故③正确；∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，又∵，即：，∴平分；故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的判断等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题8分）已知线段a，b，c满足，且．（1）求线段a，b，c的长；（2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】本题考查了比例线段．（1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值；（2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长．【小问1详解】解：设，则，，，又∵，∴，解得，∴，，；【小问2详解】解：∵线段k是线段a，b的比例中项，∴，解得或（舍去），∴线段．（本题8分）如图，在中，，是的中点，在上，且，连接、，求证：．【答案】详见解析【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据题意得到，，结合相似三角形的判定方法即可求证．【详解】证明：是的中点，，又，，，，．19．（本题8分）如图，在中，，，垂足为D．（1）证明：；（2）已知，，求的长．【答案】（1）见详解（2）的长为【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意得，和，则，即可证明；由（1）知，则，代入求解即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴，，∴，即；【小问2详解】解：∵，∴，∵，，∴，整理，得，解得或（不合题意，舍去），∴的长为．20．（本题8分）如图，点C，D在线段上，是等边三角形，，（1）请你说明；（2）求的度数．【答案】（1）见解析（2）120°【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，掌握相似三角形的性质，等边三角形的性质是解题的关键．（1）由相似三角形的性质得，由等边三角形的性质得，即可得证；（2）由相似三角形的性质得，等边三角形的性质得，结合三角形外角的性质即可求解．【小问1详解】证明：，，，是等边三角形，，；【小问2详解】解：，，是等边三角形，，，，．21．（本题8分）如图，在中，的平分线交于点．（1）请用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若，求的长．【答案】（1）见解析（2）2.5【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于E，点E即为所作的点；（2）证明，所以，再由，不难求得的值．【小问1详解】解：作垂直平分线交于点E．点就是所求作的点．【小问2详解】解；连接，由（1）知．，平分，，，，又，．．，，．．．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质和判定，角平分线定义及等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解相关定义和定理是解本题的关键．22．（本题10分）一块材料的形状是等腰△ABC，底边BC=120cm，高AD=120cm．（1）若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上（如图1），则这个正方形的边长为多少？（2）若把这块材料加工成正方体零件（如图2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？【答案】（1）这个正方形的边长为60cm；（2）正方体的表面积为3456cm2【解析】【分析】（1）设正方形的边长为xcm，证明△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性质得到，然后代值求出x值即可；（2）设正方体的棱长为acm，同样证明△AMN∽△ABC，利用相似三角形的性质得到，然后代值求出a值即可．【小问1详解】解：设正方形的边长为xcm，∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，EF=EH=xcm，又AD⊥BC，∴∠AEH=∠ABC，∠AHE=∠ACB，AD⊥EH，DK=EF=xcm，∴△AEH∽△ABC，∴，∵BC=120cm，AD=120cm，∴，解得：x=60，答：方形的边长为60cm；【小问2详解】解：设正方体的棱长为acm，由题意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a，∴△AMN∽△ABC，∴，即，解得：a=24∴正方体的表面积为6×242=3456cm2．【点睛】本题考查相似三角形的应用举例，涉及正方形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、正方体的展开图和表面积等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．23．（本题10分）如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接．（1）是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由．（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）存在．理由见解析（2）存在或或时，使是等腰三角形．理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，解题的关键是作出恰当的辅助线．（1）过P作，由得，再代入相关的数据即可求得t的值，再进行判断即可．（2）分三种情况讨论，利用等腰三角形与相似三角形的性质即可求得t值．【小问1详解】解：过P作，因，则．∴，∴，又，∴．∴．又．根据题意，若存在某一时刻t，使，则有：．解得：（另一解因不满足，故舍去），∴存在这样的，使的面积是面积的．【小问2详解】解：若要使是等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，，解得：．②当时，过P作，垂足为点H（参考上图），则，由知，，即，解得：．③当时，自点M作，则，由得，∴，即，解得：．综合以上三种情况可知，存在或或时，使是等腰三角形．24．（本题13分）黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系．例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形，其底与腰之比就为黄金分割比，底角平分线与腰的交点为黄金分割点．（1）如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D，请你证明点D是腰AB的黄金分割点；（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，若，则请你求出∠A的度数；（3）如图3，如果在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a，b，c．若点D是AB的黄金分割点，那么该直角三角形的三边a，b，c之间是什么数量关系？并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）108°；（3）该直角三角形的三边a，b，c之间应满足，见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，求出∠ABC=∠ACB=72°，再根据CD是∠ACB的角平分线，求出∠ACD=∠BCD=36°，所以△BCD和△ABC是相似的两个等腰三角形，并且AD=BC，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理即可证明；（2）在BC边上截取BD=AB，连接AD，再根据“AB=AC，分别求出与的值都是，所以△ACD∽△ACB，根据相似三角形对应角相等和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用三角形内角和定理列式即可求出∠A的度数；（3）根据相似三角形对应边成比例分别求出AD、BD的长，再根据AB=AD+BD代入整理即可得到a、b、c之间的关系．【详解】解：（1）证明：∵在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，又CD是∠ACB的角平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠DCA，∠BDC＝72°，∴AD＝CD＝BC，在△BCD和△BAC中，∠B＝∠B，∠BCD＝∠A，∴△BCD∽△BAC，∴，∴BC2＝AB•BD又BC＝AD，∴AD2＝AB•BD，∴D是AB的黄金分割点；（2）在底边BC上截取BD＝AB，连接AD，∵，AB＝AC，，，，，又∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴设∠CAB＝∠CDA＝x，∴∠BAD＝∠BDA＝2x，∴x+