期末重难点真题特训之压轴满分题型（84题24个考点）（学生版）-华东师大版(2024)九上

期末重难点真题特训之压轴满分题型（84题24个考点）【精选最新考试题型专训】压轴满分题一、利用二次根式的性质化简1．（2024·山西长治·模拟预测）如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（

）已知，．求的值．解：；原式．A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数2．（23-24九年级上·山东滨州·期中）小明做数学题时，发现；；；；；按此规律，若，为正整数），则．3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题．【问题解决】（1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简；【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式；【问题迁移】（3）若，解方程．压轴满分题二、二次根式的乘除混合运算1．（23-24九年级上·湖北·单元测试）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点，在上截取，连接，分别交，于点，，点是线段上的动点，于点，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（23-24九年级上·山东烟台·期中）按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是．3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．压轴满分题三、二次根式的化简求值1．（2023·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（

）A． B． C．2023 D．2．（2024·山东菏泽·一模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618就应用了黄金分割数．设，，记，，……，，则的值为．3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有这样一个问题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，∴，∴，即，∴，∴．根据小明的解答过程，解决以下问题：(1)计算：．(2)已知．①求的值；②求的值．压轴满分题四、二次根式的应用1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C．(1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________；(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．2．（2024九年级上·湖南·专题练习）材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式；材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式．请解决下列问题：(1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．解：∵一个三角形边长依次为，即，，，∴___________．根据海伦公式可得：___________．(2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．3．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料：基本不等式当且仅当时，等号成立，其中我们把叫正数的算术平均数，叫正数的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？解：∵，∴，即∴．当且仅当时，有最小值，最小值为2；请根据阅读材料解答下列问题：(1)若，函数，当为何值时，函数有最值，并求出其最值．(2)若时，求式子的最值，并说明此时的值．(3)时，式子成立吗？说明理由．压轴满分题五、一元二次方程的解法（直接开平方法、因式分解法、公式法）1．（24-25九年级上·四川雅安·期中）用适当的方法解下列方程：(1)(2)(3)2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）计算或解方程：(1)计算：；(2)计算：；(3)解方程：；(4)解方程：．3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）“数形结合”是数学中的一种基本思想方法，我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”，下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元世纪）和公元世纪的阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解一元二次方程即时的做法为例加以说明．【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为，且面积为的矩形构造成图形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到．从而得到一个正数解．阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和个边长分别为，的矩形构造出图的形状（面积为）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到，从而得到一个整数解．（1）图中，小正方形的边长为____，将图中补充完整（补充的部分用阴影表示）；【类比迁移】（2）小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程．请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线的长：（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充）请分别根据所画图形，求出方程的一个正数解．（注：需要写出必要的推算过程）【拓展应用】（3）一般地，形如的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解．压轴满分题六、配方法解一元二次方程与应用1．（23-24九年级上·河北张家口·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（

）A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是．3．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题例题：求代数式的最小值解：∵

∴不代数式的最小值为4．(1)代数式的最小值为(2)已知实数a，b满足，求代数式的最小值．压轴满分题七、一元二次方程根的判别式1．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．实根的个数与的取值有关 D．没有实数根2．（23-24九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是．3．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”．(1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号）①；②；③；(2)若关于的一元二次方程方程，①证明：此方程一定是“美好方程”；②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．压轴满分题八、一元二次方程的根与系数的关系1．（2024·湖南株洲·一模）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象有一个交点，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则m的值为．3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）我们约定：在平面直角坐标系中，若点满足，我们就说点是该平面直角坐标系内的“大九中”点，若函数图象上存在一个或以上的“大九中”点的函数我们称之为“幸福函数”．根据约定请解决以下问题：(1)若反比例函数是“幸福函数”，请问是否是该函数图象上的“大九中”点？（填“是、否”即可）(2)若函数是“幸福函数”且函数图象上有两个“大九中”点，求的取值范围；(3)若反比例函数的图象上存在两个“大九中”点为，且，求的值．压轴满分题九、一元二次方程的应用（营销、传播、工程）问题1．（23-24九年级上·全国·课后作业）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？2．（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，某体育用品店开展乒乓球拍促销活动．(1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，8月共销售副，求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率；(2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降1元，则每天可多售4副，在每副降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1000元，则每副乒乓球拍应降价多少元？3．（23-24九年级上·四川内江·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．(1)求、两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？压轴满分题十、一元二次方程的应用（几何、行程、图形）问题1．（2024·四川成都·一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．根据以上信息，解答下列问题：(1)小明每分钟跑多少米？(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．2．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止．(1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？(2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由．3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，…，个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如下图表进行探究：点数2345…示意图…直线1…(1)当点数时，直线的条数是______；(2)请你帮小明在下列横线上填上归纳出的一般性结论：______；(3)若某人共画了190条直线，则该平面上共有多少个点？压轴满分题十一、平行线分线段成比例1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，点H为的中点．连结并延长，分别交正方形各边于点M，N，P，Q，若，则的长为（

）A． B．C． D．2．（23-24九年级上·重庆忠县·期中）如图，在等腰中，，点和点分别在AB和上，连接DE，将沿DE翻折，点的对应点刚好落在上，若，，，则的长为．3．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．(1)已知：如图1，在中，是角平分线，求证：．证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程）(2)用三角形内角平分线性质定理解答问题：①已知：如图2，在中，是角平分线，，，．求的长．②如图3，在中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________．压轴满分题十二、相似三角形的判定与性质综合1．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为．(1)求证：；(2)若，，求的长．2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，相交于点，已知，．(1)求的长；(2)当时，求的长．3．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）【问题呈现】和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．（1）如图1，当时，直接写出与的位置关系：_____________；与的数量关系为______________；（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并说明理由．（与的数量关系可用含式子表示）【拓展应用】（3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．压轴满分题十三、证明三角形的对应线段成比例1．（2024·河北唐山·一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（

）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶22．（2024·广东珠海·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，OA＝3，AB＝4，OA⊥AB．(1)△OAB的面积为；(2)若点C在线段OB上，OC＝2BC，双曲线过点C，则k＝．3．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且．求证：(1)；(2)．压轴满分题十四、相似三角形的应用1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）一块直角三角形木板的一条直角边AB为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图1的方式进行加工，小华准备按图2的方式进行加工，加工损耗忽略不计，请用学过的知识说明谁的加工方案符合要求？2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵小树的高度米，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，，，且、、、在同一水平线上．(1)请求出的距离；(2)请求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计）3．（2024·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题：【问题发现】（1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________．【类比探究】（2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论．【拓展应用】（3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．压轴满分题十五、三角形中位线的实际应用1．（2023·江西·一模）如图，四边形中，，，，请用无刻度的直尺按要求画图（不写做法，保留作图痕迹）．(1)在图1中，画出的中点．(2)在图2中，画出的中点．2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一个动点，点F在BC边上，点G在射线FC上，且，EF与DG的延长线相交于点H．(1)当E为AB中点时，求的度数；(2)当E在AB边上运动时，问：（1）中的度数是否发生变化？若改变，求的度数的变化范围；若不变，请说明理由．3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，请回答以下问题：(1)三角形中位线定理是：；(2)梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？小明思考之后给出了如下的证明思路：如图②，连接并延长，交的延长线于点G．先证和全等，再说明是△ABG的中位线．经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系：、；

(3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是；(4)如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探索线段、、、之间的数量关系，并证明．

压轴满分题十六、位似图形1．（23-24九年级上·重庆·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为，则与的周长比是（

）A． B． C． D．2．（2024·四川成都·三模）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比为．

3．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B的坐标为，点的坐标为．(1)若点A的坐标为，求点的坐标；(2)若的面积为m，则的面积为．压轴满分题十七、坐标与图形变化——轴对称1．（2023·浙江台州·三模）如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为1,0，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形沿y轴翻折，此时点F的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标为，点在轴的负半轴上，，直线经过原点，点关于直线的对称点在轴的正半轴上，点关于直线的对称点为，则的度数为；点的纵坐标为．3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．【已有认识】由于，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1．【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．【拓展运用】（1）请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为-1）内．①画出顶点在格点的，其中，②直接写出的面积=____________，点C到AB边的距离为____________．【拓展运用】（2）①在图3中，设轴，轴，于点，则____________，____________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，；②图4中，平面直角坐标系中有两点为轴上任一点，则的最小值为____________；③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：____________．压轴满分题十八、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比1．（2023·河南洛阳·一模）如图，点是的重心，和是以点为位似中心的位似图形．则与的面积之比为（）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上，若A，B的横坐标分别为1，，则的长为．3．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：(1)在图中画出沿x轴翻折后的；(2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为；(3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________．压轴满分题十九、直角三角形的性质1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，是的高，平分，过点作交的延长线于点，则的长是（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，，点D，E分别为、AB的中点，将绕着点B顺时针旋转，得到，当C，，在同一直线上时，则的长为．3．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在等边中，点D，E分别是上的动点，且，AD交CE于点F．(1)如图1，填空：D，E在运动过程中，AD与CE的数量关系为：______；的度数为______；(2)如图2，过C作于P，；①求CF之长；②若，求AB之长；(3)如图3，于P，连接，若，求证：．压轴满分题二十、三角函数的定义求边长1．（2024·湖北恩施·三模）蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知，则Q点坐标为（

）A． B． C． D．2．（2024·山西太原·三模）如图，已知在中，，，，过点C作于，过点作于，过点作于，过点作于，……，按此方法得到的的长为．3．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，在四边形中，，，连接交于点，，且．(1)求的长；(2)若，求的长．压轴满分题二十一、三角函数综合1．（2024·湖南长沙·模拟预测）在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知．(1)求证：四边形是菱形；(2)若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离．2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，外接于锐角，为边的中点，连接并延长交于点，过作的垂线交于点，点为上一点，已知平分且．(1)试求的度数．(2)①证明：．②若，求的值．3．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点O0,0的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关．比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题．(1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是．(2)已知α是钝角，则下列说法正确的是．．．．α．α>0(3)若角α的终边与直线重合，则αα．(4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值．压轴满分题二十二、解直角三角形1．（2024·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，平分，交于点F，交的延长线于点D，交的延长线于点E，于点G．下列结论错误的是（

）

A． B．C． D．2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为对角线，于点，点是延长线上一点，且，线段的延长线交于点．若，，，则的长为．3．（24-25九年级上·河北承德·期中）在一场数学设计活动中，某同学用两套三角尺（每一套含有30°与的两个直角三角形，且两个三角形斜边上的高相等）拼出了如图所示的平行四边形，且中间包含了一个小平行四边形，若三角尺斜边上的高均为h．(1)①求两种直角三角形的直角边长（结果用表示）；②求出中间小平行四边形的面积（结果用表示）；(2)请画出另一种符合题意的平行四边形，要求不与给定的图形状相同，并画出三角形的直角边．压轴满分题二十三、解直角三角形的应用1．（23-24九年级·重庆·自主招生）如图，公路为东西走向，村庄M在点A北偏东方向，且距离A点5千米处，村庄N与村庄M之间的距离为千米，且．求N、A之间的距离．（参考数据：）2．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）安阳红旗渠机场于2023年11月29日正式通航，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号）3．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师要求九年级班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：【实地测量】(1)利用镜子测量：如图，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度．(2)利用标杆测量：如图，小英站在操场上的点处，她的眼睛，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高米，米，米，DE，CF，AB均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度．(3)利用侧角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），分别测得旗杆顶端的仰角，，再测得米，点，到地面的距离CF，DE均为1.5米．求旗杆的高度（参考数据：，）．压轴满分题二十四、随机事件的概率1．（2024·贵州黔南·模拟预测）为让学生了解前沿科技，激发学生的科学兴䞡及创新能力，全面提升学生的综合素质，某学校将开设创意编程社团、无屏编程社团、人工智能社团和社团，小褀和小星两位同学从中各选一个社团，他们恰好选中相同社团的概率是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·全国·单元测试）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：

（1）掷一枚硬币，出现正面朝上；（2）买一张彩票中一百万；（3）；（4）任意买一张电影票，座位号是双号；（5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉．必然事件是；不可能事件是；随机事件是．（填序号）3．（2024·四川乐山·一模）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定每个学生每天体育锻炼时间不少于1小时．某校为了解学生参加体育锻炼的情况，对初三（5）班学生参加体育锻炼的时间进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，如图甲和图乙．(1)根据图中的信息填空：初三（5）班共有人；体育锻炼时间的众数是小时；本次调查的学生参加体育锻炼的平均活动时间是；(2)请将条形统计图补充完整；(3)从初三（5）班的学生中随机抽出一个学生进行调查，抽到学生参加体育锻炼时间不少于1小时的概率是多少？1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，那么的结果是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·福建厦门·单元测试）已知关于的方程的根是整数，其中是实数，则可取的值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．（23-24九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，在正方形中，，交于点O，平分交于点M，交于点E，过点M作交于点F，，则的长为（

）A． B． C．1 D．4．（2024·湖南·模拟预测）在凡尔纳的小说《神秘岛》中，有一段工程师和赫伯特一起测量瞭望塔的高度的情节．工程师先做了一个悬垂，其实就是在绳子的一端栓了一块石头，工程师让赫伯特拿着，然后拿起一根木杆，长度大概为英尺，两个人一前一后向瞭望塔走去，两个人来到距离瞭望塔英尺的一个地方，工程师把木杆的一头插到土里，插下去的深度大概是英尺，接着，工程师从赫伯特手里结果悬垂，对木杆进行校正，知道木杆完全竖直，之后对木杆插到土里的部分进行固定，固定