2025-2026学年上海市浦东模范中学九年级（上）期中数学试卷 （含解析）

2025-2026学年上海市浦东模范中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题4分，共24分）1．（4分）在△中，，，，则的值为A． B． C． D．2．（4分）已知点是线段的中点，下列结论中，正确的是A． B． C． D．3．（4分）在下列函数关系式中，二次函数的是A． B． C． D．4．（4分）在中，点、分别在、上，且，那么下列结论中错误的是A． B． C． D．5．（4分）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△相似的是A． B． C． D．6．（4分）已知命题：①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似；②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似．下列对这两个命题的判断，正确的是A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题二、填空题：（每题4分，共48分）7．（4分）已知点是线段的黄金分割点，较长线段厘米，则线段的长是厘米．8．（4分）在比例尺为的地图上量得两个城市间的距离是，那么这两个城市的实际距离是．9．（4分）如果两个相似三角形的面积之比，那么它们的对应高之比为．10．（4分）点、分别在△的边、上，如果，那么时，．11．（4分）已知是锐角，且，则．12．（4分）如图，△的顶点都是正方形网格中的格点，则．13．（4分）如图，在△中，是的中点，是上一点，且，如果，，那么．（用，表示）14．（4分）如图，在△中，点、分别在边、上，且．如果△的面积为，△的面积为，那么△的面积为．15．（4分）如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，△△（点、点、点的对应点分别是点、点、点，的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为．16．（4分）如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是．17．（4分）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于3，下底等于6，那么它的周长为．18．（4分）如图，已知在△中，，，，点是边上一点，将△沿着翻折，点落在点处，连接，如果，设与边交于点，那么的值是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）．20．（10分）在平行四边形中，点是的中点，、相交于点．（1）设，，试用、表示；（2）先化简，再求作：（直接作在图中）．21．（10分）一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含角的直角三角形，另一块是含角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形（如图），设．（1）用含的代数式直接表示：．（2）求的正切值．22．（10分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测量器，测得；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动到点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，则这棵古树的高度为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）23．（12分）已知：如图，在梯形中，，联结、，△是等边三角形，，与交于点，．（1）求证：△△；（2）求证：点是线段的黄金分割点．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求的正弦；（3）若点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴上，使得△与△相似，求点的坐标．25．（14分）（1）如图1，在△中，，，是边上一点，，是边上一点，．求的长；（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长．（3）在△中，，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点在上，点在上．若，，求关于的函数解析式及定义域．

参考答案一、选择题（每题4分，共24分）1．（4分）在△中，，，，则的值为A． B． C． D．解：，，，，．故选：．2．（4分）已知点是线段的中点，下列结论中，正确的是A． B． C． D．解：、，故本选项错误；、，故本选项正确；、，故本选项错误；、，故本选项错误．故选：．3．（4分）在下列函数关系式中，二次函数的是A． B． C． D．解：、是反比例函数关系，故此选项不符合题意；、是一次函数关系，故此选项不符合题意；、是二次函数关系，故此选项符合题意；、是一次函数关系，故此选项不符合题意；故选：．4．（4分）在中，点、分别在、上，且，那么下列结论中错误的是A． B． C． D．解：，，正确，不符合题意；，错误，符合题意；，正确，不符合题意；，正确，不符合题意；故选：．5．（4分）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△相似的是A． B． C． D．解：在三角形纸片中，，，．、，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△相似，故此选项符合题意；、，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△不相似，故此选项不符合题意；、，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△不相似，故此选项不符合题意；、，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△不相似，故此选项不符合题意；故选：．6．（4分）已知命题：①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似；②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似．下列对这两个命题的判断，正确的是A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题解：两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似，正确，是真命题；两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形一定相似，故原命题错误，是假命题．故选：．二、填空题：（每题4分，共48分）7．（4分）已知点是线段的黄金分割点，较长线段厘米，则线段的长是厘米．解：设线段的长为厘米，点是线段的黄金分割点，较长的线段的长等于4厘米，，解得：，．故答案为：．8．（4分）在比例尺为的地图上量得两个城市间的距离是，那么这两个城市的实际距离是500．解：根据“实际距离纸上距离比例尺”可得：，故答案为：500．9．（4分）如果两个相似三角形的面积之比，那么它们的对应高之比为．解：两个相似三角形的面积之比，这两个三角形的相似比为，它们的对应高之比为，故答案为：．10．（4分）点、分别在△的边、上，如果，那么时，．解：，，△△，，，由，可推导出，从而证明△△，进而证明，故答案为：．11．（4分）已知是锐角，且，则．解：如图，，，，，设，，，．故答案为：．12．（4分）如图，△的顶点都是正方形网格中的格点，则2．解：过点作的垂线，垂足为，令正方形网格的边长为，则．，所以．故答案为：2．13．（4分）如图，在△中，是的中点，是上一点，且，如果，，那么．（用，表示）解：是的中点，，．，，，．故答案为：．14．（4分）如图，在△中，点、分别在边、上，且．如果△的面积为，△的面积为，那么△的面积为8．解：如图，在△中，点、分别在边、上，且．过作点与交于，△的高等于，△△，△△，，，，设，则，，△的面积为，△的面积为，，，，，，整理得：，解得：或（不合题意，舍去），，△的面积为，故答案为：8．15．（4分）如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，△△（点、点、点的对应点分别是点、点、点，的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为，．解：作轴于点，轴于点，则，△△，，、、，，，，，，△△，，，，，，点在第四象限，点的坐标为，，故答案为：，．16．（4分）如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是．解：如图作，，交于，交于．四边形是正方形，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，设，则，，，，，，，，，，故答案为：．17．（4分）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于3，下底等于6，那么它的周长为．解：如图，直角梯形中，，，，，过作于，，，，四边形是矩形，，，，，垂直平分，，梯形是“优美梯形”，△△，，△是等腰直角三角形，，，，△是等腰直角三角形，，梯形的周长．故答案为：．18．（4分）如图，已知在△中，，，，点是边上一点，将△沿着翻折，点落在点处，连接，如果，设与边交于点，那么的值是．解：如图，将△沿着翻折，点落在点处，，，，，，，，，，，，，，，根据勾股定理，连接交于，，，利用面积法求得，，，，根据勾股定理，，△△，，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）．解：原式．20．（10分）在平行四边形中，点是的中点，、相交于点．（1）设，，试用、表示；（2）先化简，再求作：（直接作在图中）．解：（1）四边形是平行四边形，，，点是的中点，，，，，，，，；（2），，，如图，过点作交于点，连接，则即为所求．21．（10分）一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含角的直角三角形，另一块是含角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形（如图），设．（1）用含的代数式直接表示：．（2）求的正切值．解：（1）在△中，．，．在△中，，．故答案为：．（2）过点作的垂线，垂足为，，且△是等腰直角三角形，．，，，△是等腰直角三角形，．在△中，，，．在△中，．22．（10分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测量器，测得；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动到点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，则这棵古树的高度为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）解：如图，过点作于点，则，米，，，，在中，，，．，，．由反射角等于入射角得，，，即，解得：，．这棵古树的高为．23．（12分）已知：如图，在梯形中，，联结、，△是等边三角形，，与交于点，．（1）求证：△△；（2）求证：点是线段的黄金分割点．【解答】证明：（1）△是等边三角形，，，，，，△是等边三角形，，，，，，，△△；（2）△△，，△，△都是等边三角形，，，，点是线段的黄金分割点．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求的正弦；（3）若点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴上，使得△与△相似，求点的坐标．解：（1）将点坐标代入得，，反比例函数的表达式为，将点坐标代入得，，一次函数的表达式为；（2）联立，解得，即；，令得，，，即，，如图，过作轴于点，过作于点，则，，，；（3）由题可知，，，由点坐标可知；①当时，如图，此时有两种情况△，△△，但点只有一个，此时点在直线上，令，可得（负值舍去），；②当，且时，如图，，则点在直线上，令，可得（负值舍去），，；③当，且时，如图，过作轴，此时，，即，，此时点在上，令，可得（负值舍去），，；④当，且时，如图，此时点