2025-2026北师大版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-4章）(学生版)

北师大版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-4章）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（2025九上·海曙期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率，当他把一枚硬币抛掷24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（）A．11011 B．12012 C．13013 D．140142．（2025九上·南山开学考）若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2023 B．2027 C．-2023 D．40503．（2025九上·肇庆期中）中国已经成为全球最大并且最有活力的新能源汽车市场．中国汽车工业协会数据显示，某品牌新能源汽车2022年5月份销量为10万辆，7月份销量为14.5万辆．设该品牌新能源汽车的月平均增长率为xx>0A．101+2x=14.5 BC．10x2=14.5 4．（2023九上·金牛期末）下列说法正确的是（）A．菱形的四个内角都是直角B．矩形的对角线互相垂直C．正方形的每一条对角线平分一组对角D．平行四边形是轴对称图形5．（2025九上·江北期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若△ABC的面积为4，且OA=2AD，则A．6 B．8 C．9 D．126．（2024九上·余江期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（）A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB=ACC．∠A=90° D．点D为BC的中点7．（2025九上·顺德月考）某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径MQ，NO恰好互相垂直，小径MN的中点P与点O被湖隔开，若测得小径MN的长为1km，则P，O两点间距离为（）A．0.5km B．0.75km C．1km D．2km8．（2024九上·徐汇期末）如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别连接AD、AE、CE，如果ADABA．CE∥AD B．BD=ADC．∠ABE=∠CBE D．BO⋅AE=AO⋅BC二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．（2024九上·荔湾期末）如图是某电路的示意图，随机闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是10．（2024九上·青岛月考）一元二次方程ax2+x-6=0有一个根为1，则a=11．（2025九上·江北期末）已知实数a,b满足ab=53，则a12．（2024九上·五华期中）如图，在正方形ABCD和正方形GCEF中，点D在CG上，点B、C、E在同一条直线上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，连接CH，则CH的长是．13．（2025九上·鄞州期末）如图，△ABC中，∠BAC=90∘,AB=8,AC=6，过点C作BC的垂线CD，点P在线段BC上运动，点Q在射线CD上运动，始终满足∠BAP=∠CAQ，连结PQ，当△PCQ与三、解答题（本大题共7小题，共61分）14．（2025九上·长沙开学考）解方程（1）x（2）3x(x+6)=x+615．（2021九上·宁明期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，a3=b16．（2024九上·武侯期中）某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级．其等级对应的分值分别为100分∼91分、90分∼818分、80分∼71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．（1）由图可知该校初三共名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是人；（2）由图可知m的值为；（3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的2人中至少有1个女生的概率．17．（2024九上·湛江期中）如图，正方形ABCD，AB=8．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α（0°<α<90°），得到正方形AEFG，EF交CD于点M，延长FE交BC于点N．（1）求证：MN=DM+BN；（2）顺次连接D，E，C，F，得到四边形DECF．在旋转过程中，四边形DECF能否为矩形？若能，求出BN的值；若不能，请说明理由．18．（2024九上·罗湖期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点A(2，3)，B(4，5)，求线段AB的长度.小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决.思路如下：在平面直角坐标系中，设P1x1y1,P2x2y2,要求线段.P1P2的长度可以用如下的方法，如图，过P1作x轴的垂线，垂足为A，过.P2作x轴的垂线，垂足为B，线段AB长度可表示AB=x2-x1,过P1作y轴的垂线，垂足为C，过P2作yP（1）【解决问题】①则线段AB长度是；②如果点N(-3，5)，点M-5-7,则线段MN长度是（2）【知识迁移】①点.P3-23,P435,请在x轴上找一点②点P3-23,P435,请在x轴上找一点（3）【拓展延伸】①代数式x2-8x+41+x2②代数式x2-24x+153-x219．（2024九上·深圳月考）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了96%．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？20．（2024九上·成都期中）【定义】平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．【初步感知】如图1，▱ABCD为矩形，△BEF为其“中直三角形”，其中∠BEF=90°，求ADAB【深入探究】如图2，△CEF为▱ABCD的“中直三角形”，其中∠CFE=90°，∠B=60°，求ADAB【拓展延伸】在△ABC中，∠A=90°，ABAC=43，以△ABC为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为m，

答案解析部分1．【答案】B【知识点】利用频率估计概率【解析】【解答】解：正面向上的概率为0.5，∴掷一枚均匀的硬币24000次，正面朝上的次数约为12012.

故答案为：B.

【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可.2．【答案】A【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+2x-2025=0

∴α2+2α-2025=0，α+β=-2

∴α2+2α=2025

∴α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=2025-2=2023故答案为：A【分析】根据二次方程根与系数的关系可得α+β=-2，再将x=α代入方程可得α2+2α=2025，化简代数式，再整体代入即可求出答案.3．【答案】D【知识点】列一元二次方程【解析】【解答】解：设该品牌新能源汽车的月平均增长率为xx>0∵5月份销量为10万辆，∴6月份销量为101+x∴7月份销量为101+x∵7月份销量为14.5万辆，∴可列方程为101+x故选D．【分析】根据题意建立方程即可求出答案.4．【答案】C【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质【解析】【解答】解：A、菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；

B、矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；

C、正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；

D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意.

故答案为：C.

【分析】菱形四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形对边相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，不是轴对称图形，是中心对称图形；正方形四边相等，四个内角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，不是轴对称图形，是中心对称图形，据此一一判断得出答案.5．【答案】C【知识点】位似图形的性质【解析】【解答】解：∵OA=2AD,∴∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF,AB∥DE,∴△OAB∽△ODE,∴∴∵△ABC的面积为4，∴△DEF的面积为9，故答案为：C.

【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF,AB‖DE,证明△OAB∽△ODE,，根据相似三角形的性质得到ABDE=6．【答案】A【知识点】菱形的判定【解析】【解答】解：如图所示，连接AD∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，∴四边形DEAF是平行四边形，∠FAD=∠EDA，当点D在∠BAC的平分线上时，∴∠FAD=∠EAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE，∴四边形DECF是菱形，故选项A符合题意；当AB=AC时，不能说明四边形DECF是菱形，故B不符合题意；当∠A=90°时，只能说明四边形DECF是矩形，故C不符合题意；当点D为BC的中点时，不能说明四边形DECF是菱形，故D不符合题意；故答案为：A．【分析】先证明四边形DEAF是平行四边形，再利用平行四边形的性质得到∠FAD=∠EDA结合角平分线的定义得到∠EAD=∠EDA，从而得到AE=DE，再由菱形的判定定理即可得到结论，其余选项均不能得到四边形AFDE为菱形，由此即可解答．7．【答案】A【知识点】直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：连接OP

∵MO⊥NO

∴∠MON=90°

∵P是MN中点

∴PO=12MN=0.5

故答案为：A

【分析】连接OP8．【答案】D【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵AD∴△ADE∽△ABC，∴∠ACB=∠AED，∵∠AOE=∠BOC，∴△AOE∽△BOC，∴AO∴BO⋅AE=AO⋅BC，∴D选项的结论符合题意∵ADAB=则∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABE=∠ACE，∴∠ACE与∠BEC不一定相等，故C选项的结论不符合题意，已知条件不能证明CE∥AD，BD=AD，故A、B选项不符合题意，故答案为：D．

【分析】根据相似三角形的判定与性质：三边对应相等的两个三角形相似，可得△ADE∽△ABC，再通过相似三角形的性质得到∠ACB=∠AED，结合已知条件，利用AA可判定△AOE∽△BOC再通过相似三角形的性质可得到D选项正确，利用AA可判定△BAD∽△CAE，可判定C错误，其余选项不能推导，逐一判断即可解答．9．【答案】2【知识点】用列表法或树状图法求概率【解析】【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡发光的结果数为4，∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是：46故答案为：23【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目是否填写数据．10．【答案】5【知识点】一元二次方程的根；根据一元二次方程的根的情况求参数【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2+x-6=0∴x=1满足关于x的一元二次方程ax∴a+1-6=0，解得，a=5．故答案为：5．

【分析】根据方程的根的意义，可得出关于a的方程，进而解方程即可求得a的值。11．【答案】2【知识点】比例的性质【解析】【解答】解：∵设a=5k,b=3k,∴故答案为：2【分析】设a=5k,b=3k,代入所求的式子化简即可.12．【答案】5【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：如图，连接AC,CF，延长AD交EF于M在正方形ABCD和正方形GCEF中∠DAB=∠B=∠BCD=∠GCE=∠E=90°，∠ACG=45°=∠GCF，则∠ACF=90°

又四边形ABEM是矩形

所以AM=BC+CE=4，ME=AB=BC=1

故FM=EF-ME=CE-ME=2勾股定理得AF=AM2+FM2=25

因H故填：5．【分析】通过连接辅助线连接AC,CF，延长AD交EF于M，构造直角三角形与矩ABEM形，利用正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质求解.13．【答案】5或6.4【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，由勾股定理得：BC=∠B+∠ACB=90°，∵CD⊥BC，∴∠BCD=90°，∴∠ACD+∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ABC；∵∠BAP=∠CAQ，∴△ABP∽△ACQ，∴设BP=x，则有PC=10--x，∴∴QC=∵过点C作BC的垂线CD，∴CD⊥BC,∠BCD=9当△PCQ与△ABC相似时，分两种情况讨论：当△PCQ∽△BAC时，∴∴解得：x=5;当△PCQ∽△CAB时，∴∴解得：x=6.4;综上所述，线段BP的长是5或6.4.故答案为：5或6.4.【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可知∠B+∠ACB=90°，根据CD⊥BC可知∠ACD+∠ACB=90°，所以可得∠ACD=∠ABC，可证△ABP∽△ACQ，设BP=x，则有PC=10-x、QC=34x,当△PCQ与△ABC相似时，分两种情况：一种是△PCQ∽△BAC；另一种是△PCQ∽△CAB.再根据相似三角形对应边成比例得到关于x的方程，解方程求出14．【答案】（1）解：xxxx-5x-5=±x=5±x（2）解：3x(x+6)=x+63x(x+6)-(x+6)=0(x+6)(3x-1)=0x+6=0或3x-1=0x【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；

（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.15．【答案】解：设a3=b4=c又∵a+b+c=48∴3x+4x+5x=48解得x=4∴a=12、b=16、c=20【知识点】比例的性质；利用等式的性质解一元一次方程【解析】【分析】设a3=b4=c5=x，则a=3x。b=4x，c=5x，代入a+b+c=48中求出x的值，进而可得16．【答案】（1）500，210（2）18（3）解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，所以抽取的2人中至少有1个女生的概率=【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率【解析】【解答】（1）解：80÷16%=500(名所以该校初三共500名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数为500×42%=210(名故答案为：500，210；（2）解：D等级人数所占的百分比为1-42%所以m=18，故答案为：18；【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用A等级人数除以它所占的百分比得到该学校初三的总人数，然后用总人数乘以C等级人数所占的百分比得到C等级人数；（2）先用1分别减去A、B、C等级的百分比得到D等级所占的百分比，从而确定m的值；（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，然后根据概率公式计算．（1）解：80÷16%=500(名所以该校初三共500名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数为500×42%=210(名故答案为：500，210；（2）解：D等级人数所占的百分比为1-42%所以m=18，故答案为：18；（3）解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，所以抽取的2人中至少有1个女生的概率=1017．【答案】（1）证明：连接AM,AN

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠D=90°，AB=AD，

由旋转得：AB=AE，∠AEM=∠AEN=∠B=90°，

∴AD=AE，∠AEM=∠D=90°，

∵AM=AM，

∴△AEM△≌ADMHL，

∴DM=EM，

同理可证：△ABN≌△AEN，

∴BN=EN，

∵MN=ME+EN，

∴MN=DM+BN；（2）解：能，BN=83​​​​​​​

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD=AB=8，∠BCD=90°，

由旋转得：CD=EF，

故当CD,EF互相平分时，四边形CEDF为矩形，

∵CD,EF互相平分，

∴四边形CEDF为平行四边形，

∵CD=EF，

∴四边形CEDF为矩形，

设BN=x，则CN=8-x，DM=CM=12×8=4，

由（1）知MN=BN+DM=x+4，

∴在Rt△NCM中，由勾股定理得：8-x2+4【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质【解析】【分析】（1）首先根据HL证得△AEM△≌ADM，得出DM=EM，同理可证：△ABN≌△AEN，可得BN=EN，进而得出MN=DM+BN；（2）由旋转得：CD=EF，故当CD,EF互相平分时，四边形CEDF为矩形，设BN=x，则CN=8-x，DM=CM=4，ME=x+4，在Rt△NCM中，由勾股定理得：8-x2（1）证明：连接AM,AN∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AB=AD，由旋转得：AB=AE，∠AEM=∠AEN=∠B=90°，∴AD=AE，∠AEM=∠D=90°，∵AM=AM，∴△AEM△≌ADMHL∴DM=EM，同理可证：△ABN≌△AEN，∴BN=EN，∵MN=ME+EN，∴MN=DM+BN；（2）解：能，BN=∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=8，∠BCD=90°，由旋转得：CD=EF，故当CD,EF互相平分时，四边形CEDF为矩形，∵CD,EF互相平分，∴四边形CEDF为平行四边形，∵CD=EF，∴四边形CEDF为矩形，设BN=x，则CN=8-x，DM=CM=1由（1）知MN=BN+DM=x+4，∴在Rt△NCM中，由勾股定理得：8-x2解得：x=83，即18．【答案】（1）22；（2）34​​​​​​​；89（3）217；【知识点】点的坐标；配方法的应用；坐标系中的两点距离公式【解析】【解答】解：（1）①∵点A(2，3)，B(4，5)，

∴线段AB长度＝2-42+3-52=22；

②∵N（-3，5），M(-5，-7)，

∴线段MN长度＝-3+52+5+72=237；

故答案为：22；237；

（2）①如图所示，连接P4P3延长交x轴于点P，

∴此时，PP4−PP3的值最大，

∴PP4−PP3的最大值P3P4＝3+22+5-22=34；

②如图所示，作点P3关于x轴的对称点P'（−2，−3），连接P4P'交x轴于点P，则此时PP4＋PP3＝P'P4最小，

∴PP4＋PP3＝P'P4＝3+22+5+32=89，

故答案为：34；89；

（3）①求代数式x2-8x+41+x2-4x+13的最小值，

参考（2）②中的图形，点P（x，0）、点P4（4，5）、点P3（2，3），则P'（2，−3），

∴x2-8x+41+x2-4x+13=x-42+52+x-22+32，

∴x-42+52+x-22+32的最小值=4-22+5+32=217；

②求代数式x2-24x+153-x2+4的最大值，

参考（2）①中的图形，点P3（0，2）、P4（12，3），点P（x，0），

∴代数式的最大值为：P3P4＝12-02+3-22=145，

故答案为：217；145．19．【答案】（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；由题意得：(1+x)解得：x1=-2.4（舍），x2=0.4=40%，

答：该品牌汽车企业2021（2）解：设应该再增加m个工厂，(2+m)(6-0.2m)=27m1=25答：应该再增加3个工厂．【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据“从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了96%”（2）设应该再增加m个工厂，根据“每季度生产汽车27万辆”，列出一元二次方程求解．（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；(1+x)解得：x1=-2.4（舍），（2）解：设应该再增加m个工厂，(2+m)(6-0.2m)=27m1=25答：应该再增加3个工厂．20．【答案】[初步感知]解：∵▱ABCD为矩形，

∴∠A=∠D=90°，AB=CD，

∴∠ABE+∠AEB=90°，

∵∠BEF=90°，

∴∠AEB+∠DEF=90°，

∴∠ABE=∠DEF，

∴△ABE∽△DEF，

∴ABDE=AEDF，

由题意知，DE=AE=12AD，DF=CF=12CD=12AB，

∴AB12AD=12AD12AB，

解得，ADAB=2，

∴ADAB=2；

[深入探究]解：如图1，作CG⊥AD于G，作EH⊥AD的延长线于