新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县多校2025-2026学年高二上学期12月期中联考数学试题（解析版）

2025-2026学年度第一学期期中考试试卷高二数学试题考试范围：空间向量与立体几何，直线和圆的方程；考试时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间中三个不同的点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的加法法则化简可得结果．【详解】因为故选：B．2.若直线l与直线垂直，则l的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出直线的斜率，结合直线l与直线垂直得斜率，从而得到l的倾斜角．【详解】直线的斜率是，因为直线l与直线垂直，所以直线l的斜率为，由，所以l的倾斜角为．故选：B3.已知向量，，且，则（）A. B.2 C.4 D.6【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求得的值.【详解】因为向量，，所以，又因为，所以，所以，解得.故选：A.4.两条平行直线与之间的距离为（）A6 B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件得，再利用两平行线间的距离公式，即可求解.【详解】因为直线与平行，所以，直线即，所以两条平行直线之间的距离为.故选：C.5.圆与圆的位置关系是（）A.外切 B.外离 C.相交 D.内切【答案】A【解析】【分析】根据给定条件求出两圆的圆心坐标及它们的半径，再计算两圆圆心距即可判断作答.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，于是得，即，所以圆与圆外切.故选：A6.若非零向量，满足，，则与的夹角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】B【解析】【分析】设与的夹角为θ，则由，，可得，从而可求得与的夹角【详解】设与的夹角为θ，因为，所以，所以，因为非零向量，满足，所以，因为，所以，即，故选：B7.定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据斜坐标的定义直接计算可得.【详解】因为向量在基底下的斜坐标为，所以，所以向量在基底下的斜坐标为.故选：D.8.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则面积的最大值为（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线方程求得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．【详解】由题意直线过定点，直线可变为，令，得，所以该直线过定点，所以．又，所以直线与直线互相垂直，且交点为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，所以，，即面积的最大值是．故选：B．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在三棱柱中，P为空间中一点，且满足，则下列说法正确的是（）A.当时，点在棱上 B.当时，点在线段上C.当时，点在棱上 D.当时，点在线段上【答案】ACD【解析】【分析】判断点是否在线段上，利用共线向量定理及推论逐项判断即可．【详解】对于A，当时，，，所以，则点在棱上，故A正确；对于B，当时，，，连接，即，即，所以点在线段上，故B错误；

对于C，当时，，，所以，所以，即，所以点在棱上，故C正确；对于D，当时，，，由三点共线结论知,三点共线，所以点在线段上，故D正确．故选：ACD.10.已知实数，满足圆的方程，则（）A.圆心为，半径为 B.的最大值为2C.的最大值为 D.的最大值为【答案】AC【解析】【分析】根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二次函数值域计算判断D.【详解】对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确；对于B，由，有，所以的最大值为，故B错误；对于C，表示圆上点到定点的距离，圆心到定点的距离为，所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确；对于D，由得，所以，，令，由在上单调递增，所以，所以的最大值为，故D错误.故选：AC.11.三棱锥中，，，两两垂直，且，下列命题中正确的是（）A.B.C.三棱锥的体积为D.和的夹角为【答案】ABD【解析】【分析】根据向量数量积的运算律以及完全平方公式，计算可得A正确，B正确，再由锥体的体积公式可验证C错误，利用向量夹角公式代入计算可得D正确.【详解】对于A，易知，因为两两垂直，所以，而，所以，即A正确；对于B，知，因为两两垂直，所以，所以，即B正确；对于C，易知，显然，所以，因此，又，，所以，所以，因为两两垂直，且，所以三棱锥的体积为，即C错误；对于D，因为，又，所以，，同理，设和的夹角为，可得，可得，即D正确.故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.若直线过，则此直线的斜率为______．【答案】【解析】【分析】利用两点间的斜率公式求解即可.【详解】若直线经过，则此直线的斜率为；故答案为：13.已知，，且，则点坐标为______．【答案】【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算建立方程，求解坐标即可.【详解】因为，，设，所以，，因为，所以，解得，得到.故答案为：14.已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是______．【答案】【解析】【分析】设圆的方程为，由条件列方程求可解.【详解】因圆心在直线上，设圆心坐标为，圆标准方程为：，则，解得：，所以圆C的标准方程为．故答案为：四、解答题：本题共5个题目，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的三个顶点分别是，，.（1）求边上的高所在的直线方程；（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.（2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程.【小问1详解】直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3，所以边上的高所在的直线方程为，即.【小问2详解】依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得，所以直线的方程为.16.如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：（1）若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系；（2）若点D满足，，试确定点D的坐标．【答案】（1）垂直（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，将空间向量用坐标形式表示，将立体几何问题转化为代数问题，从而可解；（2）利用向量平行的坐标关系列方程组求解即可．【小问1详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，由于OA，OC的中点分别为E，F．因此，，得．又，所以，即，故EF与OB垂直．【小问2详解】设，则，，，，由，，，因此存在实数，，使得，，即．即点D的坐标为．17.已知圆．（1）将圆C的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径．（2）求直线被圆C所截得的弦长．【答案】（1）圆的标准方程为，其圆心为，半径为，（2）【解析】【分析】（1）将圆一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径.（2）求出圆心到直线的距离，然后可算出答案.【小问1详解】由可得该圆的标准方程为其圆心为，半径为.【小问2详解】圆心到直线的距离为所以直线：被圆所截得的弦长为18.已知圆，直线．（1）若圆O的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程；（2）点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点.【答案】（1）（2）直线CD经过定点【解析】【分析】（1）弦AB恰好被点平分，则，即可求得斜率，根据点斜式即可得弦AB所在直线的方程；（2）设出点坐标,根据题意可知O，C，Q，D四点共圆，且CD为直径，求出新圆圆心和半径，进而求得新圆的方程，进而求得直线CD的方程，即可得过的定点.【小问1详解】由圆，得圆心，半径，又，所以，所以，所以，即：弦AB所在直线的方程为.【小问2详解】直线l与圆O相离，令，线段OQ中点，因为O，C，Q，D四点位于圆上，又圆，所以CD是圆O与圆K的相交弦，故．即，由且，得直线CD经过定点．19.如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题．（1）求证：．（2）求线段的中点到平面的距离．（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，再计算出，后相乘即可得；（2）求出平面的法向量后由点到平面距离的向量公式即可求解；（3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解．【小问1详解】取的中点，连接，，由为等边三角形，得，而平面平面