高一数学（人教A版）学案必修二8-3-1棱柱棱锥棱台的表面积和体积

8．3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积——(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)[课时目标]1．知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积与体积的计算公式，并能利用计算公式解决实际问题．2．掌握几何体的侧面展开图，理解侧面展开图与几何体的表面积之间的关系．1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体________的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．|微|点|助|解|棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱＝ShS为棱柱的________，h为棱柱的______棱锥V棱锥＝eq\f(1,3)ShS为棱锥的________，h为棱锥的______棱台V棱台＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)S′，S分别为棱台的____________，h为棱台的____|微|点|助|解|对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同．(2)等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．(3)棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系．V棱柱＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S))V棱台＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)eq\o(→,\s\up7(S′＝0))V棱锥＝eq\f(1,3)Sh.(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积．根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积．eq\a\vs4\al(基础落实训练)1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．962．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为()A．4 B.eq\f(\r(3),4)C．2eq\r(3) D.eq\r(3)3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积等于________．题型(一)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积[例1](1)已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置时的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，如图所示．若A′O′＝O′B′＝B′C′＝1，则该直四棱柱的表面积为()A．20＋4eq\r(2) B．8＋2(eq\r(2)＋eq\r(3))C．20＋8eq\r(2) D．8＋4(eq\r(2)＋eq\r(3))(2)如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝3，AA1＝eq\r(5)，则正四棱台ABCD－A1B1C1D1的表面积为()A．28 B．26C．24 D．16听课记录：|思|维|建|模|1．求表面积的基本解题步骤(1)确定几何体．分析题中所给几何体的结构特点，确定几何体模型．(2)计算表面积．根据几何体模型的表面积计算公式，求出相关的表面积．(3)得出结论．将计算的表面积与题设要求对应即得问题答案．2．求正棱台表面积的注意点求解正棱台的表面积时注意棱台的底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形．[针对训练]1．已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为()A．1∶eq\r(2) B．1∶eq\r(3)C．2∶eq\r(2) D．3∶eq\r(6)2．用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶(铁皮的正反面都要涂漆)，其高是1m，底面的边长是1.5m，已知每平方米需用油漆150g，共需用油漆______kg.(精确到0.1kg)题型(二)棱柱、棱锥、棱台的体积[例2](1)(多选)已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9cm，宽为6cm的矩形，则此正三棱柱的体积可以为()A.eq\f(9\r(3),4)cm3 B.eq\f(27\r(3),2)cm3C．6eq\r(3)cm3 D．9eq\r(3)cm3(2)如图，四棱台ABCD－A1B1C1D1的侧棱长均相等，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是正方形，A1B1＝2，AB＝4，AA1＝3eq\r(2)，则该四棱台的体积为__________．听课记录：|思|维|建|模|求几何体体积的常用方法公式法直接代入公式求解等积法例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可补体法将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等分割法将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积[针对训练]3．一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为eq\r(3)，那么这个四棱锥的体积为()A.eq\f(4,3) B.eq\f(4\r(2),3)C.eq\f(8,3) D.eq\f(8\r(2),3)4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为10，则AA1＝________.题型(三)简单组合体的表面积和体积[例3]某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体ABCD－A′B′C′D′挖去一个四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体ABCD－A′B′C′D′的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝8，AA′＝6，那么该模型的表面积为____________．听课记录：|思|维|建|模|求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．[针对训练]5.贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的9倍，若几何体Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的高之比为3∶3∶5，则几何体Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的体积之比为()A．3∶9∶25 B．9∶21∶35C．3∶39∶65 D．9∶39∶65eq\a\vs4\al(课下请完成课时跟踪检测二十五)8．3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课前预知教材1．各个面2.底面积高底面积高上、下底面面积高[基础落实训练]1．选B设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4.∴其体积V＝a3＝43＝64.故选B.2．选D三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为eq\f(\r(3),4)，所以此三棱锥的表面积为4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).故选D.3．解析：V台体＝eq\f(1,3)(2＋4＋eq\r(2×4))×3＝eq\f(1,3)×3×(6＋2eq\r(2))＝6＋2eq\r(2).答案：6＋2eq\r(2)课堂题点研究[题型(一)][例1]解析：(1)由直观图可得底面四边形ABCD的平面图形如图所示，由A′O′＝O′B′＝B′C′＝1，得AO＝OB＝1，C′O′＝eq\r(O′B′2＋B′C′2)＝eq\r(2)，所以OC＝2eq\r(2)，则S四边形ABCD＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，BC＝eq\r(OC2＋OB2)＝3，所以直棱柱的底面周长C四边形ABCD＝2×(2＋3)＝10.又直棱柱的高h＝2，所以棱柱的侧面积S侧面积＝C四边形ABCD·h＝20，所以棱柱的表面积S表面积＝S侧面积＋2S四边形ABCD＝20＋8eq\r(2).(2)在正四棱台ABCD­A1B1C1D1的侧面ABB1A1中，过点A1作A1E⊥AB，垂足为E，则A1E＝eq\r(AA\o\al(2,1)－AE2)＝eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－1,2)))2)＝2，所以侧面ABB1A1的面积Seq\a\vs4\al(侧面ABB1A1)＝eq\f(1,2)(AB＋A1B1)·A1E＝eq\f(1,2)×(3＋1)×2＝4，所以正四棱台ABCD­A1B1C1D1的表面积S＝4×4＋12＋32＝26.答案：(1)C(2)B[针对训练]1.选B如图，棱锥B′­ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝eq\r(2)，S△B′AC＝eq\f(\r(3),2)，三棱锥的表面积S锥＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝1∶eq\r(3).2．解析：如图，正四棱锥S­ABCD表示冷水塔塔顶，O表示底面中心，SO是高，SE是斜高，则SO＝1m，底面的边长是1.5m，在Rt△SOE中，由勾股定理得，SE＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.5,2)))2＋12)＝1.25(m)，所以S正四棱锥侧面＝eq\f(1,2)×1.5×1.25×4＝3.75(m2)．因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆3.75×2×150＝1125(g)，由精确到0.1kg，实际问题向上取整，可得共需用油漆1.2kg.答案：1.2[题型(二)][例2]解析：(1)因为正三棱柱的侧面展开图是一个长为9cm，宽为6cm的矩形，所以正三棱柱的底面边长可为3cm，高为6cm，则此正三棱柱的体积为V＝eq\f(1,2)×3×3×sin60°×6＝eq\f(27\r(3),2)cm3；正三棱柱的底面边长也可为2cm，高为9cm，则此正三棱柱的体积为V＝eq\f(1,2)×2×2×sin60°×9＝9eq\r(3)cm3.(2)在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，Q，R分别是上、下底面对角线的交点，即上、下底面的中心，则RQ为四棱台的高，过点D1作D1P∥RQ与BD交于点P，则RQ＝PD1，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是正方形，且A1B1＝2，AB＝4，AA1＝3eq\r(2)，所以BD＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，B1D1＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，所以PD＝eq\f(BD,2)－eq\f(B1D1,2)＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2)，DD1＝AA1＝3eq\r(2)，所以PD1＝eq\r(3\r(2)2－\r(2)2)＝4，即四棱台的高h＝4.又下底面面积S＝2×2＝4，上底面面积S′＝4×4＝16，所以该四棱台的体积为V＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h＝eq\f(1,3)×(4＋eq\r(4×16)＋16)×4＝eq\f(112,3).答案：(1)BD(2)eq\f(112,3)[针对训练]3．选B由题意设正四棱锥的棱长为a，则其斜高为eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(3)a,2)＝eq\r(3)，因此a＝2，所以正四棱锥的高为eq\r(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\r(2).所以这个四棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\r(2)×22＝eq\f(4\r(2),3).故选B.4．解析：由题意知VABCD­A1C1D1＝VABCD­A1B1C1D1－VB­A1B1C1＝2×2·AA1－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2·AA1＝eq\f(10,3)AA1＝10，∴AA1＝3.答案：3[题型(三)][例3]解析：由题意可得OE＝OF＝OG＝OH＝eq\r(32＋42)＝5，HG＝FG＝EF＝EH＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，所以S△OHG＝S△OFG＝S△OEF＝S△OEH＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×eq\r(52－2\r(2)2)＝2eq\r(34)，故该模