浙江省宁波市曙光中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年浙江省宁波市曙光中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，是二次函数的是(

)A.y=1x2-3 B.y2.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90∘到△ADE，若∠DAE=50A.30∘

B.40∘

C.50∘

3.在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心，r为半径作⊙C.若点A在A.3cm B.3.5cm C.4cm D.4.把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A.y=-(x-1)2+3 B.5.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为(-2,4).若以原点O为位似中心，相似比为14，把△AOB缩小，则点A的对应点A'的坐标是A.(-12,1)

B.(-12,1)或(12

6.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若OA⋅OD=OC⋅A.①和②相似

B.①和③相似

C.①和④相似

D.②和④相似

7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，点E在优弧BAD上，∠E=35∘，则A.110∘

B.115∘

C.120∘8.在下列函数图象上任取不同的两点P(x1,y1)，A.y=2x(x>0) B.y9.二次函数y=ax2+bx+c(A.abc>0

B.4ac-b2<0

C.3a+10.如图，点O是等边△ABC内一点，OA=2，OB=23，OC=4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60∘得到线段BOA.53

B.43

C.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.已知4是x和8的比例中项，则x=

.12.如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=55∘，则∠BOC

13.《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿.哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为AC的黄金分割点(BC>AB)，已知哪吒在剧中的身高AC设定为74cm，则其头部的长度AB是

cm(

14.已知⊙O的直径为20，AB，CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，15.若关于x的方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则抛物线y16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点I在DE上，以EF为直径的圆交直线AB于点M，N.若I为DE的中点，AB

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(-3,0)，(2,-5).

(1)试确定此二次函数的解析式；

(2)18.(本小题8分)

如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上.

(1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P；

(2)求AC的长.19.(本小题8分)

如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器.将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y=a(x-20)2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC=2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米.已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米20.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AB=AC，点E在AC上，经过A，B，E三点的圆交BC于点D，且D是BE的中点.

(1)求证：AB是圆的直径.

(2)连结BE，若AB=10，∠21.(本小题8分)

在二次函数y=ax2+bx+cx…-01234…y…1052125…(1)当x=5时，对应的函数值y=______；

(2)求该二次函数的表达式；

(3)若该函数图象上两点A(m,y1)、22.(本小题10分)

如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA=2∠DCA，点E在AC上，∠EDC=∠ABC.若BC=523.(本小题10分)

在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0).

(1)若a=1，函数图象经过点(0,-4)和(3,-1)，求函数图象的顶点坐标.

(2)若a=-2，函数图象与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)，且24.(本小题12分)

如图，△ABC是圆O的内接三角形，连接BO并延长交AC于点D，∠ACB=α，∠BAC=mα.

(1)若α=30∘，求∠ABD的度数；

(2)若∠ADB=nα+90∘，求证：m+

答案和解析1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】A

11.【答案】2

12.【答案】110

13.【答案】(111-3714.【答案】53-15.【答案】四

16.【答案解：连接EC，FC，

∵四边形ACDE和四边形BCGF均为正方形，

∴AC=AE=ED，∠ACE=45∘，∠CAE=∠AED=90∘，BC=BF，∠BCF=45∘，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，

∴∠ACE+∠ACB+∠BCF=180∘，

∴点E，C，F在同一条直线上，

过点E，F作直线MN的垂线，垂足为R，T，设EF的中点为O，过点O作OK⊥MN于K，连接OM，如图所示：

∵四边形ABHI和四边形BCGF均是正方形，

∴∠IAC=90∘，AB=AI，∠CBF=90∘，BC=BF，

∴∠BAC+∠CAI=90∘，

又∵∠IAE+∠CAI=90∘，

∴∠BAC=∠IAE，

在△ABC和△AIE中，

AB=AI∠BAC=∠IAEAC=AE，

∴△ABC≌△AIE(SAS)，

∴BC=IE，

∵点I为DE的中点，

∴ID=IE，

∴AE=ED=2IE，

∴AC=2BC，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

即(2BC)2+BC2=52，

∴BC=5，AC=2BC=25，

在Rt△ACE中，AC=AE=25，

由勾股定理得：17.【答案】解：(1)由题意得，9a-3b+3=04a+2b+3=-5，

解得，a=-1b=-2，

则二次函数的解析式为y=-x218.【答案】解：(1)如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，

则点P即为所求．

(2)由勾股定理得，AC=19.【答案】解：(1)由题意，∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米，

∴k=10.

∴石块运行的函数关系式为y=a(x-20)2+10.

把(0,0)代入解析式得：400a+10=0，

∴a=-140.

∴y=-140(x-20)2+1020.【答案】(1)证明：连接AD，

∵D是BE的中点，

∴BD=DE，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AB=AC，

∴∠ADB=90∘，

∴AB是圆的直径；

(2)解：连接OE，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=75∘，

∴∠BAC=180∘-∠ABC-∠C=30∘，

在21.【答案】10

y=x2【解析】(1)∵对称轴为直线x=2，

∴当x=5时，与当x=-1时的函数值相同，即为10，

故答案为：10；

(2)将(0,5)，(1,2)，(2,1)代入y=ax2+bx+c得，

c=5a+b+c=24a+2b+c=1，

c=5a=1b=-4，

∴22.【答案】解：如图，在AB上取一点F，使AF=AD，连接CF.

∵AC平分∠BAD，

∴∠FAC=∠DAC，

∵AC=AC，

∴△AFC≌△ADC(SAS)，

∴CF=CD，∠FCA=∠DCA，∠AFC=∠ADC，

∵∠FCA+∠BCF=∠BCA=2∠DCA，

∴∠DCA=∠BCF，

即∠DCE=∠BCF，

∵∠EDC=∠ABC，即∠EDC=∠FBC，

23.【答案】(1)解：二次函数解析式为y=x2+bx+c，

由条件可得c=-49+3b+c=-1，

解得：b=-2c=-4，

∴二次函数y=x2-2x-4=(x-1)2-5，

∴函数图象的顶点坐标为(1,-5)；

(2)证明：若a=-2，则二次函数y=-2x2+bx+c，

∴抛物线开口向下，

∵函数图象与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)，且x1<6<x2，

∴当x=6时，y=-2×62+6b+c>0，

∴-72+6b+c>0，

∴6b+c>72；

(3)解：∵当x≤1时，y≥t+1；当x>1时，y≥t，

∴抛物线开口向上，

∴a24.【答案】(1)解：如图1，△ABC是圆O的内接三角形，连接BO并延长交AC于点D，∠ACB=30∘，连接OA，

∴∠AOB=2∠ACB=60∘，

∵OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠ABD=60∘；

(2)证明：如图2，∠AC