贵州省六盘水市盘州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

第第页贵州省六盘水市盘州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=−3,0,5,B={xx>0A．−3 B．−3,0 C．5 D．0,52．已知复数z1=−1+3i,z2=a+bA．－4 B．－3 C．－2 D．03．抛物线y=8xA．132 B．116 C．14．若方程x2A．−∞，−2 B．−2，−1 C．5．数列−2，4，−26A．an=(−1)C．an=(−1)6．函数f(x)=2A． B．C． D．7．已知向量m=1，2，−1,n=t，1，−t，且A．12或−1 B．15或1 C．−1或2 8．已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆x2A．3 B．4 C．5 D．6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在等比数列{an}中，a2=2,A．−1 B．−2 C．2 D．410．若直线a⊄平面α，且直线a不平行于平面α.给出下列结论正确的是（）A．α内的所有直线与a异面 B．α内存在直线与a相交C．α内存在唯一的直线与a平行 D．α内不存在与a平行的直线11．设点F1，F2分别为椭圆C：x29+y25=1A．1 B．3 C．5 D．412．已知抛物线C：y2=12x，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点A．抛物线C的准线方程为x=−3B．若PF=7，则△PMF的面积为2C．PF−|PM|的最大值为D．△PMF的周长的最小值为7+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设a，b为单位向量，且|a+14．过点A(3，−1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是.15．已知四位数4521，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为.16．已知各项均为正数的递增等差数列an，其前n项和为Sn，公差为d，若数列Sn也是等差数列，则a四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知等差数列an的前n项和为S（1）求an（2）若bn=1anan+118．已知半径为2的圆C的圆心在射线y=x(x>0)上，点A(−1,1)在圆C上．（1）求圆C的标准方程；（2）求过点B(−1,0)且与圆C相切的直线方程．19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S=3（1）求角C的大小；（2）求sinA⋅20．已知双曲线C：x22−y2b2=1（b>0），直线（1）若点4,0是双曲线C的一个焦点，求双曲线C的渐近线方程；（2）若点P的坐标为−2,0，直线l的斜率等于1，且PQ=21．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D（1）证明：AC⊥平面DD（2）求直线D1E与平面22．已知椭圆C：x2a2（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l与椭圆C相交于P，Q两点，原点O到直线l的距离为3510．点M在椭圆C上，且满足

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为集合A=−3,0,5,B={xx>0故答案为：C.【分析】根据集合的交集运算计算即可.2．【答案】A【解析】【解答】z2因为z1=z所以a=−1,−b=3，即a=−1,b=−3，所以a+b=−4．故答案为：A．【分析】先化简复数z2，然后根据复数相等求出a,b3．【答案】B【解析】【解答】解：抛物线的标准方程为x2所以焦点坐标为F(0，所以抛物线y=8x2的焦点到其准线的距离为故答案为：B

【分析】将抛物线方程转化为标准方程x24．【答案】A【解析】【解答】解：若方程x2则1+m<04-m2<0，即m<-1m>2或m<-2故答案为：A.【分析】根据方程表示焦点在y轴上的双曲线列不等式组求解即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：A、当n=3时，a3B、当n=1时，a1=−2，当n=2时，a2=4，

当n=3时，a3C、当n=2时，a2D、当n=2时，a2故答案为：B.【分析】给n取值，逐项验证排除即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：函数f(x)=2cosx−12x−2−x定义域为当0<x<π3时，故答案为：A.【分析】先求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可判断BD；再由0<x<π3时，7．【答案】B【解析】【解答】解：因为m⊥平面α,n⊥平面β，所以m→，n→为平面α，β的法向量，

因为平面α与平面β的夹角的余弦值为223，所以2+2t6⋅1+2t2故答案为：B.【分析】由题意，可得m→，n→为平面α，8．【答案】D【解析】【解答】解：直线l：x-my+4m-3=0变形可得x−3+4−y因为点P在圆x2+y故答案为：D.【分析】易得直线恒过定点Q3,49．【答案】B,C【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q，因为a2=2,a6=32故答案为：BC.【分析】由题意，根据等比数列的通项求解即可.10．【答案】B,D【解析】【解答】解：由直线a⊄平面α，且直线a不平行于平面α，可知直线a与平面α相交，设交点为O，则平面α内必存在过点O的直线，这些直线与a相交，故A错误，B正确；假设α内存在直线与a平行，由于直线a⊄平面α，则直线a平行于平面α，与题意矛盾，则α内不存在与a平行的直线，故C错误，D正确.故答案为：BD.【分析】由题意结合异面直线判断方法，则判断出选项A；利用已知条件和相交直线判断方法，则判断出选项B；利用已知条件和平行直线判断方法，则判断出选项C和选项D，进而找出结论正确的选项.11．【答案】B,D【解析】【解答】解：易知F1−2,0，F22,0，设Px0,y0，

则PF1=−2−x0,−则x02=9m−94，要使得P故答案为：BD.【分析】易知椭圆的焦点坐标，设点Px0,y0，得到PF1→，PF2→的坐标，由点12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、抛物线y2=12x，则准线方程为B、根据抛物线定义得PF=xP+p2=xP+3=7，xP若P点在第一象限时，则P4,43，PM=43−3，△PMF的高为1，若点P在第四象限，P4,−43，△PMF的高为1，则S△PMFC、因为|PF|−|PM|≤MF，所以|PF|−|PM|max=D、连接FM，并延长交于抛物线于点P，如图所示：此时即为|PF|−|PM|最大值的情况，

过点P作PD⊥准线，垂足为点D，如图所示：△PMF的周长=PM若周长最小，则PM+PD长度和最小，显然当点P,M,D位于同一条直线上时，PM+MF的和最小，此时故答案为：ACD.【分析】根据抛物线的标准方程求准线方程即可判断A；根据抛物线定义，分情况计算三角形面积即可判断B；利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到|PF|−|PM|max=MF，计算即可判断C；三角形PMF的周长=13．【答案】3【解析】【解答】因为a，b为单位向量，所以所以|a解得：2a所以|a故答案为：3。

【分析】因为a，b为单位向量，所以|a|=14．【答案】x+3y=0或【解析】【解答】解：当截距为0时，满足在两坐标轴上的截距相等，此时设直线方程为y=kx，

则−1=3k⇒k=−13，故y=−1当截距不为0时，设直线方程为xa+ya=1，则3a+故答案为：x+3y=0或【分析】利用分类讨论的方法，从而设出直线方程，再结合已知条件，进而得出过点A(3，−1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程.15．【答案】1【解析】【解答】解：任意交换两个数的位置之后四位数为：5421，2541，1524，4251，4125，4512，共6种，其中两个奇数相邻有1524，4251，4512，共3种，则两个奇数相邻的概率为12故答案为：12【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算即可.16．【答案】3【解析】【解答】解：因为数列an是各项均为正数的递增等差数列，所以d>0，S则d2则有a1−d则a1当且仅当d+22=8d+2，即故答案为：3.【分析】由题意，求出等差数列的前n项和Sn=d2n17．【答案】（1）解：因为S3=15,S12=222，所以S则an=2+(n−1)⋅3=3n−1，故an（2）解：由（1）得，an所以bn所以Tn所以数列bn的前n项和T【解析】【分析】（1）由题意，根据等差数列的求和公式列式求得首项和公差，即可得等差数列的通项；（2）由（1）得，an=3n−1，则（1）由题知，等差数列an的前n项和为S所以S3=a解得a1所以an所以an的通项公式为a（2）由（1）得，an所以bn所以Tn所以数列bn的前n项和T18．【答案】（1）解：因为圆C的圆心在直线y=x上，所以设圆心C的坐标为m,mm>0又因为圆C的半径为2，点A(−1,1)在圆C上，所以|AC|=[m−(−1)]2+(m−1)2故圆C的标准方程为(x−1)2（2）解：①当切线的斜率不存在时，直线x=−1与圆C②当切线的斜率存在时，设切线的方程为y=k(x+1)，整理为kx−y+k=0，由题知|2k−1|k2+1可得切线方程为−34x−y−由①②知，过点B(−1,0)且与圆C相切的直线方程为x=−1或3x+4y+3=0​​​​​​【解析】【分析】（1）由题意，设圆心坐标为m,mm>0，根据点A(−1,1)（2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为y=k(x+1)，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可.（1）由圆C的圆心在直线y=x上，可设圆心C的坐标为m,mm>0又圆C的半径为2，点A(−1,1)在圆C上，有|AC|=[m−(−1)]解得m=−1（舍去）或m=1，故圆C的标准方程为(x−1)2（2）①当切线的斜率不存在时，直线x=−1与圆C②当切线的斜率存在时，设切线的方程为y=k(x+1)，整理为kx−y+k=0，由题知|2k−1|k2+1可得切线方程为−34x−y−由①②知，过点B(−1,0)且与圆C相切的直线方程为x=−1或3x+4y+3=019．【答案】（1）解：由S=34a2+求得tanC=3，因为C∈0,π（2）解：sin=====当2A−π6=π2故sinA⋅sinB【解析】【分析】（1）由题意，利用三角形面积公式结合余弦定理求解即可；（2）根据sinB=sinA+C12（1）S=12ab故tanC=3，又因为C∈0,π（2）sinA====当2A−π6=π2故sinA⋅sinB20．【答案】（1）解：因为点4,0是双曲线C的一个焦点，所以c=4，又因为c2=a2+b2且a2=2，所以b2=14，

（2）解：设直线l的方程为y=x+2且Qx1,y1，联立y=x+2,x22−y2b2=1,，可得b2−2x2−42x−4−2b2【解析】【分析】（1）易知双曲线的焦点坐标，结合双曲线的性质即可求得双曲线的标准方程，再求双曲线的渐近线方程即可；（2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式求解即可.（1）∵点4,0是双曲线C的一个焦点，∴c=4，又∵c2=a2+∴双曲线C的方程为x2∴双曲线C的渐近线方程为y=±7（2）设直线l的方程为y=x+2且Q联立y=x+2,x则−2+x1=4∴PQ解得b2=45，即由故双曲线C的离心率为e=c21．【答案】（1）证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4,0)，E(2,1,0)，D1(0,0,4)，AC=(−2,4,0)，DE=(2,1,0)，DD1=(0,0,4)，

因为AC⋅DE=(−2)×2+4×1=0，AC⋅DD1=0，所以AC⊥DE，AC⊥DD1（2）解：设平面DEC1的法向量为m=(x,y,z)，由DE则DE⋅m=2x+y=0DC设直线D1E与平面DEC1则sinθ=|所以直线D1E与平面DEC【解析】【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明线面垂直即可；（2）利用（1）中坐标系，求出平面DEC（1）在长方体ABCD−A1B1C有D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4,0)，E(2,1,0)，D1(0,0,4)，则AC=(−2,4,0)，DE=(2,1,0)，DD1=(0,0,4)因此AC⊥DE，AC⊥DD1，又DE∩DD1=D，DE所以AC⊥平面DD（2）设平面DEC1的法向量为m=(x,y,z)，由DE有DE⋅m=2x+y=0DC设直线D1E与平面DEC1则sinθ=|所以直线D1E与平面DEC22．【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c，则2b=2c2a=22a2=b2故椭圆C的标准方程为x2（2）解：若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=±3此时满足OM=设直线l的方程为y=kx+m，Px1,y1联立方程x22+可得x1+x由Δ=16k2又由OM=OP+OQ，可得将点M的坐标代入椭圆C的方程，有12−4km又由原点O到直线l的距离为3510，有m1+联立方程4m2=2解得k=2m=32或k=2m=−3又由2×4+1>9可得直线l的方程为y=2x+32或y=2x−32或【解析】【分析】（1）设椭圆C的焦距为2c，根据题意结合椭圆中a,b，c的关系求出a,b，即可得椭圆的标准方程；（2）分直线斜率存在和