浙江省湖州市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试题（含答案）

第第页浙江省湖州市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的．1．已知集合A=xx=3n+1,n∈Z，B=A．−2,1,4 B．−8,−5,−2,1C．−5,−2,1 D．−5,−2,1,42．在复平面上，复数5i−2（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量a=k,1,2，b=k,0,−2，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．双曲线x2A．y=±2x B．y=±22x 5．已知数列an的前n项和为Sn，若a1=1，且A．Sn为等比数列 B．SC．an为等比数列 D．a6．已知圆C1：x2+y2+6x−4my+4m2+8=0（m≠0，m∈A．相交 B．相切C．外离 D．与m的取值有关7．已知空间内三点A1,1,2，B−1,2,0，C0,3,1A．6 B．1 C．463 8．已知F1，F2分别是椭圆x2a2+yA．62 B．33 C．32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数y=fx是定义在RA．fB．fC．若fx在−∞,0上有最小值−2，则fD．若fx在−∞,0上单调递增，则f10．对于直线l：mx+ny−3m=0（m2+nA．直线l的一个方向向量为n,−mB．直线l恒过定点3,0C．当m=3D．当m=−2且n>0时，l不经过第二象限11．设Sn是公差为d(d≠0)的等差数列{anA．若d<0，则数列{SB．若数列{SnC．若数列{Sn}是递增数列，则对任意D．若对任意n∈N+，均有Sn12．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F满足A1F=xA1A．若z=1B．若x=y=z=12C．∀x,y,z∈0,1，D．∀x∈0,1，总存在y=z，使得EF//平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为．14．已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2pxp>0焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点Mp,0，若AF15．已知Sn为等差数列an的前n项和，若S4=4S216．在三棱锥O−ABC中，OA=OB=OC=6，∠AOB=∠AOC=∠BOC=π3，点M在OA上，OM=2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列an是公差不为0的等差数列，数列bn是各项均为正数的等比数列，且a1=b（1）求数列an和b（2）设cn=b18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=bcos（1）求角A的值；（2）若△ABC的面积为18，求边BC的长．19．已知圆O：x2+y（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=90°时，求k的值；（2）若k=12时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形20．已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B（1）求证：BF⊥DE：（2）当B1D=1时，求平面BB21．已知等比数列an的公比q>1，且a2+a3+a4=117，a3+18是a（1）求数列an的前n项和S（2）求数列bn22．设双曲线C：x2a2−y2b（1）当直线l与x轴垂直，且A,B两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；（2）若双曲线C的焦距为4，且0°<∠AOB<90°恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为B=x令−6<3n+1<5，解得−73<n<43，

所以A∩B=−5,−2,1,4故答案为：D.【分析】利用一元二次不等式求解方法，从而求出集合B，再令3n+1∈B得出n的取值范围，再利用n∈Z2．【答案】C【解析】【解答】解：因为5i所以复数5i−2在复平面上对应的点为−2,−1，故答案为：C.【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数5i−2的代数形式，利用复数的几何意义得出复数5i3．【答案】A【解析】【解答】解：若a⊥b，则a⋅显然“k=2”可以推出“k=±2”，“k=±2”不可以推出“k=2”，所以“k=2”是“a⊥故答案为：A.【分析】根据空间向量垂直两空间向量数量积为0的等价关系和空间向量的数量积的坐标表示，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：由双曲线x2−2y2=1，

所以，双曲线的渐近线方程为y=±2故答案为：B.【分析】由双曲线的方程，令x25．【答案】A【解析】【解答】解：由an+1=3Sn，得出当两式相减得an+1−a当n=1时，a2所以数列an则an当n≥2时，S当n=1时，S1=1，符合所以Sn当n≥2时，SnSn−1故答案为：A.【分析】利用已知条件和an，S6．【答案】C【解析】【解答】解：由圆C1：x得出x+32+y−2m2=1由圆C2：x得出x2+y−m2=4所以，当m≠0时，C1所以圆C1与圆C故答案为：C.【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径长，再利用两点距离公式求出圆心距，再判断圆心距与两圆半径和的大小关系，从而判断出圆C1与圆C7．【答案】A【解析】【解答】解：因为空间内三点A(1,1,2)，B(−1,2,0)，C(0,3,1)，所以AB→=3，BC→=因为cos∠ABC=BA⋅所以，点A到直线BC的距离d=AB故答案为：A.【分析】根据空间向量数量积求空间向量夹角的坐标表示，从而求出cos∠ABC的值，再利用同角三角函数基本关系式求出sin∠ABC的值，结合d=AB8．【答案】D【解析】【解答】解：设∠PF1F=x又因为PF1⊥PF2，则x+5x=90∘又因为sin∠P所以sin∠P由正弦定理得PF设PF则2a=PF1又因为2c2=6+2k2故答案为：D.【分析】利用已知条件和两角和与差的正弦公式，从而求出sin∠PF2F1，sin9．【答案】B,C【解析】【解答】解：对于A，由奇函数定义可得f−2=−f2，

若f对于B，由奇函数定义可得f0=−f0对于C，由奇函数图象关于原点对称，所以C正确；对于D，由奇函数图象关于原点对称，可知fx在0,+故答案为：BC.【分析】由奇函数的定义判断出选项A；利用奇函数的性质判断出选项；由奇函数的图象的对称性判断出选项C；利用奇函数的图象的对称性和增函数的定义，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A：因为直线l的一个方向向量为n,−m，所以A正确；对于B：将直线l的方程可化为mx−3+ny=0，则直线l恒过定点对于C：当m=3n时，直线l的斜率为−3对于D：当m=−2且n>0时，直线l为y=2nx−3故答案为：ABD.【分析】由直线的方向向量求解方法，则得出直线l的一个方向向量，从而判断出选项A；将直线方程转化得出定点坐标，则判断出选项B；利用直线的斜率和直线的倾斜角的关系式，则判断出选项C；利用已知条件得出直线方程，从而得出直线不经过的象限，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为Sn若d<0，对应二次函数开口向下，由二次函数的性质可知，数列{Sn}若d>0，二次函数开口向上，无最大项，故若数列{Sn}若数列{Sn}是递增数列，则an=Sn−Sn−1>0(n≥2)，

若数列{Sn}是递减数列，则an=Sn−Sn−1故若对任意n∈N+，均有Sn故答案为：ABD.【分析】由题意和等差数列前n项和公式得出Sn=dn22+(a1−d2)n12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A：若z=13，点E在过线段AB的三等分点（靠近A点），

并且与AD平行的线

因为点E在线段MN上，且MN//BC，所以点E到线段BC的距离为定值，则S△EBC又因为点F到面ABCD，即面EBC的距离不变，所以VF−EBC对于B：若x=y=z=12，则点F为线段A1D1

若AE⊥BF，又因为AE⊥BD，且BF,BD⊂面BFD，BF∩BD=B，所以AE⊥面BFD，

又因为EF⊂面BFD，所以AE⊥EF，设正方体的棱长为a，则AE=2此时AF2≠EF2故AE⊥BF不正确，所以B错误；对于C：∀x,y,z∈0,1，

则点F在线段A1D1上（不含端点），点过F作FG//AA1交AD于G，连接

则∠GFE为EF与AA1所成角，即α=∠GFE因为AA1⊥面ABCD所以FG⊥面ABCD，则∠FEG为EF与平面ABCD所成角，即β=∠FEG，因为△EGF为直角三角形，所以α+β=π对于D：过F作FG//AA1交AD于G，过G作GE//BD交AC于E，连接

此时满足A1F=xA1D1，AE=yAD+zAB，因为FG//AA1//DD1，FG⊄面BD所以FG//面BDD又因为GE//BD，GE⊄面BDD1B1，所以GE//面BDD1B1，又因为GE∩FG=G，且所以面GEF//面BDD1B1，又因为所以EF//平面BDD所以∀x∈0,1，总存在y=z，使得EF//平面BD故答案为：ACD.【分析】利用点E到线段BC的距离为定值和三角形的面积公式，则确定S△EBC为定值，再结合点F到面ABCD，即面EBC的距离不变，则由三棱锥的体积公式，从而得出当z=13时，三棱锥E-BCF的体积为定值，则判断出选项A；假设AE⊥BF，从而得出线面垂直，再由线面垂直的定义证出线线垂直，再利用勾股定理得出与AE⊥EF矛盾，故AE⊥BF不正确，则判断出线线B；过F作FG//AA1交AD于G，连接GE，再结合异面直线所成的角和线面垂直的判定定理、性质定理，从而找到角α和角β，再利用直角三角形的性质，从而得出角α+β的值，则判断出选项C；利用线线平行证出线面平行，再利用线面平行证出面面平行，再根据面面平行的性质定理得出线面平行，从而得出∀x∈0,1，总存在13．【答案】5【解析】【解答】解：首先从中任取两个小球有1,2,1,3,1,4,取出的小球中至少有一个号码为奇数有1,2,1,3,1,4,所以取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为56故答案为：56【分析】利用已知条件，求出总的基本事件数，再求出符合题目要求结果的基本事件数，再利用古典概型求概率公式得出取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率.14．【答案】2【解析】【解答】解：因为AF=AM，Mp,0所以xA=xM+所以kAB故答案为：26【分析】由已知条件和中点的性质，可得xA=xM+xF15．【答案】4045【解析】【解答】解：设等差数列an的公差为d由S4=4S2得由a2n=2an+1得由①②得a1所以a2023故答案为：4045.【分析】先根据已知条件和等差数列的前n项和公式以及等差数列的通项公式，从而列方程组求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式，从而得出a202316．【答案】19【解析】【解答】解：由已知条件得出如下图：

由图可知，MN=MO则MN2=4所以MN=故答案为：19.【分析】利用三角形法则和向量共线定理，从而将向量MN用向量OA,OB,17．【答案】（1）解：设数列an是公差为d，等比数列bn的公比为由已知得a2=a1+d=2+d，b2所以2+d=2q2+3d=2q2，解得q=1所以an（2）解：由（1）可知cn所以，数列cn的前10项和为2【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，从而列出关于公比、公差的方程组，解方程组得出公比的值和公差的值，再结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，从而得出数列an和b（2）由（1）中数列an和bn的通项公式得出数列cn（1）设数列an是公差为d，等比数列bn的公比为由已知得a2=a1+d=2+d，b所以2+d=2q2+3d=2q2，解得q=1所以an（2）由（2）的cn所以数列cn的前10项和为218．【答案】（1）解：因为asinB=bcosA，

由正弦定理可得：sinAsinB=sinBcosA且B∈0,π，

则sin（2）解：由△ABC的面积可得S△ABC即12bc×2由余弦定理可得：a2=b所以，边BC的长为310【解析】【分析】（1）根据题意，运用正弦定理边化角和三角形中角B的取值范围，结合同角三角函数基本关系式，从而得出角A的正切值，再结合三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.（2）根据三角形的面积公式可得关于b,c的方程组，再解方程组得出b、c的值，再利用余弦定理得出a的值，进而得出边BC的长.（1）因为asinB=bcos且B∈0,π，则sinB≠0，可得sin且A∈0,π，所以（2）由△ABC的面积可得S△ABC即12bc×2由余弦定理可得a2=b所以边BC的长为31019．【答案】（1）解：当∠AOB=90°时，

由垂径定理得圆心O到直线l:y=kx+4的距离为2，则41+解得k=±7（2）解：由题意，如图所示：

当k=12时，直线l:y=12由已知得S又因为OPmin所以S△OPD的最小值为8又因为四边形OCPD的面积的为2S△OPD，

所以四边形OCPD的面积的最小值为【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出圆心到直线距离，再利用点到直线的距离公式，从而得出k的值.（2）将四边形OCPD的面积的最小值转化为求S△OPD的最小值，再根据S△OPD=12OD⋅PD=（1）当∠AOB=90°时，由垂径定理得圆心O到直线l:y=kx+4的距离为2，则41+解得k=±7（2）当k=12时，直线l:y=由已知得S又OPmin所以S△OPD的最小值为8又因为四边形OCPD的面积的为2S△OPD20．【答案】（1）证明：取线段BC的中点G，连接EG,B

由E,G分别时线段CA,CB的中点可得EG//AB//A所以E,G,B在直三棱柱ABC−A1B1C则侧面CBB1C1也为正方形且ECBC则∠FBC+∠BGB所以BF⊥GB1，

又因为BF⊥A1B所以BF⊥面EGB1A1，又因为所以BF⊥DE.（2）解：由（1）得BF⊥面EGB1A1，又因为A1B1又因为BB1⊥A1所以A1B1⊥面所以AB⊥面CBB1C1，又因为所以AB⊥BC，故AB,BC,BB

则D1,0,2,E则DE设平面DEF的一个法向量为n=则DE⋅n=y−2z=0EF⋅又因为平面BB1C设平面BB1C1C所以cosθ=【解析】【分析】（1）取线段BC的中点G，连接EG,B1G，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，从而得出线线平行，则得出E,G,（2）由（1）得BF⊥面EGB1A1，再根据线线垂直和线面垂直的推导关系，则证出AB,BC,BB1两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面DEF的一个法向量，再结合平面（1）取线段BC的中点G，连接EG,B由E,G分别时线段CA,CB的中点可得EG//AB//所以E,G,B在直三棱柱ABC−A1B1C则侧面CBB且ECBC=BG则∠FBC+∠BGB所以BF⊥GB1，又BF⊥A1B所以BF⊥面EGB1A1，又所以BF⊥DE；（2）由（1）得BF⊥面EGB1A1，又所以BF⊥A1B1，又BB所以A1B1⊥面所以AB⊥面CBB1C1，又所哟AB⊥BC，故AB,BC,BBD1,0,2则DE设平面DEF的一个法向量为n=则DE⋅n=y−2z=0EF⋅又平面BB1C设平面BB1C1所以cosθ=21．【答案】（1）解：由已知可得a2+又因为2a3+18由①②得a1所以an所以Sn（2）解：因为数列bn+1−b所以当n≥2时，bn+1所以bn+1又因为b2−b1⋅a1所以，当n≥1时，bn+1即bn+1所以数列bn所以bn则bn【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式，从而列关于首项和公比的方程组，进而解方程组得出首项和公比的值，再由等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，从而得出数列an的前n项和S(2)利用数列bn满足b1=1，数列bn+1−bn⋅an的前n项和等于（1）由已知a